福建省莆田市四校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

莆田五中、莆田八中、莆田十中、莆田侨中
2023—2024学年度高二第一学期期末联考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（ ）
A．30 B．36 C．42 D．56
4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
6．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
① ②
③2020年小王的年利润约为40000元 ④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列的前项和为，公差为d，且，则（ ）
A． B． C． D．d>0
10．已知圆则下列说话正确的是（ ）
A．圆与直线必有两个交点
B．圆上存在4个点到直线的距离都等于2
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．动点在圆上，则
11．如图, 棱长为2的正方体中, E、F分别为棱的中点, G为面对角线上一个动点, 则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．点E到直线的距离为
C．线段上存在点G, 使得
D．线段上不存在点G, 使平面平面
12．已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（ ）
A．若点满足，则的周长为52
B．若点在双曲线的左支，则的最小值为13
C．存在点，使得
D．若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列{an}满足a7＝16，a3a5＝4，则a3的值为 ．
14．若直线与直线平行，则 ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+n2，则S20＝ .
16．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求数列的前项和．
18．（12分）已知点、．
(1)若点C是直线上的动点，且，求直线的方程；
(2)若点A、B到直线的距离相等，求实数a的值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）已知直线与圆相交于A，B两点
(1)若，求k
(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由
21．（12分）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，.
22．（12分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
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2023—2024学年度高二第一学期期末联考
数学试题参考答案
1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．B 7．A 8．A
9．AB 10．AC 11．ACD 12．ABD
13．1 14．1 15．220 16．
17．（1）；（2）．
【详解】（1）由题意，设公差为，所以，
则，
∴
∵，∴，，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴数列的前n项和
．
18．(1)
(2)或1
【详解】（1）解：点C是直线上的动点，且，
所以点C在线段的垂直平分线上，
线段的中点为，，
故直线的方程为，即.
（2）解：由条件知，线段的中点在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点在直线上，则，解得；
若线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
19．(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）∵四边形为菱形，，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，又∵,
∴，又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴，
∵，
∴，∴，
∵平面,
∴平面；
（2）取的中点，则由，所以，，由（1）同理可证平面，
如图，以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由平面得出平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，令，则.
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
20．(1)
(2)存在，
【详解】（1）由圆，得，圆心坐标为，半径为2，
到的距离为，
由点到直线的距离公式可得:，解得；
（2）设，
联立，得，
，
，
设存在点满足题意，即，
，
，
即，解得.
存在点符合题意.
21．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
因为，，可得，
可两式相减，可得，所以，解得或，
又因为数列为递增的等比数列，所以，则，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得.
当为偶数时，
.
此时，.
当时，，所以成立.
当为奇数时，.
检验知，当时，上式也成立.
此时，，
当时，，所以成立.
综上所述，当时，成立.
22．(1)
(2)①证明见解析，；②
【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
（2）①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.
从而点Q在定直线上.
②因为，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.