福建省福州市第八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

福州八中2023—2024学年第一学期期末考试
高二数学
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2024.01.30
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
2．若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程（ ）
A． B． C． D．
3．若圆：与圆：内切，则（ ）
A． B．9 C． D．25
4．在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
6．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B： C． D．
7．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形．设是第次挖去的小正三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小正三角形面积，是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（ ）
A． B．是等差数列
C． D．前次挖去的所有小正三角形面积之和为
8．已用函数，直线：，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知：，则下述正确的是（ ）
A．圆的半径 B．点在圆的内部
C．直线：与圆相切 D．圆：与圆相交
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则
11．已知，分别为椭圆：（）和双曲线：（，）的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为 B．双曲线的离心率为
C．椭圆的离心率为 D．
12．已知，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线：与直线：垂直，则实数的值为______．
14．设函数的导数为，且，则______．
15．已知双曲线：的上、下焦点分别为，．点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为______．
16．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）若函数，求的单调递增区间；
（2）若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围．
18．（12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积．
19．（12分）
如图，平面，平面，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．已和椭圆：（）的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的上顶点，直线：（）与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
21．（12分）
已知数列满足（），．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式，的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
福州八中2023—2024学年第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．BC 11．BCD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．0或 14．1 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解】（1）因为，
且定义域为，所以（）．
令，得或．
所以的单调递增区间为，．
（2）因为，所以，
又因为有两个都小于0的极值点，
所以有两个不相等的负数根，，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
18．（12分）
【解】（1）由，
根据正弦定理有，
所以，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以．
（2），，
或（舍），
．
19．（12分）
【解】（1）证明：，面，面，
面，
又面，，、面，
面面，
又面面，面面，
．
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，则，
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角为
20．（12分）
【解】（1）由题意得，，
，，，，
椭圆的标准方程为．
（2）依题意，知，设，．
联立消去，可得
，即，，
，．
，．
，
，
整理得，解得或（舍去）．
直线的方程为．即．
21．（12分）
【解】（1）由取倒数得，故，
又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，所以；
（2）当，时，，
故，解得，．
所以满足条件的整数的个数为，即，
所以，故数列递增，
所以，
则，
两式相减可得，
所以，
因为，，所以，
因此，满足的最大正整数的值为7．
22．（12分）
【解】（1）当时，，
故切线的斜率，
又，切点为
切线方程为，化简得．
（2）法1：当时，恒成立，故，
也就是，即，
由得，
令（），
则，
令，则，
可知在单调递增，则，即在恒成立，．
故在单调递增，所以，故在恒成立．
所以在单调递增，
而，所以，故．
法2：因为当时，恒成立，故，
由（），
令，得或，
①当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
不合题意，合题意．
②当，即时，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，
，
设，，则恒成立，
在上单调递减，故即，合题意．
综上，．
法3：因为当时，恒成立，也就是，
即恒成立，令，，
令，．
，，恒成立，在上单调递增．
．
①当，即时，，在上单调递增，
，合题意；
②当，即时，，
因为，，
存在，使得，即．
在上单调递减，在上单调递增．
，不合题意．
综上，．