(共16张PPT)
单元复习(二) 勾股定理
C
C
96
12
D
10.5
＝
2.9(共18张PPT)
单元复习(二) 勾股定理
知识点一 勾股定理的验证
1．(山西中考)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 ( )
A．统计思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
C
2．小亮发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.(请你写出证明过程)
知识点二 勾股定理及其应用
3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4
C
4．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的数学“风车”，则这个数学“风车”的外围周长是______．
152
5．(金华中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为 _________ cm.
6．(2023·息县月考)如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm.
10
B
和为0的两个数互为相反数
10．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)相等的角是内错角；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：(1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理
(2)“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理
D
12．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
10.5
＝
15．如图，在4×3的长方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在网格线的交点上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果可以保留根号)；
(2)在图中四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．(共16张PPT)
单元复习(二) 勾股定理
C
C
96
12
D
10.5
＝
2.9(共18张PPT)
单元复习(二) 勾股定理
知识点一 勾股定理的验证
1．(山西中考)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 ( )
A．统计思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
C
2．小亮发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.(请你写出证明过程)
知识点二 勾股定理及其应用
3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4
C
4．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的数学“风车”，则这个数学“风车”的外围周长是______．
152
5．(金华中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为 _________ cm.
6．(2023·息县月考)如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm.
10
B
和为0的两个数互为相反数
10．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)相等的角是内错角；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：(1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理
(2)“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理
D
12．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
10.5
＝
15．如图，在4×3的长方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在网格线的交点上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果可以保留根号)；
(2)在图中四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．(共17张PPT)
章末复习(二) 勾股定理
81
C
(3x)2＋102＝(7x－10)2
1.5
B
假
C
90°
45°
7或17
12
15
C
C
b
b
C
C
a
a
C
C
b
b
C
a
a
b
a
a
C
C
b
b
C
C
a
a
b
C
D
B
A
/1
A
C
2
3
4
5
北
A
c
东
甲
!
甲
B
感应器A
D
B
c
D
Λ1
B
B
C
D
E
I
B
过E
A
E
C
B
D
A
b
C
C
B(共17张PPT)
章末复习(二) 勾股定理
知识点一 勾股定理及逆定理
1．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是 ( )
A．①行，②不行
B．①不行，②行
C．①，②都行
D．①，②都不行
A
C
81
12
5．(无锡新吴区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E.延长DE交BC的延长线于点F，连接AF.
(1)求AD的长；
(2)求AF的长．
知识点二 勾股定理的应用
6．如图，一座桥横跨一河，桥长40 m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸后，发现已偏离桥南头9 m，则小船实际行驶的距离为 ______．
41m
7．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，且AB＝2，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是 _____．
8．如图，某自动感应门的正上方离地2.5 m的A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．若一个身高1.6 m的学生CD正对门缓慢走到离门1.2 m(BC＝1.2 m)的地方时，感应门自动打开，则此时人的头顶离感应器的距离AD＝ _____ m．
1.5
9．如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长BC＝20 m，CA⊥AB，且CA＝12 m，拉动绳子将船从点B沿BA的方向拉到点D后，绳长CD＝12 m，求船体移动的距离BD的长度为 ____ m.
4
10．如图所示的是一个底部直径BC为12 cm的圆柱形杯子的过底面圆心的竖直方向截面图，在它的正中间竖直放着一根筷子EG，此时筷子漏出杯子外的长度GF＝2 cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．
解：设筷子EG的长度为x cm，则DE＝x cm，
EF＝(x－2) cm.在Rt△DEF中，∵EF2＋DF2＝DE2，
∴(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，∴筷子EG的长度为
10 cm
知识点三 互逆命题与互逆定理
11．下列命题的逆命题是假命题的是 ( )
A．等角对等边
B．若a＜0，b＜0，则ab＜0
C．若ab＝1，则a与b互为倒数
D．有一个角为90°的三角形是直角三角形
12．命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”的逆命题是 ____ 命题．(填“真”或“假”)
B
假
C
合格
90°
16．如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC的中线，分别交BC，AC于点D，E.
(1)若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
【核心素养】
17．《九章算术》中有一“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？其意思为：一根竹子原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么这根竹子的折断处离地面的高度是多少？
解：设这根竹子的折断处离地面的高度是x尺，
则x2＋62＝(10－x)2，解得x＝3.2，
∴这根竹子的折断处离地面的高度是3.2尺(共20张PPT)
周周测(二)
D
C
D
B
B
D
B
B
如果|a|＝|b|，那么a2＝b2
45
直角
5
A
D
E
B
C
C
-B
E
L
C
a
a
b
a
a
b
C
C
b
b
C
b
a
F
b
b
a
a
C
a
b
b
A
E
B
B
D
B5
C
20
10
15
2
I
I
0
2
X
C
口
D
B
C
a
A
D
B
I-L
l_L-
.ㄩ-Lㄩ-Lㄩ-L
_L.
X
-L-
-L-L
L
L
LI-LI-L
A
A
B'
77777777777777770
B(共19张PPT)
周周测(二)
检测内容：17.1～17.2
A
D
B
4．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH
C．AB，CD，EF D．GH，AB，CD
B
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是 ( )
D
B
B
二、填空题(每小题4分，共20分)
8．如图，点A的坐标为(2，2)，则线段AO的长度为 _____.
9．命题“如果a2＝b2，那么|a|＝|b|”的逆命题是 ______________________ _____.
如果|a|＝|b|，那么a2
＝b2
10．(北京中考)如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ _____ °(点A，B，P是网格线交点).
11．已知|x－12|＋(y－13)2和z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形是 _______ 三角形．
12．(黑龙江中考)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 __________________．
45
直角
3.6 或 4.32 或 4.8
三、解答题(共52分)
13．(10分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC为直角三角形．
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
(2)错误的原因是什么？
(3)直接写出本题正确的结论．
14．(11分)如图，已知一平面直角坐标系．
(1)在图中描出点A(－2，－2)，B(－8，6)，C(2，1)；
(2)连接AB，BC，AC，试判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
17．(12分)已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试：化简整式A.
发现：若A＝B2，求整式B.
联想：由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形的三边 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8 _____
勾股数组Ⅱ 35 / _____
17
37(共19张PPT)
专题课堂(二) 利用勾股定理解决问题
一、利用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为 ____．
2
【对应训练】
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为 ( )
A．20 B．22 C．24 D．30
C
2．(2023·滑县月考)如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6.折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A
C
A
5．如图，在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 _________．
6．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为 ______．
10
C
32
三、利用勾股定理解决最短路径问题
【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 ______ cm.
15
分析：如图②，将圆柱展开，得到一个长方形，在上面找到A，C两点的位置，根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”可得A′C即为蚂蚁到达蜂蜜处的最短“路线”，再利用勾股定理求出A′C的长度即可．
【对应训练】
8．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ______ m.
2.6
9．如图①的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为 ______________ cm.
四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数 _____ 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分15为直角边和斜边两种情况进行讨论．
17
【对应训练】
10．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 _______ 三角形．
11．若三角形的三边满足|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，则此三角形的形状是 _________________．
直角
等腰直角三角形
12．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．(共16张PPT)
专题训练(三) 利用勾股定理解决折叠问题
C
C
A
4．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，若BC′＝8，那么BC的长为 ______．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE＝____．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上的一点，将△BCE沿直线CE折叠到△FCE，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，求线段BE的长．
A
8．(兰州中考)如图，在长方形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3 cm，AF＝2EF，则AB＝ ____ cm.
3
9．(雅安中考)如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 ____．
10．(毕节中考改编)长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，求CF的长．
D
13．(泰安中考)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ____．
2
14．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，求△FGC的面积．
