莆田一中2023一-2024学年度上学期期末考试试卷
高一数学必修一、必修二6.1、6.2
考试时间120分钟
试卷满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x1
()
A.{x1B.{x1C.{x2D.{x1(x3-2,x≥0
2.已知函数f(x)=
是-1，<0则fa)=
A.-2
B.-1
C.0
D.1
3.已知x>0,y>0,则x+y≥2是xy≥1的
(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.函数f()=20ox-1x∈（←号号）的图象大致是
3
A
B
C.
D
5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方
形，若下图中所示的角为a(0°()
A
B器
c.
D
第5题
6.已知△ABC外接圆圆心为O,半径为1,2A6=AB+AC,且√3OA=|A1,则向量AB在向量
BC上的投影向量为
()
A.3B
B.BC
C.-B
D.-$BC
7.已知函数f(x)=2-z,g(x)=x2,设函数L(x)=
f(f(,)≤9巴，则下列说法错误的是
g(x).f(x>g(x)
A.函数L(x)是偶函数
B.函数L(x)在区间(-1,0)上单调递减
C.函数L(x)有两个零点
D.函数L(x)有最大值，没有最小值
8.如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利
用函数的单调性把方程或不等式化简.利用上述方法解决问题：
己知实数a,b∈(1，+∞)，log2a+log3=1log2b+loga2,则
()
A.a<√WbB.√bC.b<√aD.√a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.若函数y=f(x)的图象为如图所示的曲线m和线段n,曲线m与直线t无限接近，但永不相交，则
下列说法正确的是
A.f(x)的定义域为[-3，-1]U[0,2]
B.f(x)的值域为[1，+oo)
C.在f(x)的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应
D.在f(x)的值域内任取一个值，总有唯一的x值与之对应
-3-2-1012
第9题
10.已知平面四边形ABCD,则下列命题正确的是
A.若A店=号Dd,则四边形ABCD是梯形
B.若AB=AD,则四边形ABCD是菱形
C.若AC=AB+AD,则四边形ABCD是平行四边形
D.若AB=DC且AB+AD=AB-AD,则四边形ABCD是矩形
11.已知函数f(x)=sin(ox+)(ω>0)，则下列说法正确的是
A.若o=1,则(5,0）)是f()的对称中心
B.若f()≤f()恒成立，则ω的最小值为2
C.若f)在[0，]上单调递增，则0<ω≤号
D.若f@)在0,2]上恰有2个零点则贵<0≤哥
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)是奇函数，f(2x+1)是偶函数，且当x∈[2,3]时，f(x)=2-x,
则下列选项正确的是
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(2022)+f(2023)+f(2024)=-1
C.fx-1+1关于点(2,1)对称
D.f（c-1)+1关于点(1,1)对称莆田一中 2023~2024学年度上学期期末考试试卷答案
1.C
2.C
3.B
4.A
5.D
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.ACD
11.BC
12.ABC
13. 2π3
14. 8
15. - 1 , 32 2
16. 12
17.【小问 1详解】
因为 |a + b|2= a 2+ 2a b+ b2
= 4+ 2a b+ 16= 12 2分
所以 a b=-4.设 a与 b的夹角为 θ(θ∈ [0,π]),
a
b
则 cosθ= = -4 2×4 =-
1
2 . 4分|a||b|
又 θ∈ [0,π], 2π 2π所以 θ= 3 .故 a与 b的夹角为 3 . 5分
【小问 2详解】
(2a- b)⊥ (a+ kb), (2a - b) (a
因为 所以 + kb) = 06分
2a 2
即 + 2ka b- a b- kb2= 0 7分
所以 8- 4(2k- 1) - 16k= 12- 24k= 0 9分
1
解得 k= 2 . 10分
18.【小问 1详解】由题意：函数 f(x) = cos π3 -x + sin x-
π
6 + cosx,化简得：
f(x) = cosxcos π3 + sinxsin
π
3 + sinxcos
π
6 - cosxsin
π
6 + cosx 1分
= 3sinx+ cosx= 2sin x+ π6 2分
因为 x∈ 0, π 2
π π 2π
,所以 x+ 6 ∈ 6 , 3 3分
1
则 2 ≤ sin x+
π
6 ≤ 1 4分
所以 f x = 2sin x+ π6 的最大值为 2 5分
{#{QQABCQSQgggIAAJAAQgCAwFqCkEQkAGACAoOxAAAIAAASAFABAA=}#}
此时 x π的集合为 3 . 6分
【小问 2详解】
1
由题意：将 f(x)的图象的横坐标缩短到原来的 2 得到 y= 2sin 2x+
π
6 的图象
π
再向右平移 6 个单位后得到 g x = 2sin 2x-
π
6 8分
则 g x = 2sin 2x- π6 ≥ 1．即 sin 2x-
π
6 ≥
1
2 9分
2kπ+ π6 ≤ 2x-
π
6 ≤ 2kπ+
5π
6 ,(k∈ Z)． 10分
π
解得 6 + kπ≤ x≤
π
2 + kπ,(k∈ Z) 11分
所以 g(x)≥ 1 π π成立的 x的取值集合是 x 6 +kπ≤x≤ 2 +kπ,k∈Z 12分
19.【小问 1详解】
当 x< 0 1时,f x = ex- -x = 0,则 f x = 2无解 1分e
x≥ 0 ,f x = ex- 1当 时 x ,由 f x = 2得：e
2x- 2ex- 1= 0,解得：ex= 1± 2 , 3分
e
又 ex> 0,则 ex= 1+ 2 ,则 x= ln 1+ 2 ；
综上所述：x= ln 1+ 2 . 5分
【小问 2详解】
1 1
当 t∈ 0,1 时,f t = et- t 单调递增,则 f t ∈ 0,e- e e
； 7分
当 t= 0时,f 0 = 0,则 e0 f 0 +mf 0 = 0,则m∈R； 8分
et e2t- 1et f 2t 2t
当 t∈ 0,1 时, -m≤ = e = et t 11 e + t = e2t+ 1, 10分f t et- e
et
又 t∈ (0,1],
所以 e2t+1 min= e0+ 1= 2,所以-m≤ 2,即m≥-2；
综上所述：实数m的取值范围为 -2,+∞ . 12分
20.解：(1)证明：因为 tan α2 =
1
3，
2tan α 2× 1
所以 tanα= 2α =
3 = 31 4， 2分1-tan2 2 1- 9
则 tanα= 34 < 1= tan
π
4 3分
因为 α为锐角且函数 y= tanx在 0, π2 上单调递增， 4分
所以 0< α< π4 . 5分
tanα= sinα( ) cosα = 32 4 3 4解：由 ，结合角 α为锐角，解得 sinα= 5，cosα= 5 . 7分sin2α+cos2α=1
π
因为 2 < β- α< π，且 sin(β- α) =
7 2
10 ，
{#{QQABCQSQgggIAAJAAQgCAwFqCkEQkAGACAoOxAAAIAAASAFABAA=}#}
2
cos(β- α) =- 1- 7 2 =- 2所以 10 10 8分
所以 sinβ= sin[α+ (β- α)]= sinαcos(β- α) + cosαsin(β- α) 9分
= 3 × - 2 + 45 10 5 ×
7 2 2
10 = 2 ， 10分
π
又 2 <
π
2 + α< β< π+ α<
5π
4 ， 11分
3π
所以 β= 4 . 12分
21.【小问 1详解】
选择② y= kax+ b(k> 0,0< a< 1,x≥ 0)作为函数模型． 1分
由表格中的数据可知,当自变量增大时,函数值减小,所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为 1时,函数值的减少量有递减趋势,不是同一个常数,所以不应该选择一次函数模
型①． 3分
故应选择② y= kax+ b(k> 0,0< a< 1,x≥ 0)
100=k+b k=80将表中前 2min的数据代入,得 92=ka+b ,解得 a=0.9, 5分84.8=ka2+b b=20
所以函数模型的解析式为：y= 80× 0.9x+ 20． 6分
【小问 2详解】
由 (1)中函数模型,有 80× 0.9x+ 20= 60,即 0.9x= 1 12 ,所以 x= log0.9 2 , 7分
= -lg2 = lg2x ≈ 0.301即 lg0.9 1-2lg3 1-2×0.477 ≈ 6.54,
所以刚泡好的乌龙茶大约放置 6.54min能达到最佳饮用口感． 10分
【小问 3详解】
由 y= 80× 0.9x+ 20为减函数,且当 x越大时,y越接近 20,考虑到茶水温度降至室温就不能再降的
事实,所以乌龙茶所在实验室的室温约为 20℃． 12分
22.【小问 1详解】若选① x y z= x y z ,猜想正确 1分
x y
证明： x y z= lg(10x+ 10y) z= lg[10lg(10 +10 )+ 10z]= lg(10x+ 10y+ 10z), 2分
y z
x y z = x lg(10y + 10z) = lg[10x+ 10lg(10 +10 )]= lg(10x+ 10y+ 10z) 3分
故 x y z= x y z 4分
若选② x y + z= x+z y+z ,猜想成立； 1分
证明： x y + z= lg(10x+ 10y) + z, 2分
y+z y y
而 x+z y+z = lg(10x+z+ 10 ) = lg[(10x+ 10 ) 10z]= lg(10x+ 10 ) + z 3分
故 x y + z= x+z y+z ； 4分
【小问 2详解】由题意可知 f x = s+1 s+3 - 1- lg101= lg(10s+1+ 10s+3) - 1- lg101
= lg[10s+1 (1+ 102)]- 1- lg101= s+ 1+ lg101- 1- lg101= s
= loga x-2a x-4a 5分
令 g(x) = (x- 2a) (x- 4a) = x2- 6a+ 8a2,其图象对称轴为 x= 3a,
故 g(x)在 (0,2a)上单调递减因为 f x 在区间 m,n 上的值域为 logan,logam ,
故 logan< logam,而 0此时 y= logax在 (0, +∞)上单调递减,
{#{QQABCQSQgggIAAJAAQgCAwFqCkEQkAGACAoOxAAAIAAASAFABAA=}#}
所以 f x = logag(x)在 m,n 上单调递增,
f(m)=log n loga m-2a m-4a =logan则 a ( )= ,即 - - = , 7分f n logam loga n 2a n 4a logam
m-2a m-4a =n即 2 2 - - = ,整理得m -n - 6a(m-n) =- (m-n), 8分 n 2a n 4a m
即m+n- 6a=-1,将n= 6a-m- 1代入 m-2a m-4a =n,
得m2- 6a-1 m+ 8a2- 6a+ 1= 0,同理得n2- 6a-1 n+ 8a2- 6a+ 1= 0,
即m,n是 x2- 6a-1 x+ 8a2- 6a+ 1= 0在 (0,2a)上的两个不同的根, 9分
h 0 =8a2 -6a+1>0
h 2a =-4a+1>0
令 h(x) = x2- 6a-1 x+ 8a2- 6a+ 1,则 < 6a-1 < , 10分 0 2 2a
Δ= 6a-1 2 -4 8a2-6a+1 >0
a< 1 或a> 1 4 2
a<
1
4
解得 1 1 11分 6 a< -3-2 3 或a> -3+2 32 2
故 a∈ 2 3-32 ,
1
4 . 12分
{#{QQABCQSQgggIAAJAAQgCAwFqCkEQkAGACAoOxAAAIAAASAFABAA=}#}