莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试试卷
高二
数学选择性必修一、二
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中只有一项是符合题目要求的.
1.经过M(-3,2),N(-2,1)两点的直线的倾斜角为()
A
B.
C.3x
D.
2π
4
3
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a,=22,则Sg=()
A.380
B.200
C.190
D.100
3.已知双曲线C:若若-1(6>0)的一条新近线为1：y-,则C的焦距为(）
A.3
B./5
C.2V3
D.2√5
4.己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+n=aman,则S=()
A.64
B.62
C.32
D.30
5.已知函数fx)=e-ax2,若fx)在0，+oo)单调递增，则实数a的取值范围是
()
A.(-,1]
B.
c.(-o,e]
D.(-o,2]
6.如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时
针方向匀速转动转动角度不超过90)时，它扫过的圆内阴
影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是
试卷第1页，共4页
随圆+y=1y≠-)上任一点，过作圆：2+(+2
切线
,切点分别为，，则四边形PMCN面积的最大值为()
A.3
B.2V2
c,53
D.√6
3
8.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站
的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上（天宫空间站和地球
均视为质点).己知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与
地球距离的最小值)不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为
变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭
圆轨道的离心率为()
A司
B.2-1
c.5-1
D.5-1
2
2
3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线：mx+(m+2)y-2m-2=0,圆C:x2+y2-4x=0,则()
A.直线1恒过定点(1，)
B.存在实数m使得直线！的倾斜角为3
C.直线1与圆C的相交弦长的最大值为2√2
D.当m=0时，圆C上存在3个点到直线1距离等于1
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an+1=an+a+2,S,=S,则(）
A.S6=0
B.数列2}是等比数列
C.数列{S,n}中的最大项为Ss
D.数列
是等差数列
11.已知函数f(x)=x3+3x2+bx+1,导函数f'(x)的极值点是函数f(x)
的零点，则()
A.f(x)有且只有一个极值点
试卷第2页，共4页莆田一中 2023~2024学年度上学期期末考试参考答案
高二 数学选择性必修一、二
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B B D C C AD ABD BC BCD
填空题
题号 13 14 15 16
答案 -3 1 1, , 1 2 1 (e, )2 3
解答题
17【详解】（1）因为当 n N,n 1时，有 S 2n n n，
所以当 n N, n 2时，有 Sn 1 n 1
2 n 1，两式相减，得an 2n，
当 n 1时，由 Sn n
2 n a1 2，适合 an 2n，所以 an 2n， n N*；
（2）因为 an 2n，n N；
1 1 1 1 1 1 1 所以 anan 1 2n 2n 2 4 n n 1 4 n n 1
，
因此H
1
n 1
1 1 1 1 1 n
4 2 2 3 n n 1 4 n 1 .
18【详解】
(1) f x 1 a x a的定义域 0， ，f x
x x2 x2
若a 0, f x 0, f x 在 0， 单调递增；
若a 0, 0，a , f x 0, f x 单调递减， a， , f x 0, f x 单调递增
综上：a 0, f x 在 0， 单调递增；a 0, , f x 在 0，a 单调递减，f x 在 a， 单调递增
(2)a 1 , x 1, g x f x ax ln x 1 1
2
设 x , g x x 1 0
2 2 x 2x2
g x 在 1, 单调递减，g x g 1 0, f x ax
1
{#{QQABAQYUoggoAABAAQgCAwE6CkAQkBCAAIoOBAAMMAAAiQFABAA=}#}
19【详解】（1）因动点 P到点 F 4,0 的距离等于点 P到直线 x 4 0的距离，故可知动点 P
的轨迹是抛物线，设其方程为 y2 2px，由题意得 p 8，故动点 P的轨迹方程为：C : y2 16x.
（2）如图，因直线 l的斜率不能为零（否则直线 l与抛物线只有一
个公共点），又过点 F 4,0 ，
y2 16x
可设 l : x my 4,由 消去 x并整理得：y2 16my 64 0
x my 4
y y 16m
显然 0,设 A(x1, y ),B(x , y )
1 2
1 2 2 ，则由韦达定理， ,
y1y2 64
（*）
k k y1 y2 y1 y2 y1(my2 8) y2 (my1 8) 2my1y2 8(y1 y )则 1 2 2x1 4 x2 4 my1 8 my2 8 (my1 8)(my
，
2 8) (my1 8)(my2 8)
2m ( 64) 8 16m
将（*）代入得： k1 k2 0(my 8)(my 8) ,故 AMF BMF1 2
20【详解】（1）当 n 1时， a1 2a1 2，解得 a1 2 .
当 n 2时， Sn 2an 2,Sn 1 2an 1 2 ，两式相减得 an 2an 2an 1，
即 an 2an 1 n 2 ，所以 an 是首项 公比均为 2的等比数列，故 an 2n .
2n 1 2n 1
又 an bn 1 2 n 1 2n 1，故bn a 2n .n
b 2n 1 T 1 3 5 2n 1 1 1 3 5 2n 1（2）因为 n n ，所以 n 2 2 22 23
n ①， Tn 2 2 2 2 23 24 2n 1
②，
1 T 1 1 1 1 2n 1 1 1 2n 1 3 2n 3①-②得 n
2 2
2 22
1
2n 1 2n 1 2 2 n 1 2 n 1
2 2 n 1
.
2n 3
所以Tn 3 .2n
3 T n N* 2n 3 *不等式 n对一切 恒成立，转化为 n 对一切 n N 恒成立.2
令 f n 2n 3 n ,n N *，2
f n 1 f n 2n 1 5
2n 1
0, f n 单调递减，f n max f 1 2
5
2
5
所以实数 的取值范围为 , 2
2
{#{QQABAQYUoggoAABAAQgCAwE6CkAQkBCAAIoOBAAMMAAAiQFABAA=}#}
2
21 x【详解】解：(1)椭圆C的方程为 y2 1，
4
2
(2) x设点 S x0 , y0 ，则 y20 1 0 ，4
2
y x00
则 kAS ， k
y
0 y2 1 1
x 2 BS x 2，所以， k 0ASkBS 4
，
0 0 x20 4 x
2
0 4 4
不妨设直线 AS的方程为 y k x 2 1，其中 k 0，则直线 BS 的方程为 y x 2 ，
4k
设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ，
1
y k x 2 y x 2
16 4k 1
由
x 10
可得 y1 k，联立 可得 y ，
3
2
3 x
10
3k
3
MN 16 k 1 16 1 16 1 8所以， k 2 k ，
3 3k 3 3k 3 3k 3
16k 1 1
当且仅当 时，即当 k 4 时，等号成立，3 3k
因此， MN
8
的最小值为 .
3
22【详解】（1）由题意得:定义域为 0, ，得 F x ln x ax
因 F x 两个不同极值点，故方程 ln x ax 0有两个不同的根m， n（m n），
法一：
h x ln x ax,h x 1 ax
x
x 0,若a 0,h x 0,h x 单调递增，不符合题意
a 0,h x 1 1 在 0， 单调递增， , 单调递减
a a
h 1 ln a
1
1 0,a 0,
a e
1 e 1 1,h 1 a 0, 0, ,h(x)有且只有一个零点
a a
1 1 1 1 1 1 1 1 2 e 1 1
2 ,h
2 2ln 2 0, , ,h(x)有且只有一个零点a a a a a e a a e a a
h x 1 有两个零点，a 0,
e
3
{#{QQABAQYUoggoAABAAQgCAwE6CkAQkBCAAIoOBAAMMAAAiQFABAA=}#}
a ln x ln x法二：即方程 有两个不同的根m，n记函数 h x ，则 h x 1 ln x
x x x2
当 x 0,e 时， h x 0，此时， h x 在 0,e 上单调递增；
当 x e, 时， h x 0，此时h x 在 e, 上单调递减；
所以 f x f e 1
极大 e
又当 x 0,1 时， h x 0，当 x e, 时， h x 0，
且当 x趋近于正无穷时， h x 趋近于 0，
ln x 1
所以，方程 a 有两个不同的实数根，当且仅当 a
x
0,
e
.
（2）由（1）知1 m e n得 lnm am， ln n an（※），
lnm ln n
所以 lnm ln n am an，即 a （※※），
m n
由不等式mnk ek 1恒成立，即 k 1 lnm k ln n恒成立，
由（※）、（※※）得即 k 1 am kan a m lnm ln n kn m kn 恒成立，
m n
m
k
亦即 k 1 n
m
m ln
t k ln t
恒成立，设 t
m
， t 0,1 n 时，得 k 1 恒成立， 1 n t 1
n
ln t k 1 t 1 进而得 0恒成立（※※※），
t k
k 1G t ln t t 1 记函数 ， t 0,1 ，
t k
1 k 1 t k k 1 t 1 k 2 1 t 1 t k 2
则G t 1 2 ，（ k 0），t t k t t k 2 t t k 2
当 k 1时，G t 0，G t 在 t 0,1 上单调递增，
所以G t G 1 0恒成立，故 k 1满足题意
当0 k 1 2 2时，若 t k ,1 时有G t 0，则G t 在 t k ,1 上单调递减，
2
所以，当 t k ,1 时有G t G 1 0，与题意（※※※）不符，
综上得正数 k的取值范围是 1, .
4
{#{QQABAQYUoggoAABAAQgCAwE6CkAQkBCAAIoOBAAMMAAAiQFABAA=}#}
