18.2.2 菱形同步练习（含解析）
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18.2.2 菱形
一、单选题
1．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），四边形ABCD是（ ）.
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
4．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．160 B．80 C．40 D．96
二、填空题
5．已知菱形ABCD的对角线AC＝12 cm，BD=16cm，则这个菱形的面积为 cm.
6．如图，菱形对角线相交于点O，，则菱形的边长为 ．
7．菱形的两条对角线长为2和 ，则菱形的周长为 .
三、解答题
8．如图，四边形 是平行四边形， ，且分别交对角线 于点 ， ，连接 .若 ，求证：四边形 是菱形.
9．如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F在CD上，，连接OF并延长到E，使，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若，，求OD的长．
四、综合题
10．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=8.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积.
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长．
12．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点，，连接，．
（1）求证：
（2）判断四边形的形状，并证明；
（3）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=1，∠COD=90°， ∠CDO=12∠ADC=12×60 =30 .
∴CD=2OC=2×1=2，
故选C.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出OA的长，再利用菱形的性质可得，再求出点B的坐标即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选B．
【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，BD=16，
∴BO=BD=8，AC⊥BD，AC=2OA，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴AC=2OA=12，
∴S菱形ABCD=.
故答案为：D
【分析】利用菱形的性质，可证得AC⊥BD，AC=2OA，同时求出BO的长，再利用勾股定理求出AO的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积.
5．【答案】96
【解析】【解答】解：∵对角线AC＝12，BD＝16，
∴菱形的面积＝ ×12×16＝96(cm2).
故答案为:96.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答.
6．【答案】5
【解析】【解答】∵菱形对角线相交于点O，
∴ AC⊥BD，AO=OC=4，DO=BD=3
∴ AD==5
∴ 菱形的边长是5
【分析】本题考查菱形的性质和勾股定理的计算。菱形对角线互相平分且垂直，熟悉这一点很重要。
7．【答案】12
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AO=AC=，DO=BD=1，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，，
∴菱形的周长为3×4=12.
【分析】利用菱形的性质可证得∠AOD=90°，同时可求出AO，OD的长；再利用勾股定理求出AD的长，然后求出菱形的周长。
8．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形EBFD为菱形.
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得到AD=CB，AD∥CB， 再利用平行线的性质可推出∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，利用AAS证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出DE=DF；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形EBFD是平行四边形，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可得，，然后利用平行四边形的判定以及矩形的判定即可证明四边形OCED是矩形；
（2）已知，AD=2，是四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可得，，，然后可以证明三角形ABD是等边三角形，然后即可求出AD=2OD，然后求出OD即可.
10．【答案】（1）证明：如图，
∵AB//DC，
∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4
又∵AO=CO，
∴△AOB≌△COD，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积为S= AC×BD=40.
【解析】【分析】（1）先证明△AOB≌△COD，可得OD=OB，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论；
（2）先根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
11．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC
同理得：AD=AB，
∴AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵BD=2BO=2，∴BO=1
∵AO=
∴AO=2，
∴AC=2AO=4
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，AO=CO，
∴OE==2
【解析】【分析】（1）由AB与DC平行，可知∠DCA与∠CAB这一组内错角相等，再由已知条件中AC平分∠BAD，可知∠DAC与∠CAB相等，即可得到∠DAC与∠DCA相等，由等角对等边可知AD与DC相等，同理可知AD与AB相等，所以AB与DC这一组对边相等，再由AB与DC平行，可以判定四边形ABCD是平行四边形，再由已知中的AB与AD这一组邻边相等，即可证得四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理可以求得AO的长，即可得到AC的长，再由CE与AE垂直，可知三角形ACE是直角三角形，点O是斜边AC上的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得OE的长。
12．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠FAC＝∠ECA
∵O是AC的中点
∴OA＝OC
又∠AOF＝∠COE
∴ △AOF≌△COE．
（2）四边形AECF是菱形，
证明：由（1）得△AOF≌△COE
∴AF＝CE
又AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形．
（3）解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD＝AB＝4，∠D＝90°
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC＝．．
又∵O是AC的中点
∴OC＝
在Rt△CDF中，设CF＝x，
∵四边形AECF是菱形．
∴AF＝CF＝x
则DF＝8－x，根据勾股定理得：
解得x＝5；即CF＝5
在Rt△COF中，根据勾股定理得
所以EF＝2OF＝．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠FAC＝∠ECA，根据中点的概念可得OA＝OC，由对顶角的性质可得∠AOF＝∠COE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AF＝CE，结合AF∥EC可得四边形AECF是平行四边形，然后根据EF⊥AC以及菱形的判定定理进行证明；
（3）根据矩形的性质可得CD＝AB＝4，∠D＝90°，利用勾股定理可得AC，根据中点的概念可得OC，设CF＝x，根据菱形的性质可得AF＝CF＝x，则DF＝8-x，根据勾股定理得x，然后利用勾股定理求出OF，据此可得EF.
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18.2.2 菱形
一、单选题
1．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），四边形ABCD是（ ）.
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
4．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．160 B．80 C．40 D．96
二、填空题
5．已知菱形ABCD的对角线AC＝12 cm，BD=16cm，则这个菱形的面积为 cm.
6．如图，菱形对角线相交于点O，，则菱形的边长为 ．
7．菱形的两条对角线长为2和 ，则菱形的周长为 .
三、解答题
8．如图，四边形 是平行四边形， ，且分别交对角线 于点 ， ，连接 .若 ，求证：四边形 是菱形.
9．如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F在CD上，，连接OF并延长到E，使，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若，，求OD的长．
四、综合题
10．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=8.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积.
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长．
12．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点，，连接，．
（1）求证：
（2）判断四边形的形状，并证明；
（3）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=1，∠COD=90°， ∠CDO=12∠ADC=12×60 =30 .
∴CD=2OC=2×1=2，
故选C.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出OA的长，再利用菱形的性质可得，再求出点B的坐标即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选B．
【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，BD=16，
∴BO=BD=8，AC⊥BD，AC=2OA，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴AC=2OA=12，
∴S菱形ABCD=.
故答案为：D
【分析】利用菱形的性质，可证得AC⊥BD，AC=2OA，同时求出BO的长，再利用勾股定理求出AO的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积.
5．【答案】96
【解析】【解答】解：∵对角线AC＝12，BD＝16，
∴菱形的面积＝ ×12×16＝96(cm2).
故答案为:96.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答.
6．【答案】5
【解析】【解答】∵菱形对角线相交于点O，
∴ AC⊥BD，AO=OC=4，DO=BD=3
∴ AD==5
∴ 菱形的边长是5
【分析】本题考查菱形的性质和勾股定理的计算。菱形对角线互相平分且垂直，熟悉这一点很重要。
7．【答案】12
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AO=AC=，DO=BD=1，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，，
∴菱形的周长为3×4=12.
【分析】利用菱形的性质可证得∠AOD=90°，同时可求出AO，OD的长；再利用勾股定理求出AD的长，然后求出菱形的周长。
8．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形EBFD为菱形.
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得到AD=CB，AD∥CB， 再利用平行线的性质可推出∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，利用AAS证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出DE=DF；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形EBFD是平行四边形，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可得，，然后利用平行四边形的判定以及矩形的判定即可证明四边形OCED是矩形；
（2）已知，AD=2，是四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可得，，，然后可以证明三角形ABD是等边三角形，然后即可求出AD=2OD，然后求出OD即可.
10．【答案】（1）证明：如图，
∵AB//DC，
∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4
又∵AO=CO，
∴△AOB≌△COD，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积为S= AC×BD=40.
【解析】【分析】（1）先证明△AOB≌△COD，可得OD=OB，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论；
（2）先根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
11．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC
同理得：AD=AB，
∴AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵BD=2BO=2，∴BO=1
∵AO=
∴AO=2，
∴AC=2AO=4
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，AO=CO，
∴OE==2
【解析】【分析】（1）由AB与DC平行，可知∠DCA与∠CAB这一组内错角相等，再由已知条件中AC平分∠BAD，可知∠DAC与∠CAB相等，即可得到∠DAC与∠DCA相等，由等角对等边可知AD与DC相等，同理可知AD与AB相等，所以AB与DC这一组对边相等，再由AB与DC平行，可以判定四边形ABCD是平行四边形，再由已知中的AB与AD这一组邻边相等，即可证得四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理可以求得AO的长，即可得到AC的长，再由CE与AE垂直，可知三角形ACE是直角三角形，点O是斜边AC上的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得OE的长。
12．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠FAC＝∠ECA
∵O是AC的中点
∴OA＝OC
又∠AOF＝∠COE
∴ △AOF≌△COE．
（2）四边形AECF是菱形，
证明：由（1）得△AOF≌△COE
∴AF＝CE
又AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形．
（3）解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD＝AB＝4，∠D＝90°
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC＝．．
又∵O是AC的中点
∴OC＝
在Rt△CDF中，设CF＝x，
∵四边形AECF是菱形．
∴AF＝CF＝x
则DF＝8－x，根据勾股定理得：
解得x＝5；即CF＝5
在Rt△COF中，根据勾股定理得
所以EF＝2OF＝．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠FAC＝∠ECA，根据中点的概念可得OA＝OC，由对顶角的性质可得∠AOF＝∠COE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AF＝CE，结合AF∥EC可得四边形AECF是平行四边形，然后根据EF⊥AC以及菱形的判定定理进行证明；
（3）根据矩形的性质可得CD＝AB＝4，∠D＝90°，利用勾股定理可得AC，根据中点的概念可得OC，设CF＝x，根据菱形的性质可得AF＝CF＝x，则DF＝8-x，根据勾股定理得x，然后利用勾股定理求出OF，据此可得EF.
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