莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试试卷
高二
数学选择性必修一、二
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项
中只有一项是符合题目要求的.
1.经过M(-3,2),N(-2,1)两点的直线的倾斜角为()
A
B.
C.3x
D.
2π
4
3
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a,=22,则Sg=()
A.380
B.200
C.190
D.100
3.已知双曲线C:若若-1(6>0)的一条新近线为1:y-,则C的焦距为()
A.3
B./5
C.2V3
D.2√5
4.己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+n=aman,则S=()
A.64
B.62
C.32
D.30
5.已知函数fx)=e-ax2,若fx)在0,+oo)单调递增,则实数a的取值范围是
()
A.(-,1]
B.
c.(-o,e]
D.(-o,2]
6.如图,直线和圆,当从开始在平面上绕点按逆时
针方向匀速转动转动角度不超过90)时,它扫过的圆内阴
影部分的面积是时间的函数,这个函数的图象大致是
试卷第1页,共4页
随圆+y=1y≠-)上任一点,过作圆:2+(+2
切线
,切点分别为,,则四边形PMCN面积的最大值为()
A.3
B.2V2
c,53
D.√6
3
8.我国在2022年完成了天宫空间站的建设,根据开普勒第一定律,天宫空间站
的运行轨道可以近似为椭圆,地球处于该椭圆的一个焦点上(天宫空间站和地球
均视为质点).己知某次变轨任务前后,天宫空间站的近地距离(天宫空间站与
地球距离的最小值)不变,远地距离(天宫空间站与地球距离的最大值)扩大为
变轨前的3倍,椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍,则此次变轨任务前的椭
圆轨道的离心率为()
A司
B.2-1
c.5-1
D.5-1
2
2
3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有
多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.直线:mx+(m+2)y-2m-2=0,圆C:x2+y2-4x=0,则()
A.直线1恒过定点(1,)
B.存在实数m使得直线!的倾斜角为3
C.直线1与圆C的相交弦长的最大值为2√2
D.当m=0时,圆C上存在3个点到直线1距离等于1
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an+1=an+a+2,S,=S,则()
A.S6=0
B.数列2}是等比数列
C.数列{S,n}中的最大项为Ss
D.数列
是等差数列
11.已知函数f(x)=x3+3x2+bx+1,导函数f'(x)的极值点是函数f(x)
的零点,则()
A.f(x)有且只有一个极值点
试卷第2页,共4页莆田一中 2023~2024学年度上学期期末考试参考答案
高二 数学选择性必修一、二
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B B D C C AD ABD BC BCD
填空题
题号 13 14 15 16
答案 -3 1 1, , 1 2 1 (e, )2 3
解答题
17【详解】(1)因为当 n N,n 1时,有 S 2n n n,
所以当 n N, n 2时,有 Sn 1 n 1
2 n 1,两式相减,得an 2n,
当 n 1时,由 Sn n
2 n a1 2,适合 an 2n,所以 an 2n, n N*;
(2)因为 an 2n,n N;
1 1 1 1 1 1 1 所以 anan 1 2n 2n 2 4 n n 1 4 n n 1
,
因此H
1
n 1
1 1 1 1 1 n
4 2 2 3 n n 1 4 n 1 .
18【详解】
(1) f x 1 a x a的定义域 0, ,f x
x x2 x2
若a 0, f x 0, f x 在 0, 单调递增;
若a 0, 0,a , f x 0, f x 单调递减, a, , f x 0, f x 单调递增
综上:a 0, f x 在 0, 单调递增;a 0, , f x 在 0,a 单调递减,f x 在 a, 单调递增
(2)a 1 , x 1, g x f x ax ln x 1 1
2
设 x , g x x 1 0
2 2 x 2x2
g x 在 1, 单调递减,g x g 1 0, f x ax
1
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19【详解】(1)因动点 P到点 F 4,0 的距离等于点 P到直线 x 4 0的距离,故可知动点 P
的轨迹是抛物线,设其方程为 y2 2px,由题意得 p 8,故动点 P的轨迹方程为:C : y2 16x.
(2)如图,因直线 l的斜率不能为零(否则直线 l与抛物线只有一
个公共点),又过点 F 4,0 ,
y2 16x
可设 l : x my 4,由 消去 x并整理得:y2 16my 64 0
x my 4
y y 16m
显然 0,设 A(x1, y ),B(x , y )
1 2
1 2 2 ,则由韦达定理, ,
y1y2 64
(*)
k k y1 y2 y1 y2 y1(my2 8) y2 (my1 8) 2my1y2 8(y1 y )则 1 2 2x1 4 x2 4 my1 8 my2 8 (my1 8)(my
,
2 8) (my1 8)(my2 8)
2m ( 64) 8 16m
将(*)代入得: k1 k2 0(my 8)(my 8) ,故 AMF BMF1 2
20【详解】(1)当 n 1时, a1 2a1 2,解得 a1 2 .
当 n 2时, Sn 2an 2,Sn 1 2an 1 2 ,两式相减得 an 2an 2an 1,
即 an 2an 1 n 2 ,所以 an 是首项 公比均为 2的等比数列,故 an 2n .
2n 1 2n 1
又 an bn 1 2 n 1 2n 1,故bn a 2n .n
b 2n 1 T 1 3 5 2n 1 1 1 3 5 2n 1(2)因为 n n ,所以 n 2 2 22 23
n ①, Tn 2 2 2 2 23 24 2n 1
②,
1 T 1 1 1 1 2n 1 1 1 2n 1 3 2n 3①-②得 n
2 2
2 22
1
2n 1 2n 1 2 2 n 1 2 n 1
2 2 n 1
.
2n 3
所以Tn 3 .2n
3 T n N* 2n 3 *不等式 n对一切 恒成立,转化为 n 对一切 n N 恒成立.2
令 f n 2n 3 n ,n N *,2
f n 1 f n 2n 1 5
2n 1
0, f n 单调递减,f n max f 1 2
5
2
5
所以实数 的取值范围为 , 2
2
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2
21 x【详解】解:(1)椭圆C的方程为 y2 1,
4
2
(2) x设点 S x0 , y0 ,则 y20 1 0 ,4
2
y x00
则 kAS , k
y
0 y2 1 1
x 2 BS x 2,所以, k 0ASkBS 4
,
0 0 x20 4 x
2
0 4 4
不妨设直线 AS的方程为 y k x 2 1,其中 k 0,则直线 BS 的方程为 y x 2 ,
4k
设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ,
1
y k x 2 y x 2
16 4k 1
由
x 10
可得 y1 k,联立 可得 y ,
3
2
3 x
10
3k
3
MN 16 k 1 16 1 16 1 8所以, k 2 k ,
3 3k 3 3k 3 3k 3
16k 1 1
当且仅当 时,即当 k 4 时,等号成立,3 3k
因此, MN
8
的最小值为 .
3
22【详解】(1)由题意得:定义域为 0, ,得 F x ln x ax
因 F x 两个不同极值点,故方程 ln x ax 0有两个不同的根m, n(m n),
法一:
h x ln x ax,h x 1 ax
x
x 0,若a 0,h x 0,h x 单调递增,不符合题意
a 0,h x 1 1 在 0, 单调递增, , 单调递减
a a
h 1 ln a
1
1 0,a 0,
a e
1 e 1 1,h 1 a 0, 0, ,h(x)有且只有一个零点
a a
1 1 1 1 1 1 1 1 2 e 1 1
2 ,h
2 2ln 2 0, , ,h(x)有且只有一个零点a a a a a e a a e a a
h x 1 有两个零点,a 0,
e
3
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a ln x ln x法二:即方程 有两个不同的根m,n记函数 h x ,则 h x 1 ln x
x x x2
当 x 0,e 时, h x 0,此时, h x 在 0,e 上单调递增;
当 x e, 时, h x 0,此时h x 在 e, 上单调递减;
所以 f x f e 1
极大 e
又当 x 0,1 时, h x 0,当 x e, 时, h x 0,
且当 x趋近于正无穷时, h x 趋近于 0,
ln x 1
所以,方程 a 有两个不同的实数根,当且仅当 a
x
0,
e
.
(2)由(1)知1 m e n得 lnm am, ln n an(※),
lnm ln n
所以 lnm ln n am an,即 a (※※),
m n
由不等式mnk ek 1恒成立,即 k 1 lnm k ln n恒成立,
由(※)、(※※)得即 k 1 am kan a m lnm ln n kn m kn 恒成立,
m n
m
k
亦即 k 1 n
m
m ln
t k ln t
恒成立,设 t
m
, t 0,1 n 时,得 k 1 恒成立, 1 n t 1
n
ln t k 1 t 1 进而得 0恒成立(※※※),
t k
k 1G t ln t t 1 记函数 , t 0,1 ,
t k
1 k 1 t k k 1 t 1 k 2 1 t 1 t k 2
则G t 1 2 ,( k 0),t t k t t k 2 t t k 2
当 k 1时,G t 0,G t 在 t 0,1 上单调递增,
所以G t G 1 0恒成立,故 k 1满足题意
当0 k 1 2 2时,若 t k ,1 时有G t 0,则G t 在 t k ,1 上单调递减,
2
所以,当 t k ,1 时有G t G 1 0,与题意(※※※)不符,
综上得正数 k的取值范围是 1, .
4
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