第十八章 平行四边形综合练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十八章 平行四边形综合练习题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 13.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-29 08:36:21 | ||
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文档简介
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第十八章 平行四边形综合练习题
一、填空题
1．如图，AB是半圆的直径，C为半圆上一点，BC，D为弧BC上一点.连接OD，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，AE=2，则AB的长为 .
2．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
3． 如图，在平行四边形中，，点分别是的中点，则 .
4．如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）正方形ABCD的边长a＝ ；
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，则的值是 ．
5．已知，在矩形 中，点E为 的中点，点F为 上一点，连接 、 ，若 ， ， ，则线段DF的长为 ．
二、单选题
6．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）
A．∠BCA＝45° B．AC＝BD
C．BD的长度变小 D．AC⊥BD
7．如图，在 中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形一定是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
9．如图，面积为36的正方形 中，有一个小正方形 ，其中 、 、 分别在 ， ， 上，若 ，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点 M、N是矩形 的边 ， 上的点，过点 作 于点 ，交矩形 的边于点 ，连接 .若 ， ，则 的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
11．图中的长方形 由1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形组成，若1号正方形的边长为 ，3号正方形的边长为 ，则长方形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中错误的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线垂直的矩形是正方形
13．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）.把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，-1） B．（-1，1） C．（-1，-2） D．（1，-2）
14．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 、 上， ， ， 相交于点 ，若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= MF．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
三、解答题
16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE=BF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
17．如图，已知△ABC， D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形．
18．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．如图，当点落在边上时，连结，求的长．
（1）数学思考：
请你解答老师提出的问题．
（2）深入探究：
老师将图2中的绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在的延长线上时，连结，求的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在的延长线上时，连结，求的长．
19．如图，正方形中，点，分别是边，的中点，连接，相交于点.
（1）求证：；
（2）如果点，分别是，的中点，连接并延长交于，连接，若，求的长.
四、综合题
20．如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC，BD的长；
（3）菱形ABCD的面积．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
22．如图，在中，，边上高为，点为边的中点，点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与点重合时，连接，以、为邻边作 设点的运动时间为秒，t＞0
（1）①线段的长为 ；用含的代数式表示线段的长；
（2）当点在内部时，求的取值范围；
（3）当 是菱形时，求的值；
（4）作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．
五、实践探究题
23．【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： = ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 = ，则 的值为 ；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE，CD=AE，AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴EC=EB，
∵OA=OB，
∴AC=2OE=DE，
设OE=x，则AC=DE=2x，
∴OC=OD=3x，CD=AE=，
∵CE2=OC2-OE2=CD2-DE2，
∴ ，
∴x=1，
AB=2OA=2OC=6x=6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据平行四边形的性质可得AC=DE，CD=AE，AC∥DE，由平行线的性质可得∠ACE=∠DEC=90°，根据垂径定理可得EC=EB，进而推出AC=2OE=DE，设OE=x，则AC=DE=2x，OC=OD=3x，CD=AE=，然后在Rt△COE、Rt△CDE中，根据勾股定理进行计算.
2．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴
∴，
∵正方形ABEF，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，可得到，由此可求出AB的长，再利用正方形的性质可求出AF的长；然后根据DF=AD-AF，代入计算求出DF的长.
3．【答案】5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm，
∵点分别是的中点 ，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=BC=5cm，
故答案为：5.
【分析】由平行四边形的性质可得BC=AD=10cm，利用三角形中位线定理可得EF=BC=5cm.
4．【答案】（1）
（2）﹣5
【解析】【解答】解：（1）由于正方形的面积为69，所以正方形的边长为69的算术平方根，即边长为，
故答案为：；
（2）∵＜＜，即8＜＜9，
而m＜＜n，m，n表示两个连续的正整数，
∴m＝8，n＝9，
∴＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为：-5.
【分析】（1）根据正方形的面积公式可得：正方形的面积=边长2，进而根据算术平方根即可得出答案；
（2）根据估算无理数大小的方法可得8＜＜9，则m＝8，n＝9，然后结合立方根、算术平方根的概念进行计算.
5．【答案】 或
【解析】【解答】解：①当点F靠近点A时，如下图所示，过点F作FG⊥DC于G
易知四边形ABCD、DAFG和GFBC都为矩形
∴GF=BC=2，CD=AB=4
在Rt△GEF中，EG=
∵点 为 的中点，
∴DE= =2
∴DE=2EG
即点G为DE的中点
∴FG垂直平分DE
∴DF=EF= ；
②当点F靠近点B时，如下图所示过点F作FG⊥DC于G
易知四边形ABCD、DAFG和GFBC都为矩形
∴GF=BC=2，CD=AB=4
在Rt△GEF中，EG=
∵点E为 的中点，
∴DE= =2
∴DG=DE＋EG=3
在Rt△DFG中，DF=
综上：DF= 或
故答案为： 或 ．
【分析】根据点F靠近点A和点F靠近点B分类讨论，分别画出对应的图形，根据矩形的判定及性质、勾股定理、垂直平分线的性质即可分别求出结论．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质逐项判定即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质得到和互补，进而得到的度数.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故此项错误；
B. 两组对边平行的四边形是平行四边形，一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，故此项错误；
C. 对角线相等的平行四边形一定是矩形，对角线相等的四边形有可能是一般四边形，故此项错误；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，故此项正确；
故答案为：D.
【分析】分别根据菱形判断定理判断A；根据平行四边形的判定定理判断B；根据矩形的判定定理判断C；根据正方形的判定定理判断D.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36
∴BC=CD=6 ，
∵BF=2 ，
∴CF=4 ，
∵在正方形ABCD和EFGH中 ∠B=∠C=∠EFG=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠CFD+∠BFE=90° ，
∴∠BEF=∠CFD，
∴ ，
∴
∴
∴BE= ，
∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：
∴小正方形的边长为 .
故答案为：A.
【分析】先根据正方形ABCD的面积为36，求得大正方形的边长；利用“一线三等角”证得∠BEF=∠CFD，进而得 ，利用相似三角形的性质求得BE；再利用勾股定理求得正方形EFGH的边长即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点 是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得：DO=5，
∴ ，即 的长的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】由 可得∠APB=90°，根据圆周角定理可得点P在以以AB为直径，在AB上方的半圆上运动，故DP的值最小，即为点D与圆心的连线与圆的交点时，故取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点 是DP的长为最小值，由勾股定理可得OD的长，进而由DP=OD-OP即可得出答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵1号正方形的边长为a ，3号正方形的边长为b ，
∴2号正方形的边长=b-a，4号正方形的边长=b+a，
∴AB=b+b-a=2b-a，AD=b+b+a=2b+a，
∴长方形ABCD的周长=(2b-a+2b+a)×2=8b，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得2号正方形的边长为：b-a，4号正方形的边长为：b+a，则AB=2b-a，AD=2b+a，据此不难求出长方形ABCD的周长.
12．【答案】B
【解析】【解答】A、四个角相等的四边形是矩形，正确；
B、四条边相等的四边形是菱形，不是正方形，所以错误；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确；
D、对角线垂直的矩形是正方形，正确。
故答案为：B。
【分析】利用矩形、正方形的判定方法逐项判定即可。
13．【答案】D
【解析】【解答】∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=CD=2，AD=BC=3，且四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD的周长C矩形ABCD=2（AB+BC）=10．
∵2017=201×10+7，AB+BC+CD=7，∴细线的另一端落在点D上，即（1，﹣2）．
故答案为：D．
【分析】由已知坐标可求出AB=CD=2，AD=BC=3，从而求出C矩形ABCD=2（AB+BC）=10，由2017=201×10+7可知另一端绕201圈又多出7个单位长度，据此即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
∴空白部分的面积为9 6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF＋∠BCG＝90°，
∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
又∵a2＋b2＝32，
∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，
即（a＋b）2＝15，
∴a＋b＝ ，即BG＋CG＝ ，
∴△BCG的周长＝ ＋3，
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF= BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴ = = =2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF= = = a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ = ，
即 = ，
解得AM= a，
∴MF=AF﹣AM= a﹣ a= a，
∴AM= MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则 = = ，
即 = = ，
解得MN= a，AN= a，
∴NB=AB﹣AN=2a﹣ a= a，
根据勾股定理，BM= = = a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a﹣ a= a，MK= a﹣a= a，
在Rt△MKO中，MO= = = a，
根据正方形的性质，BO=2a× = a，
∵BM2+MO2=（ a）2+（ a）2=2a2，
BO2=（ a）2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得 = = =2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM= MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°.AD=BC，在Rt△ADE和Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），∴AE=CF，∵矩形ABCD中AB=CD，AB∥CD，∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=90°AD=BC，求出Rt△ADE≌Rt△CBF，根据全等得出AE=CF，根据矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，求出BE=DF，BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可．
17．【答案】证明：∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵CF∥BA，
∴ ，
在△ADE和△CDF中，
，
∴ ，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】【分析】根据题目条件证明 ，先证明四边形AECF是平行四边形，再根据 ，即可证明四边形是菱形．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
由旋转的性质，得．
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（2）解：①．
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点H，交于点G，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，
由旋转的性质，得，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如解图，连结，过点作于点，过点作于点，则．
由旋转的性质，得，，．
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
解得，．
∴．
在中，根据勾股定理，得．
【解析】【分析】（1）根据矩形和旋转的性质，得，根据勾股定理可得；
（2）①当点落在的延长线上时，过点作于点，交于点，得四边形是矩形，由旋转的性质，得，，求出
，，根据勾股定理可得的长；
②连接，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，得，，，根据勾股定理可得的长．
19．【答案】（1）解：证明：如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∵点，分别是边，的中点，∴，
在和中，，∴
∴，又∵，∴，∴，∴，
（2）连接，如图，
∵四边形是正方形，，∴，，，
∵点，分别是边，的中点，∴，
∵，∴.∵是的中点，∴，
在和中，，∴
∴，，∴，∴，
又∵点是的中点，∴是的中位线，∴.
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的中位线及勾股定理等知识，熟练掌握是关键。（1）由正方形ABCD得，，根据E、F是中点得BE=CF，证，再用其性质证CE⊥DF；（2）连接，根据正方形的性质和中点证得，，可得AP，勾股定理再得PE，结合GH为中位线，得GH长。
20．【答案】（1）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵菱形ABCD中，AD=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ABC=120°
（2）解：∵△ABD是等边三角形，AE=2，
∴AB=BD=AD=4，
∴DE=AO= = =2 ，
∴AC=4
（3）解：菱形ABCD的面积= BD AC= ×4 ×4=8
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°解答；（2）根据等边三角形的性质求出DE，进而得出AO以及AC的长；（3）利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
21．【答案】（1）证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形
（2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，
∴CB= AB，CE= AB．
∴CB=CE．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．
22．【答案】（1）①②当时，．当时，；
（2）如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知，当时，点在内部．
如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知当时，点在内部．
综上所述，当或时，点在内部；
（3）解：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
，
．
如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（4）如图中，当点在上时，过点作于点．
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在上时，过点作于点．
同法可证，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【解析】【解答】解：（1） ① 过A作AHBC于H，
由题意，AH=8
故第一空填：
由题意，点P不与点A重合，可与C重合，
当时
AP=AB-BP=10-5t=-5t+10
当 时
故答案为： 当时，．当时，
【分析】（1）根据题意作高，由勾股定理求AC，根据题意结合图象分别写出不同时段、含t的表示AP长的代数式；
（2）在草纸上尝试画出t在0-4之间的P处在不同位置时E的可能位置，然后发现两种E恰好在三角形内外边界AB和AC上的情形，参考中线定理就是E是AB和AC上的中点时，此时t=1或3，据此讨论t的取值范围；
（3）求t值，我们在图形上无法直观看到t，但可以通过速度乘以时间转化为线段的长度，已知边长和可表达的边长找等量关系，我们通常会尝试用勾股定理，因此过P作BC边上的垂线，制造出直角三角形，根据勾股定理代入三边代数式，可求t；另AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t；
（4）与（3）思路相同，同样将t转化为线段，在直角三角形中寻找等量关系，有已知的BP找到BD的表达式，且已知BD=5，可求t；同样AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t。
23．【答案】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴ = ，
∴ =
（2）
（3）解：过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴ ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得 = ．
设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，
在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，
由②﹣①得x=2y﹣5③，
解方程组 ，得
（舍去），或 ，
∴AR=5+x=8，
∴ = = = ．
【解析】【解答】解：（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得 = ， = ，
∴ = = ．
故答案为 ；
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 = = ，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 = ．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
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第十八章 平行四边形综合练习题
一、填空题
1．如图，AB是半圆的直径，C为半圆上一点，BC，D为弧BC上一点.连接OD，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，AE=2，则AB的长为 .
2．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
3． 如图，在平行四边形中，，点分别是的中点，则 .
4．如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）正方形ABCD的边长a＝ ；
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，则的值是 ．
5．已知，在矩形 中，点E为 的中点，点F为 上一点，连接 、 ，若 ， ， ，则线段DF的长为 ．
二、单选题
6．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）
A．∠BCA＝45° B．AC＝BD
C．BD的长度变小 D．AC⊥BD
7．如图，在 中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形一定是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
9．如图，面积为36的正方形 中，有一个小正方形 ，其中 、 、 分别在 ， ， 上，若 ，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点 M、N是矩形 的边 ， 上的点，过点 作 于点 ，交矩形 的边于点 ，连接 .若 ， ，则 的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
11．图中的长方形 由1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形组成，若1号正方形的边长为 ，3号正方形的边长为 ，则长方形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中错误的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线垂直的矩形是正方形
13．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）.把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，-1） B．（-1，1） C．（-1，-2） D．（1，-2）
14．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 、 上， ， ， 相交于点 ，若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= MF．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
三、解答题
16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE=BF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
17．如图，已知△ABC， D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形．
18．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．如图，当点落在边上时，连结，求的长．
（1）数学思考：
请你解答老师提出的问题．
（2）深入探究：
老师将图2中的绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在的延长线上时，连结，求的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在的延长线上时，连结，求的长．
19．如图，正方形中，点，分别是边，的中点，连接，相交于点.
（1）求证：；
（2）如果点，分别是，的中点，连接并延长交于，连接，若，求的长.
四、综合题
20．如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC，BD的长；
（3）菱形ABCD的面积．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
22．如图，在中，，边上高为，点为边的中点，点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与点重合时，连接，以、为邻边作 设点的运动时间为秒，t＞0
（1）①线段的长为 ；用含的代数式表示线段的长；
（2）当点在内部时，求的取值范围；
（3）当 是菱形时，求的值；
（4）作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．
五、实践探究题
23．【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： = ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 = ，则 的值为 ；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE，CD=AE，AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴EC=EB，
∵OA=OB，
∴AC=2OE=DE，
设OE=x，则AC=DE=2x，
∴OC=OD=3x，CD=AE=，
∵CE2=OC2-OE2=CD2-DE2，
∴ ，
∴x=1，
AB=2OA=2OC=6x=6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据平行四边形的性质可得AC=DE，CD=AE，AC∥DE，由平行线的性质可得∠ACE=∠DEC=90°，根据垂径定理可得EC=EB，进而推出AC=2OE=DE，设OE=x，则AC=DE=2x，OC=OD=3x，CD=AE=，然后在Rt△COE、Rt△CDE中，根据勾股定理进行计算.
2．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴
∴，
∵正方形ABEF，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，可得到，由此可求出AB的长，再利用正方形的性质可求出AF的长；然后根据DF=AD-AF，代入计算求出DF的长.
3．【答案】5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm，
∵点分别是的中点 ，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=BC=5cm，
故答案为：5.
【分析】由平行四边形的性质可得BC=AD=10cm，利用三角形中位线定理可得EF=BC=5cm.
4．【答案】（1）
（2）﹣5
【解析】【解答】解：（1）由于正方形的面积为69，所以正方形的边长为69的算术平方根，即边长为，
故答案为：；
（2）∵＜＜，即8＜＜9，
而m＜＜n，m，n表示两个连续的正整数，
∴m＝8，n＝9，
∴＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为：-5.
【分析】（1）根据正方形的面积公式可得：正方形的面积=边长2，进而根据算术平方根即可得出答案；
（2）根据估算无理数大小的方法可得8＜＜9，则m＝8，n＝9，然后结合立方根、算术平方根的概念进行计算.
5．【答案】 或
【解析】【解答】解：①当点F靠近点A时，如下图所示，过点F作FG⊥DC于G
易知四边形ABCD、DAFG和GFBC都为矩形
∴GF=BC=2，CD=AB=4
在Rt△GEF中，EG=
∵点 为 的中点，
∴DE= =2
∴DE=2EG
即点G为DE的中点
∴FG垂直平分DE
∴DF=EF= ；
②当点F靠近点B时，如下图所示过点F作FG⊥DC于G
易知四边形ABCD、DAFG和GFBC都为矩形
∴GF=BC=2，CD=AB=4
在Rt△GEF中，EG=
∵点E为 的中点，
∴DE= =2
∴DG=DE＋EG=3
在Rt△DFG中，DF=
综上：DF= 或
故答案为： 或 ．
【分析】根据点F靠近点A和点F靠近点B分类讨论，分别画出对应的图形，根据矩形的判定及性质、勾股定理、垂直平分线的性质即可分别求出结论．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质逐项判定即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质得到和互补，进而得到的度数.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故此项错误；
B. 两组对边平行的四边形是平行四边形，一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，故此项错误；
C. 对角线相等的平行四边形一定是矩形，对角线相等的四边形有可能是一般四边形，故此项错误；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，故此项正确；
故答案为：D.
【分析】分别根据菱形判断定理判断A；根据平行四边形的判定定理判断B；根据矩形的判定定理判断C；根据正方形的判定定理判断D.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36
∴BC=CD=6 ，
∵BF=2 ，
∴CF=4 ，
∵在正方形ABCD和EFGH中 ∠B=∠C=∠EFG=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠CFD+∠BFE=90° ，
∴∠BEF=∠CFD，
∴ ，
∴
∴
∴BE= ，
∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：
∴小正方形的边长为 .
故答案为：A.
【分析】先根据正方形ABCD的面积为36，求得大正方形的边长；利用“一线三等角”证得∠BEF=∠CFD，进而得 ，利用相似三角形的性质求得BE；再利用勾股定理求得正方形EFGH的边长即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点 是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得：DO=5，
∴ ，即 的长的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】由 可得∠APB=90°，根据圆周角定理可得点P在以以AB为直径，在AB上方的半圆上运动，故DP的值最小，即为点D与圆心的连线与圆的交点时，故取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点 是DP的长为最小值，由勾股定理可得OD的长，进而由DP=OD-OP即可得出答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵1号正方形的边长为a ，3号正方形的边长为b ，
∴2号正方形的边长=b-a，4号正方形的边长=b+a，
∴AB=b+b-a=2b-a，AD=b+b+a=2b+a，
∴长方形ABCD的周长=(2b-a+2b+a)×2=8b，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得2号正方形的边长为：b-a，4号正方形的边长为：b+a，则AB=2b-a，AD=2b+a，据此不难求出长方形ABCD的周长.
12．【答案】B
【解析】【解答】A、四个角相等的四边形是矩形，正确；
B、四条边相等的四边形是菱形，不是正方形，所以错误；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确；
D、对角线垂直的矩形是正方形，正确。
故答案为：B。
【分析】利用矩形、正方形的判定方法逐项判定即可。
13．【答案】D
【解析】【解答】∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=CD=2，AD=BC=3，且四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD的周长C矩形ABCD=2（AB+BC）=10．
∵2017=201×10+7，AB+BC+CD=7，∴细线的另一端落在点D上，即（1，﹣2）．
故答案为：D．
【分析】由已知坐标可求出AB=CD=2，AD=BC=3，从而求出C矩形ABCD=2（AB+BC）=10，由2017=201×10+7可知另一端绕201圈又多出7个单位长度，据此即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
∴空白部分的面积为9 6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF＋∠BCG＝90°，
∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
又∵a2＋b2＝32，
∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，
即（a＋b）2＝15，
∴a＋b＝ ，即BG＋CG＝ ，
∴△BCG的周长＝ ＋3，
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF= BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴ = = =2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF= = = a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ = ，
即 = ，
解得AM= a，
∴MF=AF﹣AM= a﹣ a= a，
∴AM= MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则 = = ，
即 = = ，
解得MN= a，AN= a，
∴NB=AB﹣AN=2a﹣ a= a，
根据勾股定理，BM= = = a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a﹣ a= a，MK= a﹣a= a，
在Rt△MKO中，MO= = = a，
根据正方形的性质，BO=2a× = a，
∵BM2+MO2=（ a）2+（ a）2=2a2，
BO2=（ a）2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得 = = =2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM= MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°.AD=BC，在Rt△ADE和Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），∴AE=CF，∵矩形ABCD中AB=CD，AB∥CD，∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=90°AD=BC，求出Rt△ADE≌Rt△CBF，根据全等得出AE=CF，根据矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，求出BE=DF，BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可．
17．【答案】证明：∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵CF∥BA，
∴ ，
在△ADE和△CDF中，
，
∴ ，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】【分析】根据题目条件证明 ，先证明四边形AECF是平行四边形，再根据 ，即可证明四边形是菱形．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
由旋转的性质，得．
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（2）解：①．
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点H，交于点G，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，
由旋转的性质，得，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如解图，连结，过点作于点，过点作于点，则．
由旋转的性质，得，，．
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
解得，．
∴．
在中，根据勾股定理，得．
【解析】【分析】（1）根据矩形和旋转的性质，得，根据勾股定理可得；
（2）①当点落在的延长线上时，过点作于点，交于点，得四边形是矩形，由旋转的性质，得，，求出
，，根据勾股定理可得的长；
②连接，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，得，，，根据勾股定理可得的长．
19．【答案】（1）解：证明：如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∵点，分别是边，的中点，∴，
在和中，，∴
∴，又∵，∴，∴，∴，
（2）连接，如图，
∵四边形是正方形，，∴，，，
∵点，分别是边，的中点，∴，
∵，∴.∵是的中点，∴，
在和中，，∴
∴，，∴，∴，
又∵点是的中点，∴是的中位线，∴.
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的中位线及勾股定理等知识，熟练掌握是关键。（1）由正方形ABCD得，，根据E、F是中点得BE=CF，证，再用其性质证CE⊥DF；（2）连接，根据正方形的性质和中点证得，，可得AP，勾股定理再得PE，结合GH为中位线，得GH长。
20．【答案】（1）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵菱形ABCD中，AD=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ABC=120°
（2）解：∵△ABD是等边三角形，AE=2，
∴AB=BD=AD=4，
∴DE=AO= = =2 ，
∴AC=4
（3）解：菱形ABCD的面积= BD AC= ×4 ×4=8
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°解答；（2）根据等边三角形的性质求出DE，进而得出AO以及AC的长；（3）利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
21．【答案】（1）证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形
（2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，
∴CB= AB，CE= AB．
∴CB=CE．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．
22．【答案】（1）①②当时，．当时，；
（2）如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知，当时，点在内部．
如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知当时，点在内部．
综上所述，当或时，点在内部；
（3）解：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
，
．
如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（4）如图中，当点在上时，过点作于点．
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在上时，过点作于点．
同法可证，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【解析】【解答】解：（1） ① 过A作AHBC于H，
由题意，AH=8
故第一空填：
由题意，点P不与点A重合，可与C重合，
当时
AP=AB-BP=10-5t=-5t+10
当 时
故答案为： 当时，．当时，
【分析】（1）根据题意作高，由勾股定理求AC，根据题意结合图象分别写出不同时段、含t的表示AP长的代数式；
（2）在草纸上尝试画出t在0-4之间的P处在不同位置时E的可能位置，然后发现两种E恰好在三角形内外边界AB和AC上的情形，参考中线定理就是E是AB和AC上的中点时，此时t=1或3，据此讨论t的取值范围；
（3）求t值，我们在图形上无法直观看到t，但可以通过速度乘以时间转化为线段的长度，已知边长和可表达的边长找等量关系，我们通常会尝试用勾股定理，因此过P作BC边上的垂线，制造出直角三角形，根据勾股定理代入三边代数式，可求t；另AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t；
（4）与（3）思路相同，同样将t转化为线段，在直角三角形中寻找等量关系，有已知的BP找到BD的表达式，且已知BD=5，可求t；同样AP有2个表达式，故有2种位置关系，分别求t。
23．【答案】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴ = ，
∴ =
（2）
（3）解：过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴ ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得 = ．
设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，
在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，
由②﹣①得x=2y﹣5③，
解方程组 ，得
（舍去），或 ，
∴AR=5+x=8，
∴ = = = ．
【解析】【解答】解：（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得 = ， = ，
∴ = = ．
故答案为 ；
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 = = ，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 = ．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
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