3.2.1双曲线及其标准方程 课件（共17张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.2.1双曲线及其标准方程 课件（共17张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-02 13:21:49 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
第三章 圆锥曲线及其标准方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
问题情境
双曲线是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质，本节我们将类比椭圆研究方法研究双曲线的有关问题。
回顾旧知
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于｜｜）的点的轨迹叫做椭圆.
焦点在x轴：
焦点在y轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
问题1： 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
新知探究
探究1：如图，在直线l上取两个定点A、B, P是直线l上的动点，在平面内，取定点F1、F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
椭圆
（1）当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹;
（2）如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是 .
新知探究
改变条件：如图，当点P在线段AB外运动时，在|F1F2|>|AB|的条件下，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
新知探究
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线
概念生成
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
2.双曲线的定义
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距=2c，
焦距的一半称为半焦距.
M
F1
F2
| |MF1| - |MF2| |= 2a (0<2a<|F1F2|)
概念辨析
（1）如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？
思考：
（3）如果把定义中的“非零常数”（小于|F1F2|）变为下列情况，轨迹是什么？
① 2a=|F1F2|：
② 2a>|F1F2|:
两条射线
不表示任何轨迹
F1
F2
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
（2）定义中为什么强调距离差的绝对值为非零常数？
如果等于0，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线
新知探究
探究2：类比求椭圆标准方程的推导过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程
建系：取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.
设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0),(c，0).
列式：设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数)，
则
M
F1
F2
O
y
x
新知探究
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗
M
F1
F2
O
y
x
新知探究
3.双曲线的标准方程
焦点在x轴上：
焦点坐标：
焦点在y轴上：
F1(-c,0)、F2(c,0)
a,b,c关系：
c2=a2+b2
F1(0,-c)、F2(0,c)
M
F1
F2
O
y
x
O
F2
F1
y
x
M
新知探究
问题：双曲线标准方程从形式上看有什么的特征？
① 方程用“－”号连接，左边是两个分式的平方差，右边是1；
② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
③ 如果 x2 的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果 y2 的系数是正的，则焦点在y轴上.
记忆口诀： 化成标准式，
焦点跟着正项走
根据上述讨论，判断下列方程是否是双曲线，焦点位置在哪个轴上？
典例讲解
例1 已知方程 表示双曲线，求m的取值范围.
典例讲解
例2 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P与F1、F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
方法归纳
(1)求双曲线标准方程的步骤：
①定位:确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
②定量:确定a2、b2的值，常由条件列方程组求解.
(2)双曲线标准方程的两种求法：
①定义法:根据双曲线的定义得到相应的a、b、c,再写出双曲线的标准方程.
②待定系数法:先设出双曲线的标准方程，然后根据条件求出待定的系数,代人方程即可.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
课堂小结
椭 圆 双 曲 线
定义
图形
方程
焦点
a、b、c的关系
位置
(±c,0)
(±c,0)
a>0，b>0，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
(0,±c)
(0,±c)
x
F2
F1
O
y
y
F2
F1
O
x
O
F2
F1
y
x
F2
F1
O
y
x
焦点跟着正的
焦点随着大的
典例讲解
例3 已知A, B两地相距800m, 在B地听到炮弹爆炸声比在A地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
第三章 圆锥曲线及其标准方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
问题情境
双曲线是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质，本节我们将类比椭圆研究方法研究双曲线的有关问题。
回顾旧知
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于｜｜）的点的轨迹叫做椭圆.
焦点在x轴：
焦点在y轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
问题1： 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
新知探究
探究1：如图，在直线l上取两个定点A、B, P是直线l上的动点，在平面内，取定点F1、F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
椭圆
（1）当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹;
（2）如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是 .
新知探究
改变条件：如图，当点P在线段AB外运动时，在|F1F2|>|AB|的条件下，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
新知探究
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线
概念生成
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
2.双曲线的定义
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距=2c，
焦距的一半称为半焦距.
M
F1
F2
| |MF1| - |MF2| |= 2a (0<2a<|F1F2|)
概念辨析
（1）如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？
思考：
（3）如果把定义中的“非零常数”（小于|F1F2|）变为下列情况，轨迹是什么？
① 2a=|F1F2|：
② 2a>|F1F2|:
两条射线
不表示任何轨迹
F1
F2
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
（2）定义中为什么强调距离差的绝对值为非零常数？
如果等于0，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线
新知探究
探究2：类比求椭圆标准方程的推导过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程
建系：取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.
设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0),(c，0).
列式：设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数)，
则
M
F1
F2
O
y
x
新知探究
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗
M
F1
F2
O
y
x
新知探究
3.双曲线的标准方程
焦点在x轴上：
焦点坐标：
焦点在y轴上：
F1(-c,0)、F2(c,0)
a,b,c关系：
c2=a2+b2
F1(0,-c)、F2(0,c)
M
F1
F2
O
y
x
O
F2
F1
y
x
M
新知探究
问题：双曲线标准方程从形式上看有什么的特征？
① 方程用“－”号连接，左边是两个分式的平方差，右边是1；
② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
③ 如果 x2 的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果 y2 的系数是正的，则焦点在y轴上.
记忆口诀： 化成标准式，
焦点跟着正项走
根据上述讨论，判断下列方程是否是双曲线，焦点位置在哪个轴上？
典例讲解
例1 已知方程 表示双曲线，求m的取值范围.
典例讲解
例2 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P与F1、F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
方法归纳
(1)求双曲线标准方程的步骤：
①定位:确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
②定量:确定a2、b2的值，常由条件列方程组求解.
(2)双曲线标准方程的两种求法：
①定义法:根据双曲线的定义得到相应的a、b、c,再写出双曲线的标准方程.
②待定系数法:先设出双曲线的标准方程，然后根据条件求出待定的系数,代人方程即可.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
课堂小结
椭 圆 双 曲 线
定义
图形
方程
焦点
a、b、c的关系
位置
(±c,0)
(±c,0)
a>0，b>0，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
(0,±c)
(0,±c)
x
F2
F1
O
y
y
F2
F1
O
x
O
F2
F1
y
x
F2
F1
O
y
x
焦点跟着正的
焦点随着大的
典例讲解
例3 已知A, B两地相距800m, 在B地听到炮弹爆炸声比在A地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.