18.2.3 正方形同步练习（含解析）
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18.2.3 正方形
一、填空题
1．如图，正方形的边长为3，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ．
2．已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 ．
3．如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是
4．如图，将三个形状，大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置，，，则 度.
二、单选题
5．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（ ）
A． B． C．3 D．6
6．下列四个命题不正确的是 （ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形
7．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
8．如图，已知点C是线段AB上的一动点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB＝8，且两正方形的面积和为S1+S2＝36．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．7 B．7.5 C．14 D．15
三、解答题
9．如图，四边形均为正方形，连接．求证：．
10．如图，∠ABC=∠FAC=90°，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积
四、综合题
11．如图1，BD是正方形ABCD的对角线，BC=4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作 ，使得HE=CH，连接AE。
（1）求证： ；
（2）如图2，过点E作EF//AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度。
12．如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
（1）若是的角平分线，求证：是的角平分线；
（2）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】根据旋转得旋转角为，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再根据，利用勾股定理求出EF的长即可。
2．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
解得．
故答案为：3．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，利用勾股定理求解即可。
3．【答案】64
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：64.
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
4．【答案】15
【解析】【解答】解：由正方形可得，
∵，
，
∴
，
故答案为：15.
【分析】由正方形的性质可得∠DAG=∠CAF=∠BAE=90°，则∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°，∠DAF=∠DAG-∠FAG=45°，然后根据∠DAE=∠CAE+∠DAF-∠CAF进行计算.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴ ，
当点Q在AB边上运动时（点Q不与点B重合），MN一直是△BQD的中位线，
则线段 .
故答案为：A.
【分析】连接，由正方形性质得到AB=AD=6，接着再由勾股定理得到,最后由中位线性质得到.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；
B、对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，所以原命题错误，故此选项符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
D、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，正确，是真命题.
故答案为：B.
【分析】直接利用菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定方法以及中点四边形的判定方法分别分析得出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故答案为：C ．
【分析】根据正方形和菱形的性质判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ACDE和四边形CFGB是正方形，
∴S1=AC2，S2=CF2，BC=CF，
∵S1+S2=36，AB=8，
∴AC2+CF2=36，AC+CF=8，
∴2AC·CF=（AC+CF）2-（AC2+CF2）=64-36=28，
∴AC·CF=14，
∴S阴影部分=AC·CF=7.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出AC2+CF2=36，AC+CF=8，利用完全平方公式的变形求出，AC·CF的值，再根据三角形面积公式即可得出阴影部分的面积.
9．【答案】解：∵四边形、均为正方形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据正方形的性质及角的运算可得，再利用“SAS”证明，可得AG=CE。
10．【答案】解：在Rt△ABC中，AC= =5（cm），
在Rt△ACF中，CF= =13（cm），
∴正方形CDEF的面积=13×13=169（cm2）
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长；再在Rt△ACF中，利用勾股定理求出CF的长；然后利用正方形的面积为CF2，代入计算可求出此正方形的面积.
11．【答案】（1）证明：∵CH⊥HE
∴∠CHD+∠AHE=90°，
又∠DCH+∠CHD=90°，
∴
（2）解：连接FH，作EM⊥AG延长线，
∵EF//AD，FH⊥DA，∴四边形EFHM为矩形
∴EF=HM
∵CH=HE， ，又∠CDH=∠HME=90°，
∴△CDH≌△HME
∴HM=CD，
故EF=CD=4为定值.
【解析】【分析】（1）根据 及正方形的内角为90°，由同角的余角相等即可证明；
（2）连接FH，作EM⊥AG延长线，首先证明四边形EFHM为矩形，再证明 △CDH≌△HME ，根据全等三角形的性质及矩形的性质得到EF=HM=DC即可求解.
12．【答案】（1）解：如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，
是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
又，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可得，
，
，，
【解析】【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到， 先证出，可得，再结合，可得，即可证出是的角平分线；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合 ，， 可得。
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18.2.3 正方形
一、填空题
1．如图，正方形的边长为3，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ．
2．已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 ．
3．如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是
4．如图，将三个形状，大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置，，，则 度.
二、单选题
5．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（ ）
A． B． C．3 D．6
6．下列四个命题不正确的是 （ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形
7．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
8．如图，已知点C是线段AB上的一动点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB＝8，且两正方形的面积和为S1+S2＝36．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．7 B．7.5 C．14 D．15
三、解答题
9．如图，四边形均为正方形，连接．求证：．
10．如图，∠ABC=∠FAC=90°，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积
四、综合题
11．如图1，BD是正方形ABCD的对角线，BC=4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作 ，使得HE=CH，连接AE。
（1）求证： ；
（2）如图2，过点E作EF//AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度。
12．如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
（1）若是的角平分线，求证：是的角平分线；
（2）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】根据旋转得旋转角为，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再根据，利用勾股定理求出EF的长即可。
2．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
解得．
故答案为：3．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，利用勾股定理求解即可。
3．【答案】64
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：64.
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
4．【答案】15
【解析】【解答】解：由正方形可得，
∵，
，
∴
，
故答案为：15.
【分析】由正方形的性质可得∠DAG=∠CAF=∠BAE=90°，则∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°，∠DAF=∠DAG-∠FAG=45°，然后根据∠DAE=∠CAE+∠DAF-∠CAF进行计算.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴ ，
当点Q在AB边上运动时（点Q不与点B重合），MN一直是△BQD的中位线，
则线段 .
故答案为：A.
【分析】连接，由正方形性质得到AB=AD=6，接着再由勾股定理得到,最后由中位线性质得到.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；
B、对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，所以原命题错误，故此选项符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
D、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，正确，是真命题.
故答案为：B.
【分析】直接利用菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定方法以及中点四边形的判定方法分别分析得出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故答案为：C ．
【分析】根据正方形和菱形的性质判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ACDE和四边形CFGB是正方形，
∴S1=AC2，S2=CF2，BC=CF，
∵S1+S2=36，AB=8，
∴AC2+CF2=36，AC+CF=8，
∴2AC·CF=（AC+CF）2-（AC2+CF2）=64-36=28，
∴AC·CF=14，
∴S阴影部分=AC·CF=7.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出AC2+CF2=36，AC+CF=8，利用完全平方公式的变形求出，AC·CF的值，再根据三角形面积公式即可得出阴影部分的面积.
9．【答案】解：∵四边形、均为正方形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据正方形的性质及角的运算可得，再利用“SAS”证明，可得AG=CE。
10．【答案】解：在Rt△ABC中，AC= =5（cm），
在Rt△ACF中，CF= =13（cm），
∴正方形CDEF的面积=13×13=169（cm2）
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长；再在Rt△ACF中，利用勾股定理求出CF的长；然后利用正方形的面积为CF2，代入计算可求出此正方形的面积.
11．【答案】（1）证明：∵CH⊥HE
∴∠CHD+∠AHE=90°，
又∠DCH+∠CHD=90°，
∴
（2）解：连接FH，作EM⊥AG延长线，
∵EF//AD，FH⊥DA，∴四边形EFHM为矩形
∴EF=HM
∵CH=HE， ，又∠CDH=∠HME=90°，
∴△CDH≌△HME
∴HM=CD，
故EF=CD=4为定值.
【解析】【分析】（1）根据 及正方形的内角为90°，由同角的余角相等即可证明；
（2）连接FH，作EM⊥AG延长线，首先证明四边形EFHM为矩形，再证明 △CDH≌△HME ，根据全等三角形的性质及矩形的性质得到EF=HM=DC即可求解.
12．【答案】（1）解：如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，
是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
又，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可得，
，
，，
【解析】【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到， 先证出，可得，再结合，可得，即可证出是的角平分线；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合 ，， 可得。
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