福州八中2023—2024学年第一学期期末考试
高二数学
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
2024.01.30
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中,若,,则( )
A.38 B.39 C.40 D.41
2.若抛物线()的焦点与椭圆的一个焦点重合,则该抛物线的准线方程( )
A. B. C. D.
3.若圆:与圆:内切,则( )
A. B.9 C. D.25
4.在平面直角坐标系中,若曲线(,为常数)过点,且该曲线在点处的切线与直线平行,则( )
A., B.,
C., D.,
5.已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,一条渐近线为,过点且与平行的直线交双曲线于点,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
6.已知函数在上为减函数,则的取值范围是( )
A. B: C. D.
7.如图,将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形,第一次挖去中间的一个小正三角形,将剩下的三个小正三角形,再分别从中间挖去一个小正三角形,保留它们的边,重复操作以上做法,得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第次挖去的小正三角形面积之和(如是第1次挖去的中间小正三角形面积,是第2次挖去的三个小正三角形面积之和),则( )
A. B.是等差数列
C. D.前次挖去的所有小正三角形面积之和为
8.已用函数,直线:,若有且仅有一个整数,使得点在直线上方,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知:,则下述正确的是( )
A.圆的半径 B.点在圆的内部
C.直线:与圆相切 D.圆:与圆相交
10.已知数列的前项和为,则下列说法正确的是( )
A.若,则是等差数列 B.若,则是等比数列
C.若是等差数列,则 D.若是等比数列,则
11.已知,分别为椭圆:()和双曲线:(,)的公共左,右焦点,(在第一象限)为它们的一个交点,且,直线与双曲线交于另一点,若,则下列说法正确的是( )
A.的周长为 B.双曲线的离心率为
C.椭圆的离心率为 D.
12.已知,且,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若直线:与直线:垂直,则实数的值为______.
14.设函数的导数为,且,则______.
15.已知双曲线:的上、下焦点分别为,.点在轴上,线段交于点,的内切圆与直线相切于点,则线段的长为______.
16.若数列的前项和为,,则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且,设数列的前项和为,若对恒成立,则实数的取值范围为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知函数.
(1)若函数,求的单调递增区间;
(2)若有两个都小于0的极值点,求实数的取值范围.
18.(12分)
在中,角,,的对边分别为,,,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,,求的面积.
19.(12分)
如图,平面,平面,,,,.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20.已和椭圆:()的右焦点,长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆的上顶点,直线:()与椭圆相交于不同的两点,,若,求直线的方程.
21.(12分)
已知数列满足(),.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)若记为满足不等式,的正整数的个数,数列的前项和为,求关于的不等式的最大正整数解.
22.(12分)
已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.
福州八中2023—2024学年第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.ACD 10.BC 11.BCD 12.BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.0或 14.1 15. 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
【解】(1)因为,
且定义域为,所以().
令,得或.
所以的单调递增区间为,.
(2)因为,所以,
又因为有两个都小于0的极值点,
所以有两个不相等的负数根,,
所以,解得,
所以实数的取值范围为.
18.(12分)
【解】(1)由,
根据正弦定理有,
所以,
所以,即,
因为,所以,所以,
因为,所以.
(2),,
或(舍),
.
19.(12分)
【解】(1)证明:,面,面,
面,
又面,,、面,
面面,
又面面,面面,
.
(2)以为原点,分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,取,则,则,
设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角为
20.(12分)
【解】(1)由题意得,,
,,,,
椭圆的标准方程为.
(2)依题意,知,设,.
联立消去,可得
,即,,
,.
,.
,
,
整理得,解得或(舍去).
直线的方程为.即.
21.(12分)
【解】(1)由取倒数得,故,
又,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,
则,所以;
(2)当,时,,
故,解得,.
所以满足条件的整数的个数为,即,
所以,故数列递增,
所以,
则,
两式相减可得,
所以,
因为,,所以,
因此,满足的最大正整数的值为7.
22.(12分)
【解】(1)当时,,
故切线的斜率,
又,切点为
切线方程为,化简得.
(2)法1:当时,恒成立,故,
也就是,即,
由得,
令(),
则,
令,则,
可知在单调递增,则,即在恒成立,.
故在单调递增,所以,故在恒成立.
所以在单调递增,
而,所以,故.
法2:因为当时,恒成立,故,
由(),
令,得或,
①当,即时,在上恒成立,
在上单调递减,,
不合题意,合题意.
②当,即时,
当时,当时,
故在上单调递增,在上单调递减,
,
设,,则恒成立,
在上单调递减,故即,合题意.
综上,.
法3:因为当时,恒成立,也就是,
即恒成立,令,,
令,.
,,恒成立,在上单调递增.
.
①当,即时,,在上单调递增,
,合题意;
②当,即时,,
因为,,
存在,使得,即.
在上单调递减,在上单调递增.
,不合题意.
综上,.