(北师大)新世纪小学数学教材主要问题与解答
文档属性
| 名称 | (北师大)新世纪小学数学教材主要问题与解答 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 235.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-03-07 23:47:00 | ||
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文档简介
TOC \o "1-3" \h \z \u 一年级下册 1
二年级下册 7
三年级下册 10
四年级下册 15
五年级下册 18
六年级下册 20
新世纪小学数学教材主要问题与解答
一年级下册
全文各册问题的顺序，都按照教材呈现的前后顺序。
一、 怎样组织教学，才能落实“数豆子”的教学目标？
第4页“数豆子”一课有两个教学目标，一是经历用计数器表示数的过程，进一步体会数位的意义，会写100以内的数；二是能对100以内的数进行估计，发展估计意识。对于第一个目标，教师都能理解，实践中也有比较丰富的教学经验。需要关注的是第二个目标，强调估计意识的培养，主要原因有：第一，估计在日常生活中有着广泛的应用；第二，估计是发展学生数感的重要渠道。估计教学在不同学段有不同的侧重点，建议第一学段的教学以培养学生的估计意识为主，通过设计适当的情境，使学生体会到估计的必要性。本册书是第一次出现估计数量的活动，教师应注意把握教学要求。教师引导学生理解什么是估计，初步体验估计的基本过程：用部分的数量（如教材中10粒黄豆）来推断总体的数量（如教材中一把豆子的数量），不要求学生独立探索估计的策略。有关估计的具体策略在以后教材中还要学习。
教材的设计思路是首先通过估计一把豆子的粒数引入估计活动，然后通过验证估计结果，引入数的写法。教学时，教师可以从实际情境入手，先让学生估一估一把豆子有多少粒，然后再让学生数出10粒豆子，以此为标准（或参照物）再进行估计。这样不但激发学生主动探索的欲望，而且培养学生有根据地进行估计。在此基础上，教师组织学生互相交流想法。在估计的活动中，教师要注重引导学生应用“比较”来进行估计，这不仅是一个重要的策略，而且对于培养学生的数感也很有好处。在实际数出豆子个数之后，教师还需要鼓励学生在计数器上拨出结果，帮助学生理解计数器上不同数位上数字表示的实际意义，加深学生对数位的理解，进而鼓励学生结合计数器上的结果写出抽象的数。
具体操作时，教师可以根据当地情况选择不同种类的豆子来数，比如可以用黄豆、蚕豆、芸豆等。由于豆子的大小不同，学生一把可以抓起的豆子多少也会不同，教师可以根据具体情况来引导学生估计豆子的数量，让学生经历估计的过程。活动时也很容易出现豆子撒落地上学生忙着捡豆的情况，为了避免这一现象，建议教师可以为每个小组准备一碗豆，豆不要装得太满，碗下面可以再放一个比较大的纸盒，这样学生抓不住的豆子一般会落到纸盒内。
二、教材第7页第4题中“仔细观察右表，你发现了什么？”需要引导学生“发现”到哪一步？是否要让每个学生都理解所有的发现？
借助百数表可以帮助学生整体认识百以内数之间的关系。教学中建议教师首先带领学生一起进行几组“发现”，之后再放手让学生自己进行“发现”活动，在自己“发现”的基础上，组织小组或全班交流。在带领学生“发现”的过程中，教师可以引导学生多角度、有序地对百数表进行观察。比如，可以引导学生横着看前后数字之间有什么关系，学生可能会说在每一行中后一个数比前一个数多1，或者前一个数比后一个数少1；引导学生竖着看上下数字之间有什么关系，学生可能会说在每列中都是下一行比上一行多10，上一行比下一行少10；引导学生观察右起第一列，学生可能会说在这一列中，下一行十位上的数都比上一行多十位上的数多1，上下两个数差10，这些列上的数都是整十数……。
虽然百数表是以练习形式引入的，但是希望教师能够充分认识百数表的价值，并能创造性地使用。但需要注意的是，教学时不需要让每个学生都理解所有的发现，而要通过探索和交流，使学生都有所发现。学生只要能独立完成前三道小题就已达到基本要求，第（4）题的教学中，教师应鼓励学生提出不同的发现，并进行小组和全班交流，但对提出的发现并不要求每一个学生都掌握。
三、在“小小养殖场”中，怎样结合具体情境帮助学生把握数的大小关系、发展数感？
教材通过养殖场这一生活情境，使学生体会数量之间的大小关系，理解“多一些”“多得多”“少一些”“少得多”。这一内容帮助学生形成数感，在学会对客观事物进行定性描述的基础上逐步发展到定量刻画。
数量间的相对大小关系没有绝对的标准，需要结合具体情境进行描述。例如在34、85、200三个数中，85就比34多一些；但是如果三个数换为34、40、85，85就可以说比34多得多了。对于用语言描述几个数之间的相对大小关系时，结论是相对的，只要不出现逻辑上的混乱，比如“85比40大一些，85比34大得多”即可。
教材的情境只是学习的素材之一，教师还可以根据教学目标的要求创造性地使用教材。比如，教师可以利用第9页“猜数游戏”的形式进行情境引入，引导学生在猜数游戏中，既体会到数的大小关系，又学到一种解决问题的策略，同时自然第引入“多得多”、“少一些”等语言。。
四、怎样通过观察物体的活动发展学生的空间观念？
教材在第二单元的教学中安排了丰富的观察物体的活动，目的是通过这些活动发展学生的空间观念。
在观察活动中，可能有教师认为实物观察的课堂组织难度较大、占用时间长，为了提高效率，可以直接进行图片观察。但实际上，空间观念的形成仅靠教师的讲解和图例是远远不够的，需要学生具有丰富的感性认识和亲身的实践体验。实物观察活动利于学生发现所观察物体的形状特征，便于学生获得从不同方向（或站在相对于物体的不同位置）观察物体可能看到不同形状的直接经验。因此，需要教师指导学生结合大量的实物和图片观察活动，不断体会平面图形与立体图形之间的联系。建议教学中，教师一定要让学生亲身经历“实物观察—图片观察—形成视觉表象”的过程，并从中体会从不同方向观察物体所看到的形状可能是不同的。
需要提醒的是教师要尽量为学生提供可观察、易交流的物体，比如，被观察物体不宜太小，物体的各个部位要简明并具有显著特征。观察时，还要注意物体不要放得太高，和学生的视线最好在同一水平线上。
五、在本册测量内容中如何组织估测教学？
首先，要重视学生对1厘米、1米等表象的建立，这是估测的基础。教师要帮助学生充分感知生活中1厘米、1米等物体的长度，帮助他们对长度单位形成表象。在此基础上，教师还可以帮助学生建立一些熟悉物体的长度表象，比如铅笔盒的长度大约是多少，便于以后用他们作为标准去估测其他活动。例如教材14页量一量的（1），教学中可以不仅仅定位在熟悉用直尺测量的方法，而且可以帮助学生建立1厘米、3厘米、5厘米的表象。
其次，在开展估测的活动时，教师要对学生进行估测的指导。为作好估测指导，教师需要对教材中这部分内容的设计层次有一个清晰的认识，以便抓住关键内容组织有效教学。教材15页的第1题是开展估测活动的第一个层次——在长度单位理解的层面上进行估测。教学时，教师要引导学生先估测，之后还要注意把估测的结果与精确测量后的结果进行对比，通过“对比——再估测”进行不断的调整，以保证学生形成正确的长度表象。同时，这里形成的某些物体长度的表象，如食指宽的长度还会成为估测其它长度的一个新的参照物。教材18页第2题是开展估测活动的第二个层次——通过参照物进行的估测，通过同已知长度（门的高度）的比较，来估测其他物体的长度（小明和机灵狗的身高）教学时，教师要善于鼓励学生从身边的事物中发现素材，进行估测练习，同时教师还可以帮助学生总结这种估测方法，但不需要学生背诵。
作好估测指导，教师还要指导学生加强生活中测量经验的积累。比如，找出“身上的尺子”：一拃的长度、一步的长度等，把他们也作为标准帮助学生完成日常生活的估测任务。
六、在第三单元第28页“拔萝卜”的教学内容中，如何处理算法多样化与竖式教学之间的关系？
首先，需要明确的是算法多样化和竖式都是本单元内容的重要教学目标。如果教师感觉教学内容多，可以根据实际情况决定用2课时或者1课时完成。
算法多样化在数学课程中有着非常重要的价值，主要表现在：
第一，它体现了对课程目标的全面认识。学生在数学学习中不仅仅是获得知识和技能，还要在数学思考、解决问题、态度情感等多方面得到发展。看起来学生在观察、实验、尝试、修正等过程中花费了时间，但他们却通过独立思考与合作交流创造性地解决了问题，发展了自己解决问题的能力和创新精神；他们通过尝试过程中的逐步调整，加强了数感和估计能力；他们在检验猜想并进行修正的过程中，发展了运用数学的自信心和自我评价的能力，而所有这些都是数学课程所希望培养学生的重要目标。
第二，有益于学生对数学的理解。学生能够而且应该“发明”自己的计算策略，这种“发明”对他们的数学理解是很有帮助的。
第三，有助于教师对学生的观察。学生使用的策略也向老师显示了他们的思考方式和思维水平，这使得教师有机会反思并改进自己的教学。
第四，通过各种算法的交流，借助直观模型还可以帮助学生理解竖式。其实，在教材中呈现的四种方法，特别是前两种方法本质上与竖式是一样的，一个是用计数器的模型，一个是用口算。老师可以将这些方法进行沟通，以帮助学生更好地理解竖式的道理，比如“数位要对齐”。
竖式在这里是第一次出现，教师需要在此对竖式做适当的介绍。除了上面提到的沟通模型、口算和竖式的练习，帮助学生理解“数位要对齐”以外，教师对竖式的书写格式也要进行必要的指导。此外，熟练掌握竖式也离不开必要的练习。
七、针对教材第48页６题“比寿命”一题，学生如果提出“猫和狗一共活了多少年？”算不算对？为什么？
教学中确实存在这种现象。首先要说明的是“猫和狗一共活多少年？”这个问题显然是没有实际意义的的，而要让一年级的学生提出有实际意义、有数学价值的问题是需要教师不断引导的。如果有学生提出“猫和狗一共活多少年？”，建议教师不要马上一口否定，而要结合实际问题，引导学生进行讨论：“这个问题在实际生活中是否存在？”。在讨论的基础上，教师可以首先鼓励学生大胆提问，在此基础上告诉学生提出的实际问题应尽可能有实际意义。
八、“ 有趣的图形”这一单元的编排特点是什么？
本单元教材在编排上力图体现以下特点：
１．以动手操作为主线，注重发展学生的空间观念
无论是平面图形的引入，还是对平面图形的进一步认识，教材都设计了大量的操作活动，以使学生在操作中逐步加深对平面图形的认识，积累数学活动的经验，发展空间观念。在“认识图形”中，教材通过“从立体图形中得到平面图形”的操作活动，既引入了平面图形的学习，又使学生体会到“面在体上”。接下来，教材安排了三个“动手做”的活动，为学生创设了操作、思考和想象的空间。“动手做（一）”，通过折、剪、拼活动，鼓励学生对图形进行简单的分解和组合；“动手做（二）”，借助七巧板鼓励学生在活动中拼图；“动手做（三）”，鼓励学生欣赏和设计简单的图案。在这些操作活动中，学生将进一步认识学习的几个平面图形。
２．在实际情境中丰富学生对图形的认识
在引入学习的几个平面图形以后，教材设计了一些活动，鼓励学生在实际生活中寻找图形，丰富学生对图形的认识，发展应用意识。例如，寻找交通标志中所认识的图形，让学生说一说生活中见到过哪些物体的面是长方形、正方形、三角形和圆等。
九、如何进行教材53页“发新书”中的估算教学？
估算是一个非常有价值的学习内容，其重要性主要表现在以下几个方面：
第一，估算在日常生活中有着广泛的应用。
第二， 有利于人们事先把握运算结果的范围，并为判断计算器、口算、笔算结果是否合理提供了工具。
第三，估算是发展学生数感的重要渠道，有利于提高学生解决问题的能力。
在小学阶段估算学习主要表现在两个方面，一是估算意识的培养，二是用运用适当的方法解决问题。这是教材中第一次出现估算的内容，目的是通过估算40本新书够不够发，帮助学生体会估算的价值。因此，在这里的教学，发展学生的估算意识是首要的。教师可以通过提出问题鼓励学生进行讨论“这样的问题不精确计算出结果是否也能解决”，以使学生体会估算的价值。如果学生口算基础好不愿意估算，建议教师可以用选择题的方式，来增强估算的必要性。比如，可以通过让学生选择“是３０本够？还是４０本够？”的问题，“促使”学生选择进行估算。除此之外，我们还希望教师在实际教学中，创设能够体现估算必要性的、更好的问题情境。
在估算教学中，机械地去记住几种估算方法是无法形成估算意识的，也难以发展估算能力。所以，在估算教学中，应当多增加一些估算活动来增强学生的体验，积累学生的经验。教学中，教师还要鼓励学生说出自己估算的方法，只要能解释清楚问题，教师就要给予肯定。比如有的学生把两个数都估成20，由此得出40本够了；有的学生把一个数估成20，另一个数不变，也由此得出40本够了，这些方法都是合理的。
需要指出的是，对于估算的结果，不要求学生用“≈”来表达，也不要求用程式化的语言进行笔答，学生主要能用自己的语言表达清楚即可。
十、如何提高百以内加减法的计算技能？
掌握100以内加减法的基本计算技能是重要的，它将为后续学习奠定基础。为促进学生形成基本计算技能，加强练习是必要的，但练习要注意科学性，教师不要人为地过高要求难度和速度。
在100以内加减法教学中，为落实好教学目标需要注意以下几点：
1．加强学生对100百以内加减法算理的理解
教学中，教师要帮助学生从操作、直观模型、生活经验等多个角度理解“数位对齐、满十进一、借1后以一当十”的道理，并通过交流引导学生将操作、直观模型与数的运算建立联系，以促进学生反思，进而建构对百以内加减法算理的理解。另外在理解算理过程中，实际的操作是非常重要的。学生对算理的理解，不能仅仅是说说而已，教学时还应适当配合直观教具，通过实际的操作活动，为学生正确理解算理提供实际支撑。当然，操作的形式可以是多种多样的，可以先说后摆，先摆后说、边摆边说。
2、把握计算速度和准确度的要求
100以内加减法要求学生每分能计算3—4题左右；100以内的连加、连减、加减混合运算，只要求学生能正确计算出得数即可，没有速度要求。教师要根据这个标准合理安排练习，不能对速度和准确度做过高要求。
3．设计有效、形式多样的练习
练习的呈现方式要多种多样，而且要符合学生的认知特点，激发学生的兴趣。这就需要教师精心地准备练习。
（1）有针对性地设计练习。在学生理解算理的基础上，要通过一定的练习，帮助学生熟悉百以内加减法的方法。特别是找到本班学生容易出错的题目，进行针对性的练习。
（2）练习形式要多样。既可以设计单纯计算的题目，也可以设计一些对比性练习、改错练习、趣味游戏、探索活动、解决问题等。
（3）合理地安排练习阶段。对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；注意集中练习与分散练习相结合，在后面单元的学习中，教师也需要适当地穿插有关的练习。
十一、“购物”单元的教学要求到什么程度？
“购物”单元有两个学习目标，一是结合购物情境，认识各种面额的人民币，认识元角分及相互关系；在购物情境中进行付钱和找钱的活动，解决简单的实际问题。为了落实两个目标，需要教师结合实际购物活动或模拟购物活动，鼓励学生借助人民币的操作活动完成“算钱、付钱、找钱”的任务。
需要指出的是，有的学生由于生活经验的缺乏在本单元学习中存在困难，教师一定要把握好难度，鼓励学生在实际操作中，借助购物情境完成付钱和找钱的活动。在考试中也要控制题目的难度，不要出现复名数，也不要求学生列式。教师可以在教学本单元之前，鼓励学生与家长一起去购物，积累购物的生活经验。
十二、如何组织好“今天我当家”这样的实践活动的教学？
考虑到学生的心智发展水平和生活经验，密切联系学生的日常生活、能够亲身实践、生动有趣是实践活动的主要特征。学生通过实践活动，将初步把数学与自己的生活联系起来，了解数学在日常生活中的简单应用；将初步尝试运用数学知识解决简单的实际问题，获得一些数学活动的经验；将初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。
实践活动课的教学重在让学生在解决具体问题和对数学本身的探索中，理解、掌握和应用数学。它是以学生为主体的探索性活动，在呈现形式上不局限于单纯课内活动，可以课内外相结合。需要指出的是，不要把实践活动的教学处理为简单地计算练习，只是罗列出一些题目让学生解决，而要强调学生的实践、学生的探索。
比如，教学“今天我当家”，教材创设了“六一”儿童节要为家人包饺子的生活情境，通过运用学过的100以内数的加减法、连加、连减、加减混合运算解决生活中的问题，使学生体会到数学与生活的密切联系，同时渗透热爱劳动、关心父母的品德。为了突出实践性，教师可以事先布置学生开展调查、制定方案，在课堂中进行交流。下面是一个教学过程建议：
1）布置任务
再过一周就是“六一”儿童节了，你们打算怎样度过自己的节日？请学生说说自己的打算。在此基础上，给学生布置实践活动任务: “六一”我当家。
2) 和学生一起制定活动方案
①和爸爸、妈妈商量包饺子所需要的原料、要买的水果并做好记录。
②根据商量的结果到超市去买包饺子所需的原料、水果及饮料，做好记录，拍好照片。
③付钱，写出在买东西的过程中你发现的数学问题，完成相应的计算。
④包饺子，写出在包饺子的过程中你发现的数学问题，拍好照片。
⑤写写自己的活动体会。
3)学生实践。
4)课堂交流。
南方的孩子可能对包饺子不熟悉，教师可以做一些介绍，也可以换用当地比较熟悉的素材，达到本实践活动的教学目的。
十三、如何进行“整理与复习”的教学？
本套教材“整理与复习”改变了过去单纯是练习题的形式，它由三部分组成：第一部分是“你学到了什么”。这一栏目是让学生对学过的知识进行回顾和整理；第二部分“我的成长足迹”是让学生回顾在学习过程中的体会与进步，是学生自我评估的一种方式。建议教师平时指导学生制作成长记录，如学生自己认为优秀的作业或作品、数学日记等收入成长记录袋中，在“整理与复习”课上进行交流。第三部分是基本练习。在上述三部分中，教师要特别重视第一、第二部分的教学，鼓励学生进行反思。下面是一个可以借鉴的教学片段：
教学片断：整理与复习（一）
师：我们已经学习了四个单元的数学，你学到了什么，请同学们翻一翻书，两人互相说一说。
师：这里有几幅图，可能会帮助你回忆一下你学到了什么。（出示第一幅图）
师：你看到这幅图，你想到了什么？
生：淘气和笑笑在量身高。量身高要用尺子。
师：用尺子量物体的长度时应注意什么？请同学们用尺子量一量数学书封面的一条边的边长。
师：长度单位有哪些？用两个手指比一比，1厘米有多长，请同学们站起来，指一指1米到你身体的哪里？1米等于多少厘米？
……
师：通过这一阶段的学习，同学们都有很大进步，今天我们每人要向大家展示自己的成绩，与同学分享。可以展示“你最满意的一次作业”，你收集的“最有趣的数学问题”，说一说“你印象最深的一堂数学课”。先在小组内说一说，然后全班交流。
师：哪位同学想展示自己最满意的一次数学作业？
生1：这是我最满意的一次作业，因为我计算时很认真，都算对了，写得也很工整，老师给我印了一朵小红花。
生2：这是我用七巧板拼成的一句成语“惊弓之鸟”，这是我最满意的一个作品。
……
（老师一一的把这些作品在黑板上展示出来。）
师：谁愿意给大家说一说自己发现的一个最有趣的数学问题。
生1：昨天我和妈妈上街买东西，在乘车时发现一个数学问题：“我上车时从车上下去4人，上来5人，这时我数一数车上有13人，原来车上有几人？”我一开始计算13－5＋4＝12（人），后来我一想，……
师：对不起，现在我想打断你的发言，可以吗？（同学点头示意）同学们，他算得对吗？你还有别的方法吗？
生2：上车的比下车的多1人，那么原来车上的人一定比现在少1人，所以原来车上有12人。
师：（问生1）后来你是这样想的吗？（生1点头示意）真好，大家都很动脑筋。
生3：我也想说一个有趣的数学问题：“妈妈买来一包松子，给我抓了一把，我用眼一看，估计有40粒，然后我5个5个地数，有42粒，和我估计的差不多。
……
师：同学们能注意把所学的本领用到生活中去，解决实际问题。谁能说一说你印象最深的一节数学课。
生1：我印象最深的一节数学课是老师让我们观察玩具小汽车，我知道了从不同方向看，看到的形状不一样。我在课下经常从不同方向去看一个物体，我觉得挺有意思的。
生2：我印象最深的一节数学课是在钉子板上围图形，一根皮筋能围出这么多的图形。
……
师：还有很多同学都想展示自己的成长足迹，我们下课后在教室的后面设立一个小小的展览室，把每个同学准备的成果展览出来，大家一起分享。展览会后，把每人的成果放入自己成长记录袋中。
二年级下册
一、怎样借助分物等操作活动，帮助学生理解余数以及余数与除数之间的关系？
教师在“有余数除法”的教学中，一定要重视分物的实际操作活动，并将操作和思考相结合。具体来说：
第一，通过平均分物的操作活动引入对余数的认识
在“分苹果”活动的基础上，教材创设了“分橘子”活动，引入有余数除法。通过操作活动，学生会发现：14个橘子，每盘放4个，可以放3盘，还剩2个。建议教师重点提问学生：2个为什么不继续分了，使学生体会到继续分下去，每盘就不一样多了。平均分到最后不能再分了，就出现了余数。
通过“分苹果”、“分橘子”的操作活动，学生将进一步体会除法的意义，体验到那平均分的结果有两种：正好分完，不够分还有多余，从而体会学习余数的必要性，以及余数的意义。
第二，有余数除法竖式需要与操作活动有机结合
为了帮助学生理解有余数除法竖式每一步的含义，需要和分橘子、分小棒等操作过程联系起来。教师可以这样引导学生：“请你们把操作过程用竖式写下来，好吗？”在学生前一节中已经学习除法竖式的基础上，鼓励学生尝试写出有余数除法的竖式，并引导学生结合操作的过程说说每一步的含义。
第三，学生通过多次分物的操作活动，体会“余数一定要比除数小”
结合操作活动，学生将体会到剩下的不够再分了，从而体会“余数一定要比除数小”。
有的老师可能认为操作活动是比较“低级”的，因此总是让学生尽可能脱离操作。实际上，借助实际操作不仅仅符合小学生的认知特点；而且如果能将操作和思考有机结合的化，操作将有助于学生理解所学的内容；同时操作也是重要的解决问题的策略。
二、怎样利用第7页“租船活动”这一情境，培养学生解决问题的能力？
在本册教材中，与前几册一样，应用问题不单设章节和例题，而是结合每部分内容，选择现实的、有趣味的、富有挑战性的题材，采用多样化的呈现形式，引导学生运用所学的知识，结合生活实际来解决问题。在学习了有余数除法后，教材创设了同学们租船活动的情景，结合生活实际，运用有余数除法的有关知识解决简单的实际问题。
教学时，可以先鼓励学生说一说，从图中看到了什么？学生从图中获得了“每条船限坐4人”“每条船每时3元”的信息，还有的同学可能会发现“图上有9个人要租船”。这时，教师可以先不提出书上的问题，先让学生解决9个同学去划船，至少要租几条船？学生得出9÷4＝2（条）……1（人）后，教师组织学生讨论余下的1人怎么办。根据“每条船限坐4人”的条件，结合生活经验，学生将得到至少要租3条船。然后再解决书上的问题“21个同学去划船，至少要租几条船？”可以让学生独立列式解决，并在小组内说一说自己的想法。在讨论第（2）个问题“你认为怎样分配合理？”时，可以让学生用小棒或其他学具摆出分配方案。如，把4根小棒放一堆，表示每条船限坐4人，21人摆了5堆，还剩1人。可以把剩下的1人放在第6条船里，但实际生活中人人往往不这样。因此，需要调整各船上的人数，调整后的方案可以多样化，只要合理就可以。如，从第5条船上抽出1人到第6条船上，那就是4人、4人、4人、4人、3人、2人。还可以再从第4条船上抽出1人到第6条船上，那就是4人、4人、4人、3人、3人、3人。只要求学生用小棒摆出分配方案就可以了。
试一试中的“每时租金3元，10元钱最多划几时？”。列出除法算式10÷3＝3（时）……1（元）后，鼓励学生联系生活实际，思考剩下的1元能不能再划1时，显然是不能的，因此，10元钱最多划3时。
需要指出的是，学生在实际问题中，对结果“进”与“舍”的时候会存在困难，这时可以通过模拟操作和生活经验等帮助学生体会。
三、怎样在具体情境中，使学生体会到混合运算要遵循一定的顺序？
第二单元“混合运算”是在学生学习了加、减、乘、除法的基础上进行的，包括乘加、乘减、除加、除减以及带有小括号的混合运算，以及在实际问题中的综合应用。教材是通过具体情景，使学生体会到混合运算要遵循一定的顺序，以及在计算时怎样运用这些顺序。
首先，教材创设了“小熊购物”这样一个问题情境。在解答“小熊要买4个面包和1瓶饮料，需付多少钱”时，需要两个算式才能得出结果，当把两个算式合在一起时就要遵循一定的运算顺序。结合解决问题的过程，是先算出4个面包多少钱，再求4个面包和一瓶饮料一共多少钱，因此，要先算乘，再算加。又如，教材创设了“过河”的情景通过“河岸上有男生29人，女生25人，每条船限坐9人，需要几条船？”问题的解决。要先算出岸上一共有多少人，29＋25＝54（人）再求需要几条船。54÷9＝6（条），当把两个算式合在一起时，29＋25÷9，按照前面所学的运算顺序，是先算除，再算加，这就要请小括号来帮忙。
有一部分老师反映，这部分内容难点过于集中，要学习两步计算的应用题、怎样把分步列式合并为综合算式、怎样计算混合运算等三部分内容。需要指出的是，关于应用问题，本套教材在不要求学生列综合算式，学生分步列式即可。对于运算顺序和应用问题，老师可以根据本班学生的实际情况采取单元教学设计，在每一节课中侧重某一方面。如果学生对某节课应用问题的数量关系比较熟悉，就可以把重点放在熟悉运算顺序上；如果学生对应用问题的数量关系比较陌生，就应把重点放在这方面上。
四、“生活中的大数”这个单元，教材怎样帮助学生感受“千”“万”的实际意义？
1．通过实际操作，引导学生认识“千”、“万”
认识“千”“万”两个新的计数单位时，教材安排了数小正方体活动。“一个一个地数，数10次是10个”“每10个是一排，一排一排地数，10排是100个”“每100个是一层，数10层是一千个”“一千一千地数，10个一千是一万”。这个活动不仅使学生对千、万有直观的感受，同时还有利于学生理解计数单位之间的十进关系。
教学时应鼓励学生通过学具操作，并将操作、思考、想象相结合。比如，有的学校没有那么多的小正方体学具，教师可以首先鼓励学生观察教材29页最上面的图，鼓励学生想像有多少个小正方体，然后借助教具把这个立体模型一层层分离，从而认识计数单位的关系。
2.借助生活中的情境，帮助学生感受“千”、“万”的实际意义
教材安排了说一说活动，笑笑问：“一本书大约有1000页，10本这样的书大约有多少页 ”淘气问：“我校大约有学生一千人，像10所这样的学校大约有多少人？”。目的是鼓励学生借助身边熟悉的实物，感受大数的实际意义。
3.认识数位顺序表，帮助学生认识千、万的进位关系
在1，2的基础上，教材安排了认识万以内数位顺序表的内容，帮助学生进一步理解万以内计数单位及其之间的关系。
五、怎样培养学生对大数的估计能力？结合41页“有多少片树叶”，怎么设计这样的实践活动？
在一年级的学习中，学生已经对一些数目较小的事物进行了估计，如抓一把小棒估计有多少根等。本实践活动要求学生先估计有多少片树叶，再具体地数一数。二年级学生对这种数量较多的事物估计起来还有一定的难度，所以可结合现实生活安排一些生活中需要估计的素材，按从易到难的坡度进行设计，引导学生逐步体会估计的方法，也使学生体会估计在现实生活中的广泛应用。
比如可以先让学生谈谈在日常生活中哪些地方会遇到需要估计的问题。对二年级的学生来讲，平时很少能想到用估计的方法来解决问题。教师可以自己寻找一些素材，和学生一起交流，让学生感到确实必要性学习估计。
在此基础上，请学生估计书上的树叶有多少片。学生可能会想到的方法:①数数每行15片，2行就有30片，上面有7个2行，再加下面一行大约是220多片。②用同样大的正方形将这些树叶分别圈起来，看一个正方形内有多少片树叶。比如可以将它的一大部分平均分成四份，数其中的一份是50片，4份是200片，再加剩下的大约是220多片。
因树叶排列太整齐，所以多数学生会说到精确值，因此，最后可让学生在报纸上找一篇文章估计有多少字，使学生加深体会估计的作用。
六、如何提高“万以内加减法”运算技能？
探索并掌握整十、整百数的加减的口算及三位数加减法的计算方法，能正确地进行计算并解决一些简单的实际问题，是这部分内容学习的重要目标之一。如何提高万以内加减法的基本运算技能呢
首先要让学生在已经掌握百以内数加减法的基础上，自主探索三位数加减法的计算方法,理解运算的道理。教材创设了“买电器”、“回收废电池”、“小小图书馆”等情境，鼓励学生从现实情境中发现问题、解决问题。由于学生的生活背景、知识经验、思考问题的角度不同，学生进行三位数加减法计算时，所使用的方法可能不同。教材除了提供用计数器“拨一拨”和用竖式“算一算”外，还利用直观模型，通过数形结合来帮助学生理解“数位要对齐，满十进一和退一作十”的计算方法的道理。
第二，根据数学课程标准的要求，三位数加减法笔算每分钟1—2题，教学时要根据这个标准鼓励学生逐步达到，不要对速度提出过高要求。
第三，三位数加减法数目比较大，计算时容易发生错误，教材安排了有关验算的内容，培养学生的验算意识和习惯
教材“小小图书馆（三位数笔算减法）”一节中安排“想一想”活动，结合生活情境（买鞋找钱）引导学生探索减法的验算方法，使学生体会验算的重要性，养成对自己的结果负责的习惯。需要指出的是，对于验算最重要的是培养学生的验算意识，学生可以用逆运算来进行验算，也可以通过用别的方法再算一遍进行验算。
第四，教材在每部分计算内容中安排了“森林医生”、趣味游戏等形式多样的练习，这些练习形式将有助于学生正确地进行计算。例如，“小小图书馆”中，把学生在三位数加减法计算中容易产生的错误列举出来，让学生当“森林医生”——啄木鸟，找出错误原因，并进行改正。教师可以根据本班的情况，收集本班学生的计算错误，由学生自己当“森林医生”来改正。同时引导学生不仅能治病，而且要防病，总结产生错误。
第五，合理地安排练习阶段。对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；注意集中练习与分散练习相结合，在后面单元的学习中，教师也需要适当地穿插有关的练习。
七、教材如何帮助学生认识抽象的“角”？
角是一个抽象的图形，小学阶段学习角主要是为了学习构成平面图形的一个基本要素。由于角的抽象性，学生在认识角中存在着比较大的困难和大误区，比如把生活中的桌角等和抽象的角混淆；比如把角看成一个区域，所以就感觉画出的角“包含”的区域的面积大，角就大。鉴于此，建立数学中“角”的正确表象是本内容学习的重要目标。
为了帮助学生建立角的正确表象，教材首先突出了从生活情境中“抽象”出角的过程。在三幅图中，既有画出来的两边一样长的情形，也有画出来的两边不一样长的情形。教师还可以举一些画出来的两边不一样长的情形，以免学生认为角的两边都必须画得一样长。在此基础上，教材安排了摆角的活动，目的有两个：第一，由于用两个小棒来摆角，有利于学生认识到角是由一个顶点和两个边组成的，使角与角所“包含”的区域剥离。第二，通过学生自己摆角，可以暴露出学生的错误认识，便于教师帮助学生澄清。然后，教材设计了认一认的活动，帮助学生建立角的正确表象。教师可以鼓励学生画出角，并进一步认识组成角的顶点和边。
需要指出的是，本册教材是对角的初步认识，学生能够辨认出角，知道角的有一个顶点、两条边，并能正确指出顶点、边即可。关于角的定义和进一步认识在四年级还要学习。
8、 怎么在“长方形与正方形”这一节课中积累探索图形特征的经验？
本节课的主要教学目标是让学生通过操作、比较、归纳，能够用自己的语言描述长方形、正方形的特征。在这节课的学习中，学生除了要能描述长方形和正方形的特征外，还需要积累探索图形特征的经验。教师可以从以下几个方面帮助学生积累经验：
第一，教师可以首先让学生观察，猜一猜长方形和正方形的特征有哪些。这时，教师要引导学生可以从边和角两个角度来猜测图形特征。对于边，我们会发现什么；对于边，我们会发现什么。
第二，对于学生猜测出来的结论。教师可以引导学生讨论研究的方法，比如从边来研究，学生可以用尺子量，或用对折的方法发现长方形的对边相等、正方形的四条边相等；从角来研究，学生可以通过直角三角板量一量，发现长方形、正方形的四个角都是直角。
第三，教师一定要重视学生操作后的反思活动。反思刻画图形的角度、验证图形性质的方法，以及观察猜想——操作验证的过程。并且指出在探索其他图形的特征时，也可以用同样的研究思路和方法。
三年级下册
一、三年级下册“小数加减法”与四年级下册“小数加减法”的定位有什么区别？
三年级下册的小数加减法限制在元、角、分背景下，把元、角、分作为一种生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写，一位小数的大小比较、计算等。四年级下册的小数则脱离了元、角、分的背景，从具体生活原型中抽象出小数的意义。
之所以选择“元、角、分”这样一个情境学习小数，首先，由于购物情境非常接近学生的生活实际，能够为学生学习小数建立一个熟悉的生活原型，这有助于学生认识小数，有助于学生体会小数与现实生活联系；其次，人民币为学生提供了认识小数的一种直观模型。换钱等活动（包括模拟的换钱活动）为学生提供了可直观操作的机会，它对学生理解小数加减法的算理有很大的支持作用。
以上说明也解释了“本教材为什么不把小数的认识放在分数之后学习？”的困惑。传统教材之所以把小数的认识放到分数之后，其主要目的是让学生在分数基础上学习小数，即借助分数与小数的关系来引入小数。这是学习小数的一条思路，但如今学生通过“元、角、分和小数”这个熟悉而又直观的原型认识小数后，就不必放到分数后学习了。而到了四年级，学生已经学习了分数的初步认识，在此基础上学生就可以进一步学习小数的意义了。
此外，在本单元的教学中，有的老师提出：是否应该让学生知道小数不仅表示元、角、分，还可以表示长度、质量等。
确实在一个概念的学习中，通过多个例子从不同角度引入是有价值的。但本单元只是初步认识小数，而这个阶段的学生对于长度、质量等本身的理解还是比较困难的，因为他们缺乏相应的生活经验。借助更难的例子来认识一个不是很复杂的内容并不利于概念的学习，所以，教材还是选择了从“元、角、分和小数”这一学生最为熟悉的素材入手认识小数。需要提醒老师注意的是，教材在《森林旅游》一课的“实践活动”这个小栏目，对长度、质量背景下认识小数有一点渗透，不过这里只是让学生稍作了解，教师不必要求学生解释其意义。到了四年级下册，将学习小数的意义，那时会把小数拓展到长度、质量等其它情境。
二、对称、平移和旋转这一单元的教学定位是什么？怎样区分生活中的对称、平移和旋转现象？
本单元把平移、旋转与轴对称等作为学习内容，从运动变化的角度来认识“空间与图形”。发展学生的空间观念是本单元教学活动的重中之重，因此建议课堂教学尽可能体现：通过学生身边丰富、有趣的实例，让学生充分感知平移、旋转和轴对称等现象；在动手操作中，体验图形变换，发展空间观念；在方格纸上做一些简单的作图，欣赏并设计一些图案。
教材虽然强调在现实情境中，帮助学生体会轴对称、平移和旋转现象，但需要注意的是，实际生活中的现象往往很复杂，我们在学习轴对称、平移和旋转现象时可以借助现实情境帮助理解，但不宜对实际生活中的现象做过多讨论，尤其注意不要在考试中出一些复杂的实际生活中的现象让学生来判断。在这里，我们主要学习的是平面图形的轴对称、平移和旋转。练习基本上也都是基于方格纸上的轴对称、平移和旋转运动。
在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念——
在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，也叫做合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。
全等变换有几种方式。我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。上面的变换就是平移、旋转和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换也叫做轴对称变换，即一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形成轴对称。
具体的什么叫“平移”、“旋转”和“反射”，我们不给出数学上严格的定义，在此直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。
如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。可以看出，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。
如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。可以看出，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。
如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。
再来看学生问过的例子，比如说摩天轮的转动，它看起来既像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为什么这么说呢？因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如把人抽象成一个点的话，似乎能够看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯地讨论一个点的运动没有多大意义，实际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又发现它不是一个旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能够通过平移得到，这是有道理的。总之，这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨论这个问题。又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成一个整体，又可以把它看成一种压缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。再如荡秋千、钟的摆动，如果把秋千和钟摆抽象成平面图形或点，可以看成是平面图形的旋转，当然，我们不考虑荡秋千的人在荡秋千时的形体变化。但无论如何，这些现象让小学生来讨论都太过复杂。对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，就可以了。
所以，在学习的开始，教师应该鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。当学生有了经验以后，可以尽快的进入到图形的变换的讨论中。
三、判断轴对称时，到底是研究图形轴对称还是研究图案轴对称？
不少老师提出这样的疑问，在判断轴对称时，是否要考虑图形内部的图案。举一个例子，如下面的交通标志，如果只看外部轮廓，无疑是轴对称的；如果考虑内部的图案，就不是轴对称了。
解决这个问题，教师首先需要明确的是，这类题目的目的是考察学生是否认识轴对称，能否正确进行判断，而不是考察学生对什么是图形或图案的理解。所以，不要考这些容易产生歧义的内容，在教学或考试中，首先应向学生指名判断时是否考虑图形内部的图案，然后再鼓励学生判断。例如，对于上面的交通标志，如果考虑内部图案的话，显然不是轴对称的；如果我们只考虑外部轮廓的化，正方形和圆显然是轴对称的。
四、“在方格纸上画出平移后的图形”难度较大，教师应怎样给学生提供帮助？
画图时，特别是需要学生数出平移后的格数时，学生常常会出错。解决这个问题的最好的办法是多操作。比如，让学生先剪一个与要平移的图形大小一样的硬纸片，在方格纸上按要求平移，再在方格纸上描出来。然后引导学生观察一个点或一条边是怎样按要求平移的。在操作的过程中，教师引导学生抓住一些关键点是非常重要的。一般来说，经过多次的操作，学生慢慢地就体会到了数格、找点的方法，画图的难点也就会得到突破。必要的时候，教师还可以“放慢”平移的过程，平移1格后让学生观察图形位置的变化、平移2格后、平移3格后……
五、在“旅游中的数学”设计旅游计划的任务时需要注意什么？
“旅游中的数学”是一个实践活动，实践活动一般需要通过课内外相结合的方式来完成，同时需要通过小组合作的方式。
“旅游中的数学”是由三部分组成的系列实践活动。在“租车”的活动中，通过解决40人如何安排车辆的问题，渗透列表解决问题的策略。在“用餐”活动中，通过搭配快餐，让学生懂得合理选择的重要性。同时，通过计算用餐的费用，复习并应用小数的加减法。在“旅游计划”中，通过让学生了解旅游路线、景点、费用等活动，提高他们收集数据与处理数据的能力。
教学时，可以根据教材呈现的内容，先安排“租车”活动，让学生解决租车的问题，可以引导学生根据车辆的情况与旅游的人数，在表格中一一列出所有可能的租车方案。本活动最省钱的策略是车的座位尽可能坐满，如果不可能坐满，空位必须尽可能少。在开展“用餐”的活动时，可以先由学生独立地进行选择，分别计算用餐的费用，然后开展交流活动。在交流过程中，教师应引导学生合理搭配，就菜的荤素搭配、主食搭配开展讨论。同时，也应培养学生节约的习惯。
“旅游计划”的制定是一项开放性的活动，在开展本活动之前，学生应先了解旅游的景点、路线、时间、费用等数据，为此，教师可以鼓励学生在网上或电话咨询旅行社为学生搜集一些相关的信息。对于广大农村学生，也可以通过询问家长等方式，了解有关信息。对收集的数据，每个小组可以根据大多数学生的意见，集体制定一份旅游计划，并在全班交流。为了提高学生设计的积极性，教师也可以组织学生评选“最受欢迎的旅游计划”。有条件的学校，可以结合学校的春游活动，实施学生的最佳设计计划。
旅游方案的设计是一项非常有价值的学习活动。可能完成这个任务对学生来讲具有一定的挑战性，不过通过合作学习一般是可以完成任务的。当然在这个学习过程中，我们非常希望通过课内外的结合帮助学生获得多信息的方面，因为这无论是对学生解决问题，还是开阔学生的眼界都是有好处的。
六、在学习“什么是面积”时，让学生拿硬币、小方块等来比较面积的大小有什么价值？
在初步认识面积后，教材呈现了一个正方形与长方形，并请他们比一比两个图形面积的大小。由于不能直接判断这两个图形面积的大小，所以学生必须想办法进行比较。教材中呈现的四种方法是从不同的角度说明学生可能采用的方法：一是将两个图形重叠后，再进行剪拼；二是利用硬币摆一摆、数一数；三是用小方块摆一摆；四是画格子再数数的方法。当然，这些方法仅仅是一种教学的提示，而实际教学中教师需要根据学生的探索来进行。
无论是用硬币、小方块、画格子，或者有的学生可能会想到用橡皮摆，其共同点就是用一个“单位”去量，这正是度量的含义。所以，鼓励学生用多种策略去比较面积的大小，不仅体现了解决问题策略多样化，也有助于学生体会度量的含义。进一步，教材设计“你觉得哪种方法更好些呢？”的问题，目的是让学生初步感知在多种方法中用正方形进行测量和比较的优点，从而为后面学习面积单位做好铺垫。
七、1千米 和1000米 有什么区别？
1千米 和1000米 咋看起来似乎有相似之处，但实际上它们表示的是两个大小完全不同的面积。
我们通过举例来说明这个问题，比如就正方形的面积来说，1千米 ，是指边长为1千米（1000米）的正方形面积；1000米 是指1000个变成为1米的正方形的面积之和。
如果进行换算的话，1千米 ＝1000×1000＝1000000米 。显然，1000000米 远远大于1000米 ，是它的1000倍。。
在读法它们也是有区别的，1千米 读作“一平方千米”，1000米 读作“一千平方米”。
八、本教材中分数的引入的特点是什么？
分数被安排在两个学段中进行学习。本单元学习的内容是初步认识分数，而在五年级，学生将进一步认识分数的意义。
根据三年级学生思维发展和生活经验的特点，教材从学生熟悉的、并且能够实际操作的分物情境引入分数。一个苹果平均分给两个人，每人分多少？怎样表示呢？鼓励学生讨论用什么方式来表示“一半”。这个讨论过程，一方面可以使学生意识到原来学过的数不够用了，感到学习新知识的必要性；另一方面可以鼓励学生发挥想象，大胆创造表示“一半”的方法。学生可以画图来表示，也可以发明自己的符号来表示。在此基础上，再引入“一半可以用1/2来表示”。这实际上鼓励学生经历了从运用自己的符号表示到运用数学符号进行表示的过程。
进而，教师安排了分别涂出一些图形的1/2，不仅有利于学生借助几何模型体会分数的意义，并且学生将感受到1/2不仅可以表示半个苹果，还可以表示许多事物的“一半”，感受数学符号的作用。
“分一分（二）”的主要内容是感受可以用分数表示由多个给踢组成的整体中的若干份。这种分数“整体”意义的拓展，更多突出了分数的实质——部分和整体的关系。
九、教材第73页“猜一猜”一课教学目标之一是让学生体会事件发生的可能性有大有小，但有些学生在“抛图钉”的实验中，出现两种图钉落地情况的频率大致相等的结果是怎么回事？怎样保证这个试验结果的有效性？
“抛图钉”的试验活动中，对学生有两个学习要求，一是要求学生能够列出所有可能发生的结果，二是体会事件发生的可能性是有大小的。“抛图钉”的试验活动包括以下过程：一是每个学生独立做“抛图钉”的试验，并如实记录试验结果；二是组织全班学生汇总试验结果，如果班级学生人数较多，可以先作小组汇总，再进行全班汇总；三是让学生通过试验数据，体验、发现这个试验可能有两种结果，并得出“结果发生的可能性有大有小”。
实际上，从一定高度掷一枚图钉，落地后一般会出现“钉尖朝上”和“钉尖朝下”两种结果（如图）。
钉尖朝上 钉尖朝下
一般情况下，钉尖朝上的可能性会大一些。为了说明，这里附上2003年北京市某学校高一（5）班学生做的试验要求及结果，以供参考。
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出现“钉尖朝上”的频率变化情况。
（1） 每人手捏一枚图钉的钉尖，钉帽在下，从1.2米的高度让图钉自由下落。
（2） 重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。
下面是汇总六位同学的数据后画出来的频率图。
从上图中我们可以看出，随着实验次数的增加，钉尖朝上的频率稳定在0.6。当然，这个结果与抛图钉时的初始高度有关，同时选用的图钉应与教材上的相符。
但是，即便方法得当，由于事件发生的不确定性，和学生个人试验次数过少等原因，也可能会出现“抛图钉”后两种结果大致相等的情况。就此，对教师有两个建议：一是建议教师累计全班学生的试验数据，以尽量减少由随机性带来的误差；二是教师可以呈现上面的结果，说明一般情况下两种结果的可能性是不一样的。
还需要说明的是，本课的目的主要是让学生通过这个过程，体会事件发生的不确定性，所以不必追求要得出与前面试验相同的结果。
四年级下册
一、三下小数的初步认识与四下小数的认识在定位有什么区别？
三年级下册的小数的初步认识限制在元、角、分背景下，把元、角、分作为一种生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写和一位小数的大小比较等。四年级下册的小数加减法内容则是脱离元、角、分背景，从实际情境的数量中抽象出小数的意义，进行小数的比较大小。
本册小数的认识是在三年级下册“元、角、分与小数”及“分数的初步认识”基础上进行的，包括“小数的意义”“测量活动”“比大小”等内容。“小数的意义”把小数的认识范围扩大，不仅几元几角几分以“元”为单位可以用小数表示，生活中很多事物都可以用小数表示。通过对这些例子的讨论，使学生体会小数与现实生活的密切联系。然后，借助直观模型使学生体会到小数与十进分数之间的关系，并通过计数器介绍小数部分的数位名称及数位的相互关系，使学生进一步理解小数的意义。“测量活动”的目的是使学生加深对小数的理解，并能进行简单的复名数与单名数之间的转化。“比大小”通过演讲比赛选手的得分情况，学习如何比较小数的大小。
二、第二单元认识图形中为什么要首先安排“图形的分类”内容？
教材安排这个内容，主要是出于对图形分类价值的重视。图形分类在数学中非常重要，通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识教学中，教师应重视图形分类的价值。
传统教学中，教师往往是学完图形以后，在复习整理阶段进行图形分类活动，当然这也是非常有意义的。但实际上，在图形性质探索的初始阶段，安排图形分类的活动，鼓励学生通过对图形尝试进行分类的过程来关注图形的边、角等特征，也是非常重要的。比如，在本课内容中，教材首先提供了需要学生分类的直观图形，学生可以在“分一分”中对学过的图形逐步进行整理；然后，对每一次的分类结果，让学生说一说分类的标准，学生表达、交流分类标准的过程，即是体会图形特征的过程。同时，在分类、比较中学习认识图形，对图形之间的联系也有了更深刻的理解。
教材中给出了一个分类的标准：第一次，按照平面和立体图形来分类；第二次，对于平面图形，按照组成图形的是否有曲线来分类；第三次，对于直边形，学生可以按照边数的多少进行分类，分成三边形和四边形。在实际学习中，学生的分类标准可能与教材不一样。一方面，教师应鼓励学生讨论这些标准是否合理，以及在这些标准下学生的分类结果是否正确；另一方面，教师可以鼓励学生思考教材中的分类标准是什么。
三、由于操作误差，学生在实验结果中出现“三角形两边之和等于第三边”怎么办？
在三角形三边关系的教学中，许多老师设计了探索什么样的小棒可以搭成三角形的活动。在这个活动中，由于操作中存在着误差（比如小棒的粗细，学生的实验结果可能会出现两边之和等于第三边的情况，也就是用类似4，5，9的小棒“搭成”了三角形。这时，教师可以引发学生进行讨论，并引导学生进行简单地推理。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。在出现两边之和等于第三边时，我有的学生可以用非常形象的语言推理出其不合理性，比如有学生会说：4+5=9，9与9都平行（重合）了，所以，拼不成了三角形。进一步，教师可以鼓励学生由“两边之间线段最短”推导出“两边之和大于第三边”。
有专家曾提供过这样一个教学“两边之和大于第三边”的思路：首先通过具体情境使学生认识到“两点之间线段最短”，然后画出两个点，两点之间画一条线段和若干条折线。实际上，折线与两点之间的线段就形成了一个一个的三角形。接着鼓励学生思考，如果把它们看成一个个三角形的话，你能发现什么？即“两边之和大于第三边”。
当然，这个推导过程不作为基本要求，但是鼓励学生将操作与推理相结合的思路是重要的。当然，有的老师利用课件来动态地演示当两边之和等于第三边时，就重合搭不成三角形的过程，也是非常好的。
四、在小数乘法单元安排42页“街心广场”一课的目的是什么？
与以往教材分为小数乘以整数、整数乘以小数、小数乘以小数的小步子教学的体系不同，教材在设计小数乘法的内容时突出转化思想，即如何将未知的小数乘法问题转化为已学过的整数乘法问题，紧扣“如何确定积的小数点的位置”，引导学生发现规律。为此，教材专门安排了“小数点搬家”，引导学生观察、比较三次不同的标价，它们都有数字“４”，但小数点的位置不同，小数的大小就不同；然后借助元、角、分的关系，让学生了解小数点向左移动时小数的大小如何变化；在此基础上，再推想小数点向右移动时小数的大小如何变化，并加以验证。在“街心广场”中，通过计算广场的面积、花坛的面积、地砖的面积，观察三个长方形的长、宽和面积之间的关系，使学生初步体会到小数乘法可以转化为整数乘法的方法计算，再来确定积的小数点的位置。学生可以从不同的角度探索地砖的面积：可以从前两个整数乘法算式的得数，推想出小数乘法的得数；也可以通过单位名称的转换推出得数。教材还提供了“试一试”“填一填”等素材，使学生归纳出两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数的规律。这样就解决了计算小数乘法的关键问题，帮助学生掌握了一般的方法，为后面的学习打下了基础。
五、怎样突破小数除法的教学难点？
在小数除法的计算中容易出错是一个普遍存在的问题，对此老师们大多从提高练习量和如何纠错等角度来思考克服这个问题的办法。下面的内容提供了另外的思考角度，希望能给大家以启发。
除数是小数的除法难就难在小数点的处理上。教学时我们发现，学生不能有意识地结合除法的意义思考解决问题的办法。帮助学生克服这一难点，教学时不仅要解决“怎么算”的问题，还要从一般意义上对“为什么可以这样算”进行解释。因此，我们需要思考以下两个问题：
1、商不变的规律：是直接应用，还是理解拓展？
学生在四年级上学期学习“商不变的规律”时，是在整数范围内建构这一知识的，现在扩展到了小数范围，它是否适用于小数？有必要加以说明。将整数除法运算扩展到小数，并不像加法和减法的扩展那么直接。为什么学生会常常搞错小数点的位置，为什么有的学生当时学的时候会了，过一段时间又错？其中一个很重要的原因是没有真正理解。所以，教师必须明确：此时的商不变规律存在着理解层次更深、应用范围更广的问题，教师应该引导学生打通这一知识关节。
教材设计时，十分注重借助直观模型帮助学生理解数的运算的意义、算理，许多教师反映效果明显。在这里，可继续借助直观模型，使学生体会把除数是小数的除法转化成前面学过的除数是整数的除法。算理通了，算法也就好掌握了。同时，学生即使忘记了商不变规律，也能正确解决问题。另外，算理的理解也能帮助学生更好地记忆商不变规律。因此，教学时可采取以下对策：分散难点，两步走：一是解决为什么算，二是解决怎样算。
2、生活背景：是教师提供，还是学生主动联系？
将“解决问题”与“运算”紧密结合是教材编排的一大特点。学生从一年级起至现在，一直没有脱离过实际生活情境来学习计算。然而一个令人尴尬的事实是，当我们的学生独立面对一个新问题时，能自觉联想到生活经验解决问题的人数极少。显然，这与小学生考虑问题不够周全的年龄特点有关，另一方面我们平时的教学是不是也存在问题？我们的教学中，教师主动“给”的是否还是太多了？生活背景都是教师提前预置好的，当学生解决问题时就会从中获得某种暗示来联系生活背景思考。尽管这样学生有了联系生活背景思考的体验，但这种联系并不能转化成学生解决问题时的主动选择，那么这与教师没有督促学生自主建立起算式和生活背景的联结有密切关系。所以，我们可适当尝试这样的设计：先不提供支撑数学问题的现实背景，让学生直接面对一个算式，看看他们能否主动联系现实的背景解决问题，当学生实在想不出的时候再给。把现成的东西给他，与让他意识到这个问题的重要性后再有意识地去提取是有区别的。
课程标准中关于应用意识的阐述中有一句话：面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。也就是说，学生看到一个算式，应该首先想到：这个算式表示什么意思？联系算式的意义来思考从哪些方面解决问题。同时还应想到：解决生活中什么问题时需要用到这个算式？这个问题怎么解决？所以，如何让联系生活背景而思考问题成为学生的主动选择，是数学教学必须承担的一个培养任务。在此基础上，再跟进一定量的形式多样的练习，帮助学生巩固知识。
摘自《小学教学》数学版第9期“让知识成为学生真正的营养”作者张红
六、“观察物体”单元，学生没有去过天安门广场，如何进行“天安门广场”的教学？
在“天安门广场”一节中，教材提供了一些照片（或画面），旨在让学生了解情境中各物体的相对位置，然后再观察从其他位置拍摄（或看到）同一情境的照片（或画面），判断这些照片（或画面）分别是从什么位置拍摄（或看到）的。选择以上的学习内容，主要目的是为了发展学生的空间观念。
教学时，建议教师首先引导学生理解学习的任务，认真观察所提供的照片或画面，先看懂图中各个拍摄位置与天安门广场中主要建筑物（人民英雄纪念碑或毛主席纪念堂）的相对位置关系，再进行想象和推理，做出正确的判断。由于大多数学生没有到天安门广场观察的机会，确定照片拍摄的位置就需要学生根据提供的画面进行充分的想象。如果学生想象有困难，可以用模拟的方式，让学生摆一摆，帮助学生认清图中各建筑物间的相对位置关系，再进行想象、推理与判断。有条件的学校也可以结合当地的场景，组织学生在校外活动中进行观察，以拓展他们观察的视野，获得观察物体的体验，发展空间观念。老师还可以根据当地实际，创造性使用教材，鼓励学生观察当地的某地点，通过观察连续拍摄到的某地点的一组照片，能够判断照片拍摄的前后顺序。
七、教材第88页为什么要用这么多的情境引入方程？
方程是刻画现实世界等量关系的一个有效的数学模型，因此，首先应让学生了解现实生活中存在着很多的等量关系。如，利用天平平衡来找出“药丸的质量＋5=10”的等量关系，利用盘秤来找出“每块月饼的质量×4=380”的等量关系，还有一壶水倒成两热水瓶多200毫升，找出“两个热水瓶的盛水量＋200=2000”的等量关系，接着，用含有字母的等式表示这些等量关系。通过对多个实例的讨论，引导学生找出这些含有未知数的等式的共同特点，并用自己的语言进行描述，在此基础上，帮助学生概括出“像上面这样含有未知数的等式叫方程。”
教学时，教师要让学生自己从图中获取信息，发现等量关系并用自己的语言加以表述，然后尝试用含有字母的等式表示各个等量关系。
需要注意的是，方程意义的学习重要的是体会方程作为刻画等量关系的模型的作用，在建立方程概念的教学中，教师应引导学生能够理解实际问题中各个量的意义，分析其蕴含的数量关系，从而寻找等量关系。千万不要在方程定义上去作一些文章，例如判断x=5+3、、x=1、x-x=0等算式是不是方程。所谓要“淡化形式、注重实质”。
五年级下册
一、整数乘以分数与分数乘以整数的意义是否相同？
有老师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘以整数，一个数的几分之几则用整数乘以分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个是多少，是用整数乘以分数来列式，这样是不是表明整数乘以分数与分数乘以整数的意义相同呢？
这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，本套教材中没有区分乘数和被乘数。例如在整数乘法的运算中，算式“4×6”既可以表示6个4相加，又可以表示4个6相加，即在不涉及具体问题情境下，可以代表两个意义，4×6＝6+6+6+6或4×6=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来，6+6+6+6既可以写成4×6，也可以写成6×4。而4+4+4+4+4+4既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中，不同的算式有时表示不同的含义,比如“有6个小朋友，每人有4支铅笔，一共有多少支铅笔？”，4×6只代表6个4相加，当然这个实际问题也可以列出算式“6×4”。
在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。
教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。
在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。
需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。
在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：
事实上，面对用情景图或文字表达的实际问题，如：
共 ？只
或 “每袋有6只桔子，4袋一共有几只桔子？”
学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6只桔子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高……以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。
二、如何把握“展开与折叠”的教学要求？
教材第16页安排这一内容的主要目的是通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
这部分内容对学生的空间观念要求比高，有些学生会感到困难，建议教师充分利用教材附页中的材料，帮助学生操作、思考、判断，逐步发展学生的空间观念。教师还可以让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状，由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。虽然不要求学生掌握多种剪开的方法，但教师应借助这些展开图引导学生进行交流，发展学生的空间观念。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，这时教师可以适当地进行指导。教学过程中，在实物操作的基础上，教师要引导学生“闭上眼睛想象实物展开或折叠的过程”，促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。
需要注意的是，在教学中有的教师给出了十一种展开图，并让学生总结、记忆十一种图形的特点，用以判断什么样的图形能折叠后围成正方体，什么样的图形不能围成正方体。对此我们认为要求过高，因为这里展开图只是用于发展学生空间观念的载体。在学生交流时，可以通过展示多种展开图让学生观察，但不宜让学生作为知识点来记忆。因为形式化地记忆、识别并不能真正起到发展学生空间观念的作用。
三、为什么把体积和容积的内容放在一起学习？
教材第41页，将体积和容积放在一起来学习，这样安排主要基于以下理由：
首先，容积是容器所能容纳物体的体积，从本质上说，容积和体积是一样的，只是应用的地方不一样。我们在学习概念时，要把握概念的本质特征。
其次，学生根据生活经验能够意识到，我们周围的物体是有大小的，同时也是占有一定空间的。例如，学生在生活中可能会判断一个食品袋能否装得下五个苹果，在这个判断的过程中自然就有朴素的对苹果体积和食品袋容积的体会。所以，学生借助生活经验会很容易地把体积和容积联系在一起。
因此，两个内容一起学习有助于学生体会容积和体积的本质，我们希望教师在二者的共同点上下功夫，不要让学生在二者的区别上耗费精力。
四、平均数、中位数和众数的区别和联系是什么？
平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。
当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。
需要指出的是，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的（如下图）。
只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。
除了需要刻画平均水平的统计量，统计中还有刻画数据波动情况的统计量。比如，平均数同样是5，它所代表的数据可能是1、3、5、7、9，可能是4、4.5、5、5.5、6。也就是说5所代表的不同组数据的波动情况是不一样的。怎样刻画数据的波动情况呢？很自然的想法就是用最大值减最小值，即求一组数据的极差。数学中还有方差、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然这些都是教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学的教学要求。
六年级下册
一、六年级学习圆柱、圆锥比一年级有哪些发展？
对于圆柱和圆锥，学生在一年级已经能够直观辨认，此时学习圆柱和圆锥，学生将主要从一下三方面进一步加深认识：
第1， 从“静态”到“动态”，即由平面图形经过旋转形成几何体。这不仅是对几何体形成过程的学习，同时让学生体会面和体的关系也是发展空间观念的重要途径，这也是教材将本课的题目定为“面的旋转”的原因。
第二，从“整体辨认”到“局部特征刻画”。学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形和长方体、正方体等立体图形，这里是在以前研究长方体、正方体特征的基础上，研究圆柱和圆锥的特征。同时，对圆柱和圆锥的侧面的认识，使学生对面的认识从平面过渡到曲面，这是认识上的再一次上升。
第三，从观察圆柱、圆锥的实物到认识它们画在平面上的“直观图”。学生在认识直观图中可能存在着困难，教师要加以指导。
二、在“圆柱的体积”和“圆锥的体积”的教学目标中，都要求让学生经历“类比猜想—验证说明”来探索体积的计算方法的过程，教材这样要求是基于什么考虑？
我们以圆柱体积的内容安排为例。教材安排了探索圆柱体积计算方法的内容，引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，体会类比、转化等数学思想方法。教材先呈现了“类比猜想”的过程，由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体，而且长方体与正方体的体积都等于“底面积×高”，由此可以产生猜想：圆柱的体积计算方法也可能是“底面积×高”。在形成猜想后，教材又引导学生“验证说明”自己的猜想，教材中呈现了两种“验证说明”的方法：一种是用硬币堆成一堆，用堆的过程来说明“底面积×高”计算圆柱体积的道理，这实际上是“积分”思想的渗透；另一种方法是“转化”思想的渗透，即把圆柱通过“切、拼”转化为长方体，再根据长方体体积的计算方法推导出圆柱体积的计算方法。
要求让学生经历“类比猜想—验证说明”来探索体积计算方法的过程，主要是由于这种过程的重要性。数学发现通常都是在类比、归纳等方法进行探索的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。当然，通过合情推理得到的猜想还需要进一步证明。在小学阶段不要求给出严格的证明，只要学生能够从不同角度说明其合理性即可，可以说是验证说明。
。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。运用类比的关键是寻找一个合适的类比对象。圆柱和圆锥的体积与已学习过的长方体和正方体的体积存在诸多相似点，为进行类比提供了可能在学习长方体和正方体的体积时，学生已经初步理解了体积和容积的含义，掌握了长方体和正方体的体积计算方法，这些知识都是学习圆柱体积的基础，特别是长方体和正方体的体积计算公式“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有正迁移作用。这就使得圆柱和圆锥的体积学习有了合适的类比对象或者说类比的基础。
三、教材第18页为什么要安排“变化的量”这节课？
我们生活在一个“变化”的世界中，生活中存在大量互相依赖的量。从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。
我们知道，函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，函数的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容。而国际数学课程发展的趋势表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。其实，以前学习的探索数和形的变化规律、字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。而本章的正比例、反比例本身就是两个重要的函数。函数是刻画变量之间相互关系的重要模型，多种研究表明，学生体会、理解函数思想需要丰富的情境，应使他们对函数的多种表示——数值表示（表格）、图像表示、解析表示（关系式）有丰富的经历。学生在这些情境和经历中，感受到生活中存在着许多变量，感受到有的变量之间存在一定的关系，一个变量随另一个变量的变化而变化。
因此，在正式学习正比例、反比例之前，教材设计了三个关于变化的量的具体情境，通过学生感兴趣的日常生活中的问题，分别运用了表格表示、图像表示、关系式表示的方法，使学生体会变量和变量之间相互依赖的关系，并尝试对这些关系进行大致的描述。
四、当速度一定时，路程和时间成正比例，可不可以说成速度一定时，时间和路程成正比例？
这样说是可以的。正比例函数描述的是两个相关的量的变化规律。当表达式为s=vt时，其中自变量为t，因变量为s，这时我们可以说路程随着时间的变化而变化。当表达式为t=s/v时，自变量为s，因变量为t=s/v，这时我们会说时间随着路程的变化而变化。
但是无论s=vt，还是t=s/v（注意速度一定，即v是定值）它们都属于正比例函数。正比例函数的表达式一般为：y=kx。在s=vt这个表达式中，常数k=v；当表达式为t=s/v，常数k=1/v。
虽然这种说法没有问题，但在小学阶段我们希望学生首先体会到，一个量随另一个量的变化而变化。一般习惯上，速度一定时，路程随时间的变化而变化，而不反过来说时间随路程的变化而变化，所以建议老师不要讨论后者。另外，需要指出的是，我们用语言描述时，一般习惯把因变量写在前面（教材上也是这样处理的），但没有找到正式的规定。
五、教材24页“反比例”中，加法表和乘法表的设计目的是什么？
为了帮助学生能更好地理解“反比例”的意义，体会到生活中存在大量相关联的量，体会成反比例的量以及反比例在生活中是广泛存在的。教材密切联系学生已有的生活和学习经验，提供了丰富的直观背景和具体案例，这些情境从不同的角度（实际生活、图形）反映了反比例的意义。
教材24页提供了加法表和乘法表，旨在通过“和是12的直线”和 “积是12的曲线”为学生认识反比例提供一个直观的帮助。在图表中，我们能够看到两个表所表示的变化关系是不同的。第（1）题加法表，在和一定的情况下，一个加数随另一个加数的变化而变化。如果设这两个加数分别为x、y,和为a，则两个加数之间的关系可以表示为y＝a—x，这是一次函数。第（2）题乘法表，在积一定的情况下，一个乘数随另一个乘数的变化而变化，如果设这两个乘数分别为x、y,积为a，则两个乘数之间的关系可以表示为x·y＝a，这是反比例函数，乘法表中“积是12的曲线”，直观、动态地体现了“成反比”的过程。
教材不要求学生独立地画（或连格）反比例曲线，对于两个表格，教师主要应当引导着学生去从中感受两种不同的变化的量，在这里还不必引出反比例的名称，也不用写出表达式。
六、没出“比例”一词、没有学“解比例”，学生怎么解决有关比例尺的问题？
教材中没有给出“比例”名称，这在六年级上册我们的问题解答中有过阐述。主要是由于，在学生刚刚学习比，就引入了比、比例、比值等概念，学生将把大量精力放在区分这几个概念上，而忽略了对比的意义的理解。
同样的想法，有关比例尺的问题，学生完全可以利用比的意义、比例尺的含义、解决问题的经验加以解决，因此教材没有安排“解比例”的内容，教师也不要补充此内容。
例如，教材30页在出示了房屋平面图并给出了比例尺1：100后，第4题实际上就是指导了实际距离是2米（200厘米），就图上距离。在没有学习解比例的前提下，学生完全可以自己探索出解决此问题的方法。比如，有的学生想到图上1厘米代表实际100厘米，自然图上2厘米就代表实际200厘米；有的学生利用倍数的关系，200÷100=2（厘米）。
七、总复习的设计体现了什么样的意图？
按课程标准的要求，教材把总复习的内容划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三个领域，同时，教材还设计了回顾解决问题策略的内容。每一部分内容的呈现又分为“回顾与交流”“巩固与应用”两个方面。每一部分的“回顾与交流”主要是对重点知识及学习方法的梳理；“巩固与应用”主要是通过练习和应用，一方面巩固所学的知识，澄清学习中的困难，另一方面提升学生分析问题、解决问题的能力。解决问题的策略主要是梳理学生在以前的学习过程中用到的解决问题的策略，如列表、画图、猜想与尝试、从特例开始寻找规律等。
在小学阶段，为什么要设计这样一个总复习，而不只是让学生做练习题呢？具体地说总复习内容编排的主要目的在于：
第一，加深学生对所学数学基础知识和方法的理解、促进学生基本技能的掌握。同时，通过复习，突出核心概念及核心方法。需要指出的是，基础知识和基本技能的要求应按照课程标准，依据学生的认知规律进行有目的、有计划、有效的服下，不提倡进行机械训练，更不能让核心概念及核心方法湮灭于题海中。
第二，加强所学内容之间的联系。通过总复习，沟通知识之间的联系，有利于学生将所学内容迁移到新的情境。数学知识与方法之间有着密切联系，在实际教学时，教师要为学生提供自主梳理知识的时间和空间，不能越俎代庖。学生良好的认识结构是在个人思考中初步建立、在小组合作中形成、在班级交流和老师的指导下不断提升的。
第三，积累数学活动经验，体会数学思想。总复习除了需要对所学内容进行回顾、整理、巩固、应用外，还有一个重要目标，就是帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程，经历综合应用所学内容解决问题的过程，使他们不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。
第4， 培养学生的问题意识。在复习时，不仅要复习相应的知识和技能，还要把相应
的知识与解决问题结合起来。这样，既可以帮助学生回忆、整理相关知识，同时可以帮助学生提高综合运用数学知识的能力。特别要注意的是，教师要引导学生提出新的研究问题，培养学生的问题意识。能提出有价值的问题，往往代表学生对所学内容有了比较深入的理解。
第5， 促进学生良好学习习惯的养成。自觉地整理知识，回顾、反思自己学习过程中
的方法和策略，都是良好的学习习惯。
基于以上的考虑，在教材的编写中，我们力求体现以下几个方面的主要特点：
1、重视沟通知识的内在联系。教材在安排复习时，把平时相对独立学习的知识以分类、归纳、转化等办法串起来，使相关内容条理化、结构化，形成整体框架，以加深学生对所学内容的理解。教材中设计了很多整理的内容，如学过的数的联系、数之间的相互转化、四则运算的意义及关系、估算策略的总结、计算法则和运算规律的总结等。
2、注重学习方法的渗透。教材既关注数学内容的整理及其内容之间的联系，也关注在学生学习过程中渗透整理和反思的思想方法，培养学生良好的学习习惯。教材结合有关问题引导学生进行知识归类，梳理知识之间的联系，并引导学生用表格或网络图等形式来呈现。教材还在多个地方对学生梳理知识的角度进行提示，如对运算规律的整理与验证方法的整理等。
3、注意整理与应用相结合。教材每部分内容的复习都分为“回顾与交流”“巩固与应用”两个方面。“回顾与交流”以提示性问题的形式，把主要知识内容加以呈现，便于教师引导学生进行梳理，把以前分散学习的知识进行系统整理，沟通知识之间的联系。在“巩固与应用”部分，练习的设计既注意基本知识和基本技能，又注意知识的综合应用，引导学生综合运用学过的数学知识和方法解释生活中的现象、解决简单的实际问题，从而增强解决问题的能力和反思意识。
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二年级下册 7
三年级下册 10
四年级下册 15
五年级下册 18
六年级下册 20
新世纪小学数学教材主要问题与解答
一年级下册
全文各册问题的顺序，都按照教材呈现的前后顺序。
一、 怎样组织教学，才能落实“数豆子”的教学目标？
第4页“数豆子”一课有两个教学目标，一是经历用计数器表示数的过程，进一步体会数位的意义，会写100以内的数；二是能对100以内的数进行估计，发展估计意识。对于第一个目标，教师都能理解，实践中也有比较丰富的教学经验。需要关注的是第二个目标，强调估计意识的培养，主要原因有：第一，估计在日常生活中有着广泛的应用；第二，估计是发展学生数感的重要渠道。估计教学在不同学段有不同的侧重点，建议第一学段的教学以培养学生的估计意识为主，通过设计适当的情境，使学生体会到估计的必要性。本册书是第一次出现估计数量的活动，教师应注意把握教学要求。教师引导学生理解什么是估计，初步体验估计的基本过程：用部分的数量（如教材中10粒黄豆）来推断总体的数量（如教材中一把豆子的数量），不要求学生独立探索估计的策略。有关估计的具体策略在以后教材中还要学习。
教材的设计思路是首先通过估计一把豆子的粒数引入估计活动，然后通过验证估计结果，引入数的写法。教学时，教师可以从实际情境入手，先让学生估一估一把豆子有多少粒，然后再让学生数出10粒豆子，以此为标准（或参照物）再进行估计。这样不但激发学生主动探索的欲望，而且培养学生有根据地进行估计。在此基础上，教师组织学生互相交流想法。在估计的活动中，教师要注重引导学生应用“比较”来进行估计，这不仅是一个重要的策略，而且对于培养学生的数感也很有好处。在实际数出豆子个数之后，教师还需要鼓励学生在计数器上拨出结果，帮助学生理解计数器上不同数位上数字表示的实际意义，加深学生对数位的理解，进而鼓励学生结合计数器上的结果写出抽象的数。
具体操作时，教师可以根据当地情况选择不同种类的豆子来数，比如可以用黄豆、蚕豆、芸豆等。由于豆子的大小不同，学生一把可以抓起的豆子多少也会不同，教师可以根据具体情况来引导学生估计豆子的数量，让学生经历估计的过程。活动时也很容易出现豆子撒落地上学生忙着捡豆的情况，为了避免这一现象，建议教师可以为每个小组准备一碗豆，豆不要装得太满，碗下面可以再放一个比较大的纸盒，这样学生抓不住的豆子一般会落到纸盒内。
二、教材第7页第4题中“仔细观察右表，你发现了什么？”需要引导学生“发现”到哪一步？是否要让每个学生都理解所有的发现？
借助百数表可以帮助学生整体认识百以内数之间的关系。教学中建议教师首先带领学生一起进行几组“发现”，之后再放手让学生自己进行“发现”活动，在自己“发现”的基础上，组织小组或全班交流。在带领学生“发现”的过程中，教师可以引导学生多角度、有序地对百数表进行观察。比如，可以引导学生横着看前后数字之间有什么关系，学生可能会说在每一行中后一个数比前一个数多1，或者前一个数比后一个数少1；引导学生竖着看上下数字之间有什么关系，学生可能会说在每列中都是下一行比上一行多10，上一行比下一行少10；引导学生观察右起第一列，学生可能会说在这一列中，下一行十位上的数都比上一行多十位上的数多1，上下两个数差10，这些列上的数都是整十数……。
虽然百数表是以练习形式引入的，但是希望教师能够充分认识百数表的价值，并能创造性地使用。但需要注意的是，教学时不需要让每个学生都理解所有的发现，而要通过探索和交流，使学生都有所发现。学生只要能独立完成前三道小题就已达到基本要求，第（4）题的教学中，教师应鼓励学生提出不同的发现，并进行小组和全班交流，但对提出的发现并不要求每一个学生都掌握。
三、在“小小养殖场”中，怎样结合具体情境帮助学生把握数的大小关系、发展数感？
教材通过养殖场这一生活情境，使学生体会数量之间的大小关系，理解“多一些”“多得多”“少一些”“少得多”。这一内容帮助学生形成数感，在学会对客观事物进行定性描述的基础上逐步发展到定量刻画。
数量间的相对大小关系没有绝对的标准，需要结合具体情境进行描述。例如在34、85、200三个数中，85就比34多一些；但是如果三个数换为34、40、85，85就可以说比34多得多了。对于用语言描述几个数之间的相对大小关系时，结论是相对的，只要不出现逻辑上的混乱，比如“85比40大一些，85比34大得多”即可。
教材的情境只是学习的素材之一，教师还可以根据教学目标的要求创造性地使用教材。比如，教师可以利用第9页“猜数游戏”的形式进行情境引入，引导学生在猜数游戏中，既体会到数的大小关系，又学到一种解决问题的策略，同时自然第引入“多得多”、“少一些”等语言。。
四、怎样通过观察物体的活动发展学生的空间观念？
教材在第二单元的教学中安排了丰富的观察物体的活动，目的是通过这些活动发展学生的空间观念。
在观察活动中，可能有教师认为实物观察的课堂组织难度较大、占用时间长，为了提高效率，可以直接进行图片观察。但实际上，空间观念的形成仅靠教师的讲解和图例是远远不够的，需要学生具有丰富的感性认识和亲身的实践体验。实物观察活动利于学生发现所观察物体的形状特征，便于学生获得从不同方向（或站在相对于物体的不同位置）观察物体可能看到不同形状的直接经验。因此，需要教师指导学生结合大量的实物和图片观察活动，不断体会平面图形与立体图形之间的联系。建议教学中，教师一定要让学生亲身经历“实物观察—图片观察—形成视觉表象”的过程，并从中体会从不同方向观察物体所看到的形状可能是不同的。
需要提醒的是教师要尽量为学生提供可观察、易交流的物体，比如，被观察物体不宜太小，物体的各个部位要简明并具有显著特征。观察时，还要注意物体不要放得太高，和学生的视线最好在同一水平线上。
五、在本册测量内容中如何组织估测教学？
首先，要重视学生对1厘米、1米等表象的建立，这是估测的基础。教师要帮助学生充分感知生活中1厘米、1米等物体的长度，帮助他们对长度单位形成表象。在此基础上，教师还可以帮助学生建立一些熟悉物体的长度表象，比如铅笔盒的长度大约是多少，便于以后用他们作为标准去估测其他活动。例如教材14页量一量的（1），教学中可以不仅仅定位在熟悉用直尺测量的方法，而且可以帮助学生建立1厘米、3厘米、5厘米的表象。
其次，在开展估测的活动时，教师要对学生进行估测的指导。为作好估测指导，教师需要对教材中这部分内容的设计层次有一个清晰的认识，以便抓住关键内容组织有效教学。教材15页的第1题是开展估测活动的第一个层次——在长度单位理解的层面上进行估测。教学时，教师要引导学生先估测，之后还要注意把估测的结果与精确测量后的结果进行对比，通过“对比——再估测”进行不断的调整，以保证学生形成正确的长度表象。同时，这里形成的某些物体长度的表象，如食指宽的长度还会成为估测其它长度的一个新的参照物。教材18页第2题是开展估测活动的第二个层次——通过参照物进行的估测，通过同已知长度（门的高度）的比较，来估测其他物体的长度（小明和机灵狗的身高）教学时，教师要善于鼓励学生从身边的事物中发现素材，进行估测练习，同时教师还可以帮助学生总结这种估测方法，但不需要学生背诵。
作好估测指导，教师还要指导学生加强生活中测量经验的积累。比如，找出“身上的尺子”：一拃的长度、一步的长度等，把他们也作为标准帮助学生完成日常生活的估测任务。
六、在第三单元第28页“拔萝卜”的教学内容中，如何处理算法多样化与竖式教学之间的关系？
首先，需要明确的是算法多样化和竖式都是本单元内容的重要教学目标。如果教师感觉教学内容多，可以根据实际情况决定用2课时或者1课时完成。
算法多样化在数学课程中有着非常重要的价值，主要表现在：
第一，它体现了对课程目标的全面认识。学生在数学学习中不仅仅是获得知识和技能，还要在数学思考、解决问题、态度情感等多方面得到发展。看起来学生在观察、实验、尝试、修正等过程中花费了时间，但他们却通过独立思考与合作交流创造性地解决了问题，发展了自己解决问题的能力和创新精神；他们通过尝试过程中的逐步调整，加强了数感和估计能力；他们在检验猜想并进行修正的过程中，发展了运用数学的自信心和自我评价的能力，而所有这些都是数学课程所希望培养学生的重要目标。
第二，有益于学生对数学的理解。学生能够而且应该“发明”自己的计算策略，这种“发明”对他们的数学理解是很有帮助的。
第三，有助于教师对学生的观察。学生使用的策略也向老师显示了他们的思考方式和思维水平，这使得教师有机会反思并改进自己的教学。
第四，通过各种算法的交流，借助直观模型还可以帮助学生理解竖式。其实，在教材中呈现的四种方法，特别是前两种方法本质上与竖式是一样的，一个是用计数器的模型，一个是用口算。老师可以将这些方法进行沟通，以帮助学生更好地理解竖式的道理，比如“数位要对齐”。
竖式在这里是第一次出现，教师需要在此对竖式做适当的介绍。除了上面提到的沟通模型、口算和竖式的练习，帮助学生理解“数位要对齐”以外，教师对竖式的书写格式也要进行必要的指导。此外，熟练掌握竖式也离不开必要的练习。
七、针对教材第48页６题“比寿命”一题，学生如果提出“猫和狗一共活了多少年？”算不算对？为什么？
教学中确实存在这种现象。首先要说明的是“猫和狗一共活多少年？”这个问题显然是没有实际意义的的，而要让一年级的学生提出有实际意义、有数学价值的问题是需要教师不断引导的。如果有学生提出“猫和狗一共活多少年？”，建议教师不要马上一口否定，而要结合实际问题，引导学生进行讨论：“这个问题在实际生活中是否存在？”。在讨论的基础上，教师可以首先鼓励学生大胆提问，在此基础上告诉学生提出的实际问题应尽可能有实际意义。
八、“ 有趣的图形”这一单元的编排特点是什么？
本单元教材在编排上力图体现以下特点：
１．以动手操作为主线，注重发展学生的空间观念
无论是平面图形的引入，还是对平面图形的进一步认识，教材都设计了大量的操作活动，以使学生在操作中逐步加深对平面图形的认识，积累数学活动的经验，发展空间观念。在“认识图形”中，教材通过“从立体图形中得到平面图形”的操作活动，既引入了平面图形的学习，又使学生体会到“面在体上”。接下来，教材安排了三个“动手做”的活动，为学生创设了操作、思考和想象的空间。“动手做（一）”，通过折、剪、拼活动，鼓励学生对图形进行简单的分解和组合；“动手做（二）”，借助七巧板鼓励学生在活动中拼图；“动手做（三）”，鼓励学生欣赏和设计简单的图案。在这些操作活动中，学生将进一步认识学习的几个平面图形。
２．在实际情境中丰富学生对图形的认识
在引入学习的几个平面图形以后，教材设计了一些活动，鼓励学生在实际生活中寻找图形，丰富学生对图形的认识，发展应用意识。例如，寻找交通标志中所认识的图形，让学生说一说生活中见到过哪些物体的面是长方形、正方形、三角形和圆等。
九、如何进行教材53页“发新书”中的估算教学？
估算是一个非常有价值的学习内容，其重要性主要表现在以下几个方面：
第一，估算在日常生活中有着广泛的应用。
第二， 有利于人们事先把握运算结果的范围，并为判断计算器、口算、笔算结果是否合理提供了工具。
第三，估算是发展学生数感的重要渠道，有利于提高学生解决问题的能力。
在小学阶段估算学习主要表现在两个方面，一是估算意识的培养，二是用运用适当的方法解决问题。这是教材中第一次出现估算的内容，目的是通过估算40本新书够不够发，帮助学生体会估算的价值。因此，在这里的教学，发展学生的估算意识是首要的。教师可以通过提出问题鼓励学生进行讨论“这样的问题不精确计算出结果是否也能解决”，以使学生体会估算的价值。如果学生口算基础好不愿意估算，建议教师可以用选择题的方式，来增强估算的必要性。比如，可以通过让学生选择“是３０本够？还是４０本够？”的问题，“促使”学生选择进行估算。除此之外，我们还希望教师在实际教学中，创设能够体现估算必要性的、更好的问题情境。
在估算教学中，机械地去记住几种估算方法是无法形成估算意识的，也难以发展估算能力。所以，在估算教学中，应当多增加一些估算活动来增强学生的体验，积累学生的经验。教学中，教师还要鼓励学生说出自己估算的方法，只要能解释清楚问题，教师就要给予肯定。比如有的学生把两个数都估成20，由此得出40本够了；有的学生把一个数估成20，另一个数不变，也由此得出40本够了，这些方法都是合理的。
需要指出的是，对于估算的结果，不要求学生用“≈”来表达，也不要求用程式化的语言进行笔答，学生主要能用自己的语言表达清楚即可。
十、如何提高百以内加减法的计算技能？
掌握100以内加减法的基本计算技能是重要的，它将为后续学习奠定基础。为促进学生形成基本计算技能，加强练习是必要的，但练习要注意科学性，教师不要人为地过高要求难度和速度。
在100以内加减法教学中，为落实好教学目标需要注意以下几点：
1．加强学生对100百以内加减法算理的理解
教学中，教师要帮助学生从操作、直观模型、生活经验等多个角度理解“数位对齐、满十进一、借1后以一当十”的道理，并通过交流引导学生将操作、直观模型与数的运算建立联系，以促进学生反思，进而建构对百以内加减法算理的理解。另外在理解算理过程中，实际的操作是非常重要的。学生对算理的理解，不能仅仅是说说而已，教学时还应适当配合直观教具，通过实际的操作活动，为学生正确理解算理提供实际支撑。当然，操作的形式可以是多种多样的，可以先说后摆，先摆后说、边摆边说。
2、把握计算速度和准确度的要求
100以内加减法要求学生每分能计算3—4题左右；100以内的连加、连减、加减混合运算，只要求学生能正确计算出得数即可，没有速度要求。教师要根据这个标准合理安排练习，不能对速度和准确度做过高要求。
3．设计有效、形式多样的练习
练习的呈现方式要多种多样，而且要符合学生的认知特点，激发学生的兴趣。这就需要教师精心地准备练习。
（1）有针对性地设计练习。在学生理解算理的基础上，要通过一定的练习，帮助学生熟悉百以内加减法的方法。特别是找到本班学生容易出错的题目，进行针对性的练习。
（2）练习形式要多样。既可以设计单纯计算的题目，也可以设计一些对比性练习、改错练习、趣味游戏、探索活动、解决问题等。
（3）合理地安排练习阶段。对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；注意集中练习与分散练习相结合，在后面单元的学习中，教师也需要适当地穿插有关的练习。
十一、“购物”单元的教学要求到什么程度？
“购物”单元有两个学习目标，一是结合购物情境，认识各种面额的人民币，认识元角分及相互关系；在购物情境中进行付钱和找钱的活动，解决简单的实际问题。为了落实两个目标，需要教师结合实际购物活动或模拟购物活动，鼓励学生借助人民币的操作活动完成“算钱、付钱、找钱”的任务。
需要指出的是，有的学生由于生活经验的缺乏在本单元学习中存在困难，教师一定要把握好难度，鼓励学生在实际操作中，借助购物情境完成付钱和找钱的活动。在考试中也要控制题目的难度，不要出现复名数，也不要求学生列式。教师可以在教学本单元之前，鼓励学生与家长一起去购物，积累购物的生活经验。
十二、如何组织好“今天我当家”这样的实践活动的教学？
考虑到学生的心智发展水平和生活经验，密切联系学生的日常生活、能够亲身实践、生动有趣是实践活动的主要特征。学生通过实践活动，将初步把数学与自己的生活联系起来，了解数学在日常生活中的简单应用；将初步尝试运用数学知识解决简单的实际问题，获得一些数学活动的经验；将初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。
实践活动课的教学重在让学生在解决具体问题和对数学本身的探索中，理解、掌握和应用数学。它是以学生为主体的探索性活动，在呈现形式上不局限于单纯课内活动，可以课内外相结合。需要指出的是，不要把实践活动的教学处理为简单地计算练习，只是罗列出一些题目让学生解决，而要强调学生的实践、学生的探索。
比如，教学“今天我当家”，教材创设了“六一”儿童节要为家人包饺子的生活情境，通过运用学过的100以内数的加减法、连加、连减、加减混合运算解决生活中的问题，使学生体会到数学与生活的密切联系，同时渗透热爱劳动、关心父母的品德。为了突出实践性，教师可以事先布置学生开展调查、制定方案，在课堂中进行交流。下面是一个教学过程建议：
1）布置任务
再过一周就是“六一”儿童节了，你们打算怎样度过自己的节日？请学生说说自己的打算。在此基础上，给学生布置实践活动任务: “六一”我当家。
2) 和学生一起制定活动方案
①和爸爸、妈妈商量包饺子所需要的原料、要买的水果并做好记录。
②根据商量的结果到超市去买包饺子所需的原料、水果及饮料，做好记录，拍好照片。
③付钱，写出在买东西的过程中你发现的数学问题，完成相应的计算。
④包饺子，写出在包饺子的过程中你发现的数学问题，拍好照片。
⑤写写自己的活动体会。
3)学生实践。
4)课堂交流。
南方的孩子可能对包饺子不熟悉，教师可以做一些介绍，也可以换用当地比较熟悉的素材，达到本实践活动的教学目的。
十三、如何进行“整理与复习”的教学？
本套教材“整理与复习”改变了过去单纯是练习题的形式，它由三部分组成：第一部分是“你学到了什么”。这一栏目是让学生对学过的知识进行回顾和整理；第二部分“我的成长足迹”是让学生回顾在学习过程中的体会与进步，是学生自我评估的一种方式。建议教师平时指导学生制作成长记录，如学生自己认为优秀的作业或作品、数学日记等收入成长记录袋中，在“整理与复习”课上进行交流。第三部分是基本练习。在上述三部分中，教师要特别重视第一、第二部分的教学，鼓励学生进行反思。下面是一个可以借鉴的教学片段：
教学片断：整理与复习（一）
师：我们已经学习了四个单元的数学，你学到了什么，请同学们翻一翻书，两人互相说一说。
师：这里有几幅图，可能会帮助你回忆一下你学到了什么。（出示第一幅图）
师：你看到这幅图，你想到了什么？
生：淘气和笑笑在量身高。量身高要用尺子。
师：用尺子量物体的长度时应注意什么？请同学们用尺子量一量数学书封面的一条边的边长。
师：长度单位有哪些？用两个手指比一比，1厘米有多长，请同学们站起来，指一指1米到你身体的哪里？1米等于多少厘米？
……
师：通过这一阶段的学习，同学们都有很大进步，今天我们每人要向大家展示自己的成绩，与同学分享。可以展示“你最满意的一次作业”，你收集的“最有趣的数学问题”，说一说“你印象最深的一堂数学课”。先在小组内说一说，然后全班交流。
师：哪位同学想展示自己最满意的一次数学作业？
生1：这是我最满意的一次作业，因为我计算时很认真，都算对了，写得也很工整，老师给我印了一朵小红花。
生2：这是我用七巧板拼成的一句成语“惊弓之鸟”，这是我最满意的一个作品。
……
（老师一一的把这些作品在黑板上展示出来。）
师：谁愿意给大家说一说自己发现的一个最有趣的数学问题。
生1：昨天我和妈妈上街买东西，在乘车时发现一个数学问题：“我上车时从车上下去4人，上来5人，这时我数一数车上有13人，原来车上有几人？”我一开始计算13－5＋4＝12（人），后来我一想，……
师：对不起，现在我想打断你的发言，可以吗？（同学点头示意）同学们，他算得对吗？你还有别的方法吗？
生2：上车的比下车的多1人，那么原来车上的人一定比现在少1人，所以原来车上有12人。
师：（问生1）后来你是这样想的吗？（生1点头示意）真好，大家都很动脑筋。
生3：我也想说一个有趣的数学问题：“妈妈买来一包松子，给我抓了一把，我用眼一看，估计有40粒，然后我5个5个地数，有42粒，和我估计的差不多。
……
师：同学们能注意把所学的本领用到生活中去，解决实际问题。谁能说一说你印象最深的一节数学课。
生1：我印象最深的一节数学课是老师让我们观察玩具小汽车，我知道了从不同方向看，看到的形状不一样。我在课下经常从不同方向去看一个物体，我觉得挺有意思的。
生2：我印象最深的一节数学课是在钉子板上围图形，一根皮筋能围出这么多的图形。
……
师：还有很多同学都想展示自己的成长足迹，我们下课后在教室的后面设立一个小小的展览室，把每个同学准备的成果展览出来，大家一起分享。展览会后，把每人的成果放入自己成长记录袋中。
二年级下册
一、怎样借助分物等操作活动，帮助学生理解余数以及余数与除数之间的关系？
教师在“有余数除法”的教学中，一定要重视分物的实际操作活动，并将操作和思考相结合。具体来说：
第一，通过平均分物的操作活动引入对余数的认识
在“分苹果”活动的基础上，教材创设了“分橘子”活动，引入有余数除法。通过操作活动，学生会发现：14个橘子，每盘放4个，可以放3盘，还剩2个。建议教师重点提问学生：2个为什么不继续分了，使学生体会到继续分下去，每盘就不一样多了。平均分到最后不能再分了，就出现了余数。
通过“分苹果”、“分橘子”的操作活动，学生将进一步体会除法的意义，体验到那平均分的结果有两种：正好分完，不够分还有多余，从而体会学习余数的必要性，以及余数的意义。
第二，有余数除法竖式需要与操作活动有机结合
为了帮助学生理解有余数除法竖式每一步的含义，需要和分橘子、分小棒等操作过程联系起来。教师可以这样引导学生：“请你们把操作过程用竖式写下来，好吗？”在学生前一节中已经学习除法竖式的基础上，鼓励学生尝试写出有余数除法的竖式，并引导学生结合操作的过程说说每一步的含义。
第三，学生通过多次分物的操作活动，体会“余数一定要比除数小”
结合操作活动，学生将体会到剩下的不够再分了，从而体会“余数一定要比除数小”。
有的老师可能认为操作活动是比较“低级”的，因此总是让学生尽可能脱离操作。实际上，借助实际操作不仅仅符合小学生的认知特点；而且如果能将操作和思考有机结合的化，操作将有助于学生理解所学的内容；同时操作也是重要的解决问题的策略。
二、怎样利用第7页“租船活动”这一情境，培养学生解决问题的能力？
在本册教材中，与前几册一样，应用问题不单设章节和例题，而是结合每部分内容，选择现实的、有趣味的、富有挑战性的题材，采用多样化的呈现形式，引导学生运用所学的知识，结合生活实际来解决问题。在学习了有余数除法后，教材创设了同学们租船活动的情景，结合生活实际，运用有余数除法的有关知识解决简单的实际问题。
教学时，可以先鼓励学生说一说，从图中看到了什么？学生从图中获得了“每条船限坐4人”“每条船每时3元”的信息，还有的同学可能会发现“图上有9个人要租船”。这时，教师可以先不提出书上的问题，先让学生解决9个同学去划船，至少要租几条船？学生得出9÷4＝2（条）……1（人）后，教师组织学生讨论余下的1人怎么办。根据“每条船限坐4人”的条件，结合生活经验，学生将得到至少要租3条船。然后再解决书上的问题“21个同学去划船，至少要租几条船？”可以让学生独立列式解决，并在小组内说一说自己的想法。在讨论第（2）个问题“你认为怎样分配合理？”时，可以让学生用小棒或其他学具摆出分配方案。如，把4根小棒放一堆，表示每条船限坐4人，21人摆了5堆，还剩1人。可以把剩下的1人放在第6条船里，但实际生活中人人往往不这样。因此，需要调整各船上的人数，调整后的方案可以多样化，只要合理就可以。如，从第5条船上抽出1人到第6条船上，那就是4人、4人、4人、4人、3人、2人。还可以再从第4条船上抽出1人到第6条船上，那就是4人、4人、4人、3人、3人、3人。只要求学生用小棒摆出分配方案就可以了。
试一试中的“每时租金3元，10元钱最多划几时？”。列出除法算式10÷3＝3（时）……1（元）后，鼓励学生联系生活实际，思考剩下的1元能不能再划1时，显然是不能的，因此，10元钱最多划3时。
需要指出的是，学生在实际问题中，对结果“进”与“舍”的时候会存在困难，这时可以通过模拟操作和生活经验等帮助学生体会。
三、怎样在具体情境中，使学生体会到混合运算要遵循一定的顺序？
第二单元“混合运算”是在学生学习了加、减、乘、除法的基础上进行的，包括乘加、乘减、除加、除减以及带有小括号的混合运算，以及在实际问题中的综合应用。教材是通过具体情景，使学生体会到混合运算要遵循一定的顺序，以及在计算时怎样运用这些顺序。
首先，教材创设了“小熊购物”这样一个问题情境。在解答“小熊要买4个面包和1瓶饮料，需付多少钱”时，需要两个算式才能得出结果，当把两个算式合在一起时就要遵循一定的运算顺序。结合解决问题的过程，是先算出4个面包多少钱，再求4个面包和一瓶饮料一共多少钱，因此，要先算乘，再算加。又如，教材创设了“过河”的情景通过“河岸上有男生29人，女生25人，每条船限坐9人，需要几条船？”问题的解决。要先算出岸上一共有多少人，29＋25＝54（人）再求需要几条船。54÷9＝6（条），当把两个算式合在一起时，29＋25÷9，按照前面所学的运算顺序，是先算除，再算加，这就要请小括号来帮忙。
有一部分老师反映，这部分内容难点过于集中，要学习两步计算的应用题、怎样把分步列式合并为综合算式、怎样计算混合运算等三部分内容。需要指出的是，关于应用问题，本套教材在不要求学生列综合算式，学生分步列式即可。对于运算顺序和应用问题，老师可以根据本班学生的实际情况采取单元教学设计，在每一节课中侧重某一方面。如果学生对某节课应用问题的数量关系比较熟悉，就可以把重点放在熟悉运算顺序上；如果学生对应用问题的数量关系比较陌生，就应把重点放在这方面上。
四、“生活中的大数”这个单元，教材怎样帮助学生感受“千”“万”的实际意义？
1．通过实际操作，引导学生认识“千”、“万”
认识“千”“万”两个新的计数单位时，教材安排了数小正方体活动。“一个一个地数，数10次是10个”“每10个是一排，一排一排地数，10排是100个”“每100个是一层，数10层是一千个”“一千一千地数，10个一千是一万”。这个活动不仅使学生对千、万有直观的感受，同时还有利于学生理解计数单位之间的十进关系。
教学时应鼓励学生通过学具操作，并将操作、思考、想象相结合。比如，有的学校没有那么多的小正方体学具，教师可以首先鼓励学生观察教材29页最上面的图，鼓励学生想像有多少个小正方体，然后借助教具把这个立体模型一层层分离，从而认识计数单位的关系。
2.借助生活中的情境，帮助学生感受“千”、“万”的实际意义
教材安排了说一说活动，笑笑问：“一本书大约有1000页，10本这样的书大约有多少页 ”淘气问：“我校大约有学生一千人，像10所这样的学校大约有多少人？”。目的是鼓励学生借助身边熟悉的实物，感受大数的实际意义。
3.认识数位顺序表，帮助学生认识千、万的进位关系
在1，2的基础上，教材安排了认识万以内数位顺序表的内容，帮助学生进一步理解万以内计数单位及其之间的关系。
五、怎样培养学生对大数的估计能力？结合41页“有多少片树叶”，怎么设计这样的实践活动？
在一年级的学习中，学生已经对一些数目较小的事物进行了估计，如抓一把小棒估计有多少根等。本实践活动要求学生先估计有多少片树叶，再具体地数一数。二年级学生对这种数量较多的事物估计起来还有一定的难度，所以可结合现实生活安排一些生活中需要估计的素材，按从易到难的坡度进行设计，引导学生逐步体会估计的方法，也使学生体会估计在现实生活中的广泛应用。
比如可以先让学生谈谈在日常生活中哪些地方会遇到需要估计的问题。对二年级的学生来讲，平时很少能想到用估计的方法来解决问题。教师可以自己寻找一些素材，和学生一起交流，让学生感到确实必要性学习估计。
在此基础上，请学生估计书上的树叶有多少片。学生可能会想到的方法:①数数每行15片，2行就有30片，上面有7个2行，再加下面一行大约是220多片。②用同样大的正方形将这些树叶分别圈起来，看一个正方形内有多少片树叶。比如可以将它的一大部分平均分成四份，数其中的一份是50片，4份是200片，再加剩下的大约是220多片。
因树叶排列太整齐，所以多数学生会说到精确值，因此，最后可让学生在报纸上找一篇文章估计有多少字，使学生加深体会估计的作用。
六、如何提高“万以内加减法”运算技能？
探索并掌握整十、整百数的加减的口算及三位数加减法的计算方法，能正确地进行计算并解决一些简单的实际问题，是这部分内容学习的重要目标之一。如何提高万以内加减法的基本运算技能呢
首先要让学生在已经掌握百以内数加减法的基础上，自主探索三位数加减法的计算方法,理解运算的道理。教材创设了“买电器”、“回收废电池”、“小小图书馆”等情境，鼓励学生从现实情境中发现问题、解决问题。由于学生的生活背景、知识经验、思考问题的角度不同，学生进行三位数加减法计算时，所使用的方法可能不同。教材除了提供用计数器“拨一拨”和用竖式“算一算”外，还利用直观模型，通过数形结合来帮助学生理解“数位要对齐，满十进一和退一作十”的计算方法的道理。
第二，根据数学课程标准的要求，三位数加减法笔算每分钟1—2题，教学时要根据这个标准鼓励学生逐步达到，不要对速度提出过高要求。
第三，三位数加减法数目比较大，计算时容易发生错误，教材安排了有关验算的内容，培养学生的验算意识和习惯
教材“小小图书馆（三位数笔算减法）”一节中安排“想一想”活动，结合生活情境（买鞋找钱）引导学生探索减法的验算方法，使学生体会验算的重要性，养成对自己的结果负责的习惯。需要指出的是，对于验算最重要的是培养学生的验算意识，学生可以用逆运算来进行验算，也可以通过用别的方法再算一遍进行验算。
第四，教材在每部分计算内容中安排了“森林医生”、趣味游戏等形式多样的练习，这些练习形式将有助于学生正确地进行计算。例如，“小小图书馆”中，把学生在三位数加减法计算中容易产生的错误列举出来，让学生当“森林医生”——啄木鸟，找出错误原因，并进行改正。教师可以根据本班的情况，收集本班学生的计算错误，由学生自己当“森林医生”来改正。同时引导学生不仅能治病，而且要防病，总结产生错误。
第五，合理地安排练习阶段。对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；注意集中练习与分散练习相结合，在后面单元的学习中，教师也需要适当地穿插有关的练习。
七、教材如何帮助学生认识抽象的“角”？
角是一个抽象的图形，小学阶段学习角主要是为了学习构成平面图形的一个基本要素。由于角的抽象性，学生在认识角中存在着比较大的困难和大误区，比如把生活中的桌角等和抽象的角混淆；比如把角看成一个区域，所以就感觉画出的角“包含”的区域的面积大，角就大。鉴于此，建立数学中“角”的正确表象是本内容学习的重要目标。
为了帮助学生建立角的正确表象，教材首先突出了从生活情境中“抽象”出角的过程。在三幅图中，既有画出来的两边一样长的情形，也有画出来的两边不一样长的情形。教师还可以举一些画出来的两边不一样长的情形，以免学生认为角的两边都必须画得一样长。在此基础上，教材安排了摆角的活动，目的有两个：第一，由于用两个小棒来摆角，有利于学生认识到角是由一个顶点和两个边组成的，使角与角所“包含”的区域剥离。第二，通过学生自己摆角，可以暴露出学生的错误认识，便于教师帮助学生澄清。然后，教材设计了认一认的活动，帮助学生建立角的正确表象。教师可以鼓励学生画出角，并进一步认识组成角的顶点和边。
需要指出的是，本册教材是对角的初步认识，学生能够辨认出角，知道角的有一个顶点、两条边，并能正确指出顶点、边即可。关于角的定义和进一步认识在四年级还要学习。
8、 怎么在“长方形与正方形”这一节课中积累探索图形特征的经验？
本节课的主要教学目标是让学生通过操作、比较、归纳，能够用自己的语言描述长方形、正方形的特征。在这节课的学习中，学生除了要能描述长方形和正方形的特征外，还需要积累探索图形特征的经验。教师可以从以下几个方面帮助学生积累经验：
第一，教师可以首先让学生观察，猜一猜长方形和正方形的特征有哪些。这时，教师要引导学生可以从边和角两个角度来猜测图形特征。对于边，我们会发现什么；对于边，我们会发现什么。
第二，对于学生猜测出来的结论。教师可以引导学生讨论研究的方法，比如从边来研究，学生可以用尺子量，或用对折的方法发现长方形的对边相等、正方形的四条边相等；从角来研究，学生可以通过直角三角板量一量，发现长方形、正方形的四个角都是直角。
第三，教师一定要重视学生操作后的反思活动。反思刻画图形的角度、验证图形性质的方法，以及观察猜想——操作验证的过程。并且指出在探索其他图形的特征时，也可以用同样的研究思路和方法。
三年级下册
一、三年级下册“小数加减法”与四年级下册“小数加减法”的定位有什么区别？
三年级下册的小数加减法限制在元、角、分背景下，把元、角、分作为一种生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写，一位小数的大小比较、计算等。四年级下册的小数则脱离了元、角、分的背景，从具体生活原型中抽象出小数的意义。
之所以选择“元、角、分”这样一个情境学习小数，首先，由于购物情境非常接近学生的生活实际，能够为学生学习小数建立一个熟悉的生活原型，这有助于学生认识小数，有助于学生体会小数与现实生活联系；其次，人民币为学生提供了认识小数的一种直观模型。换钱等活动（包括模拟的换钱活动）为学生提供了可直观操作的机会，它对学生理解小数加减法的算理有很大的支持作用。
以上说明也解释了“本教材为什么不把小数的认识放在分数之后学习？”的困惑。传统教材之所以把小数的认识放到分数之后，其主要目的是让学生在分数基础上学习小数，即借助分数与小数的关系来引入小数。这是学习小数的一条思路，但如今学生通过“元、角、分和小数”这个熟悉而又直观的原型认识小数后，就不必放到分数后学习了。而到了四年级，学生已经学习了分数的初步认识，在此基础上学生就可以进一步学习小数的意义了。
此外，在本单元的教学中，有的老师提出：是否应该让学生知道小数不仅表示元、角、分，还可以表示长度、质量等。
确实在一个概念的学习中，通过多个例子从不同角度引入是有价值的。但本单元只是初步认识小数，而这个阶段的学生对于长度、质量等本身的理解还是比较困难的，因为他们缺乏相应的生活经验。借助更难的例子来认识一个不是很复杂的内容并不利于概念的学习，所以，教材还是选择了从“元、角、分和小数”这一学生最为熟悉的素材入手认识小数。需要提醒老师注意的是，教材在《森林旅游》一课的“实践活动”这个小栏目，对长度、质量背景下认识小数有一点渗透，不过这里只是让学生稍作了解，教师不必要求学生解释其意义。到了四年级下册，将学习小数的意义，那时会把小数拓展到长度、质量等其它情境。
二、对称、平移和旋转这一单元的教学定位是什么？怎样区分生活中的对称、平移和旋转现象？
本单元把平移、旋转与轴对称等作为学习内容，从运动变化的角度来认识“空间与图形”。发展学生的空间观念是本单元教学活动的重中之重，因此建议课堂教学尽可能体现：通过学生身边丰富、有趣的实例，让学生充分感知平移、旋转和轴对称等现象；在动手操作中，体验图形变换，发展空间观念；在方格纸上做一些简单的作图，欣赏并设计一些图案。
教材虽然强调在现实情境中，帮助学生体会轴对称、平移和旋转现象，但需要注意的是，实际生活中的现象往往很复杂，我们在学习轴对称、平移和旋转现象时可以借助现实情境帮助理解，但不宜对实际生活中的现象做过多讨论，尤其注意不要在考试中出一些复杂的实际生活中的现象让学生来判断。在这里，我们主要学习的是平面图形的轴对称、平移和旋转。练习基本上也都是基于方格纸上的轴对称、平移和旋转运动。
在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念——
在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，也叫做合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。
全等变换有几种方式。我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。上面的变换就是平移、旋转和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换也叫做轴对称变换，即一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形成轴对称。
具体的什么叫“平移”、“旋转”和“反射”，我们不给出数学上严格的定义，在此直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。
如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。可以看出，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。
如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。可以看出，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。
如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。
再来看学生问过的例子，比如说摩天轮的转动，它看起来既像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为什么这么说呢？因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如把人抽象成一个点的话，似乎能够看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯地讨论一个点的运动没有多大意义，实际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又发现它不是一个旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能够通过平移得到，这是有道理的。总之，这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨论这个问题。又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成一个整体，又可以把它看成一种压缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。再如荡秋千、钟的摆动，如果把秋千和钟摆抽象成平面图形或点，可以看成是平面图形的旋转，当然，我们不考虑荡秋千的人在荡秋千时的形体变化。但无论如何，这些现象让小学生来讨论都太过复杂。对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，就可以了。
所以，在学习的开始，教师应该鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。当学生有了经验以后，可以尽快的进入到图形的变换的讨论中。
三、判断轴对称时，到底是研究图形轴对称还是研究图案轴对称？
不少老师提出这样的疑问，在判断轴对称时，是否要考虑图形内部的图案。举一个例子，如下面的交通标志，如果只看外部轮廓，无疑是轴对称的；如果考虑内部的图案，就不是轴对称了。
解决这个问题，教师首先需要明确的是，这类题目的目的是考察学生是否认识轴对称，能否正确进行判断，而不是考察学生对什么是图形或图案的理解。所以，不要考这些容易产生歧义的内容，在教学或考试中，首先应向学生指名判断时是否考虑图形内部的图案，然后再鼓励学生判断。例如，对于上面的交通标志，如果考虑内部图案的话，显然不是轴对称的；如果我们只考虑外部轮廓的化，正方形和圆显然是轴对称的。
四、“在方格纸上画出平移后的图形”难度较大，教师应怎样给学生提供帮助？
画图时，特别是需要学生数出平移后的格数时，学生常常会出错。解决这个问题的最好的办法是多操作。比如，让学生先剪一个与要平移的图形大小一样的硬纸片，在方格纸上按要求平移，再在方格纸上描出来。然后引导学生观察一个点或一条边是怎样按要求平移的。在操作的过程中，教师引导学生抓住一些关键点是非常重要的。一般来说，经过多次的操作，学生慢慢地就体会到了数格、找点的方法，画图的难点也就会得到突破。必要的时候，教师还可以“放慢”平移的过程，平移1格后让学生观察图形位置的变化、平移2格后、平移3格后……
五、在“旅游中的数学”设计旅游计划的任务时需要注意什么？
“旅游中的数学”是一个实践活动，实践活动一般需要通过课内外相结合的方式来完成，同时需要通过小组合作的方式。
“旅游中的数学”是由三部分组成的系列实践活动。在“租车”的活动中，通过解决40人如何安排车辆的问题，渗透列表解决问题的策略。在“用餐”活动中，通过搭配快餐，让学生懂得合理选择的重要性。同时，通过计算用餐的费用，复习并应用小数的加减法。在“旅游计划”中，通过让学生了解旅游路线、景点、费用等活动，提高他们收集数据与处理数据的能力。
教学时，可以根据教材呈现的内容，先安排“租车”活动，让学生解决租车的问题，可以引导学生根据车辆的情况与旅游的人数，在表格中一一列出所有可能的租车方案。本活动最省钱的策略是车的座位尽可能坐满，如果不可能坐满，空位必须尽可能少。在开展“用餐”的活动时，可以先由学生独立地进行选择，分别计算用餐的费用，然后开展交流活动。在交流过程中，教师应引导学生合理搭配，就菜的荤素搭配、主食搭配开展讨论。同时，也应培养学生节约的习惯。
“旅游计划”的制定是一项开放性的活动，在开展本活动之前，学生应先了解旅游的景点、路线、时间、费用等数据，为此，教师可以鼓励学生在网上或电话咨询旅行社为学生搜集一些相关的信息。对于广大农村学生，也可以通过询问家长等方式，了解有关信息。对收集的数据，每个小组可以根据大多数学生的意见，集体制定一份旅游计划，并在全班交流。为了提高学生设计的积极性，教师也可以组织学生评选“最受欢迎的旅游计划”。有条件的学校，可以结合学校的春游活动，实施学生的最佳设计计划。
旅游方案的设计是一项非常有价值的学习活动。可能完成这个任务对学生来讲具有一定的挑战性，不过通过合作学习一般是可以完成任务的。当然在这个学习过程中，我们非常希望通过课内外的结合帮助学生获得多信息的方面，因为这无论是对学生解决问题，还是开阔学生的眼界都是有好处的。
六、在学习“什么是面积”时，让学生拿硬币、小方块等来比较面积的大小有什么价值？
在初步认识面积后，教材呈现了一个正方形与长方形，并请他们比一比两个图形面积的大小。由于不能直接判断这两个图形面积的大小，所以学生必须想办法进行比较。教材中呈现的四种方法是从不同的角度说明学生可能采用的方法：一是将两个图形重叠后，再进行剪拼；二是利用硬币摆一摆、数一数；三是用小方块摆一摆；四是画格子再数数的方法。当然，这些方法仅仅是一种教学的提示，而实际教学中教师需要根据学生的探索来进行。
无论是用硬币、小方块、画格子，或者有的学生可能会想到用橡皮摆，其共同点就是用一个“单位”去量，这正是度量的含义。所以，鼓励学生用多种策略去比较面积的大小，不仅体现了解决问题策略多样化，也有助于学生体会度量的含义。进一步，教材设计“你觉得哪种方法更好些呢？”的问题，目的是让学生初步感知在多种方法中用正方形进行测量和比较的优点，从而为后面学习面积单位做好铺垫。
七、1千米 和1000米 有什么区别？
1千米 和1000米 咋看起来似乎有相似之处，但实际上它们表示的是两个大小完全不同的面积。
我们通过举例来说明这个问题，比如就正方形的面积来说，1千米 ，是指边长为1千米（1000米）的正方形面积；1000米 是指1000个变成为1米的正方形的面积之和。
如果进行换算的话，1千米 ＝1000×1000＝1000000米 。显然，1000000米 远远大于1000米 ，是它的1000倍。。
在读法它们也是有区别的，1千米 读作“一平方千米”，1000米 读作“一千平方米”。
八、本教材中分数的引入的特点是什么？
分数被安排在两个学段中进行学习。本单元学习的内容是初步认识分数，而在五年级，学生将进一步认识分数的意义。
根据三年级学生思维发展和生活经验的特点，教材从学生熟悉的、并且能够实际操作的分物情境引入分数。一个苹果平均分给两个人，每人分多少？怎样表示呢？鼓励学生讨论用什么方式来表示“一半”。这个讨论过程，一方面可以使学生意识到原来学过的数不够用了，感到学习新知识的必要性；另一方面可以鼓励学生发挥想象，大胆创造表示“一半”的方法。学生可以画图来表示，也可以发明自己的符号来表示。在此基础上，再引入“一半可以用1/2来表示”。这实际上鼓励学生经历了从运用自己的符号表示到运用数学符号进行表示的过程。
进而，教师安排了分别涂出一些图形的1/2，不仅有利于学生借助几何模型体会分数的意义，并且学生将感受到1/2不仅可以表示半个苹果，还可以表示许多事物的“一半”，感受数学符号的作用。
“分一分（二）”的主要内容是感受可以用分数表示由多个给踢组成的整体中的若干份。这种分数“整体”意义的拓展，更多突出了分数的实质——部分和整体的关系。
九、教材第73页“猜一猜”一课教学目标之一是让学生体会事件发生的可能性有大有小，但有些学生在“抛图钉”的实验中，出现两种图钉落地情况的频率大致相等的结果是怎么回事？怎样保证这个试验结果的有效性？
“抛图钉”的试验活动中，对学生有两个学习要求，一是要求学生能够列出所有可能发生的结果，二是体会事件发生的可能性是有大小的。“抛图钉”的试验活动包括以下过程：一是每个学生独立做“抛图钉”的试验，并如实记录试验结果；二是组织全班学生汇总试验结果，如果班级学生人数较多，可以先作小组汇总，再进行全班汇总；三是让学生通过试验数据，体验、发现这个试验可能有两种结果，并得出“结果发生的可能性有大有小”。
实际上，从一定高度掷一枚图钉，落地后一般会出现“钉尖朝上”和“钉尖朝下”两种结果（如图）。
钉尖朝上 钉尖朝下
一般情况下，钉尖朝上的可能性会大一些。为了说明，这里附上2003年北京市某学校高一（5）班学生做的试验要求及结果，以供参考。
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出现“钉尖朝上”的频率变化情况。
（1） 每人手捏一枚图钉的钉尖，钉帽在下，从1.2米的高度让图钉自由下落。
（2） 重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。
下面是汇总六位同学的数据后画出来的频率图。
从上图中我们可以看出，随着实验次数的增加，钉尖朝上的频率稳定在0.6。当然，这个结果与抛图钉时的初始高度有关，同时选用的图钉应与教材上的相符。
但是，即便方法得当，由于事件发生的不确定性，和学生个人试验次数过少等原因，也可能会出现“抛图钉”后两种结果大致相等的情况。就此，对教师有两个建议：一是建议教师累计全班学生的试验数据，以尽量减少由随机性带来的误差；二是教师可以呈现上面的结果，说明一般情况下两种结果的可能性是不一样的。
还需要说明的是，本课的目的主要是让学生通过这个过程，体会事件发生的不确定性，所以不必追求要得出与前面试验相同的结果。
四年级下册
一、三下小数的初步认识与四下小数的认识在定位有什么区别？
三年级下册的小数的初步认识限制在元、角、分背景下，把元、角、分作为一种生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写和一位小数的大小比较等。四年级下册的小数加减法内容则是脱离元、角、分背景，从实际情境的数量中抽象出小数的意义，进行小数的比较大小。
本册小数的认识是在三年级下册“元、角、分与小数”及“分数的初步认识”基础上进行的，包括“小数的意义”“测量活动”“比大小”等内容。“小数的意义”把小数的认识范围扩大，不仅几元几角几分以“元”为单位可以用小数表示，生活中很多事物都可以用小数表示。通过对这些例子的讨论，使学生体会小数与现实生活的密切联系。然后，借助直观模型使学生体会到小数与十进分数之间的关系，并通过计数器介绍小数部分的数位名称及数位的相互关系，使学生进一步理解小数的意义。“测量活动”的目的是使学生加深对小数的理解，并能进行简单的复名数与单名数之间的转化。“比大小”通过演讲比赛选手的得分情况，学习如何比较小数的大小。
二、第二单元认识图形中为什么要首先安排“图形的分类”内容？
教材安排这个内容，主要是出于对图形分类价值的重视。图形分类在数学中非常重要，通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识教学中，教师应重视图形分类的价值。
传统教学中，教师往往是学完图形以后，在复习整理阶段进行图形分类活动，当然这也是非常有意义的。但实际上，在图形性质探索的初始阶段，安排图形分类的活动，鼓励学生通过对图形尝试进行分类的过程来关注图形的边、角等特征，也是非常重要的。比如，在本课内容中，教材首先提供了需要学生分类的直观图形，学生可以在“分一分”中对学过的图形逐步进行整理；然后，对每一次的分类结果，让学生说一说分类的标准，学生表达、交流分类标准的过程，即是体会图形特征的过程。同时，在分类、比较中学习认识图形，对图形之间的联系也有了更深刻的理解。
教材中给出了一个分类的标准：第一次，按照平面和立体图形来分类；第二次，对于平面图形，按照组成图形的是否有曲线来分类；第三次，对于直边形，学生可以按照边数的多少进行分类，分成三边形和四边形。在实际学习中，学生的分类标准可能与教材不一样。一方面，教师应鼓励学生讨论这些标准是否合理，以及在这些标准下学生的分类结果是否正确；另一方面，教师可以鼓励学生思考教材中的分类标准是什么。
三、由于操作误差，学生在实验结果中出现“三角形两边之和等于第三边”怎么办？
在三角形三边关系的教学中，许多老师设计了探索什么样的小棒可以搭成三角形的活动。在这个活动中，由于操作中存在着误差（比如小棒的粗细，学生的实验结果可能会出现两边之和等于第三边的情况，也就是用类似4，5，9的小棒“搭成”了三角形。这时，教师可以引发学生进行讨论，并引导学生进行简单地推理。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。在出现两边之和等于第三边时，我有的学生可以用非常形象的语言推理出其不合理性，比如有学生会说：4+5=9，9与9都平行（重合）了，所以，拼不成了三角形。进一步，教师可以鼓励学生由“两边之间线段最短”推导出“两边之和大于第三边”。
有专家曾提供过这样一个教学“两边之和大于第三边”的思路：首先通过具体情境使学生认识到“两点之间线段最短”，然后画出两个点，两点之间画一条线段和若干条折线。实际上，折线与两点之间的线段就形成了一个一个的三角形。接着鼓励学生思考，如果把它们看成一个个三角形的话，你能发现什么？即“两边之和大于第三边”。
当然，这个推导过程不作为基本要求，但是鼓励学生将操作与推理相结合的思路是重要的。当然，有的老师利用课件来动态地演示当两边之和等于第三边时，就重合搭不成三角形的过程，也是非常好的。
四、在小数乘法单元安排42页“街心广场”一课的目的是什么？
与以往教材分为小数乘以整数、整数乘以小数、小数乘以小数的小步子教学的体系不同，教材在设计小数乘法的内容时突出转化思想，即如何将未知的小数乘法问题转化为已学过的整数乘法问题，紧扣“如何确定积的小数点的位置”，引导学生发现规律。为此，教材专门安排了“小数点搬家”，引导学生观察、比较三次不同的标价，它们都有数字“４”，但小数点的位置不同，小数的大小就不同；然后借助元、角、分的关系，让学生了解小数点向左移动时小数的大小如何变化；在此基础上，再推想小数点向右移动时小数的大小如何变化，并加以验证。在“街心广场”中，通过计算广场的面积、花坛的面积、地砖的面积，观察三个长方形的长、宽和面积之间的关系，使学生初步体会到小数乘法可以转化为整数乘法的方法计算，再来确定积的小数点的位置。学生可以从不同的角度探索地砖的面积：可以从前两个整数乘法算式的得数，推想出小数乘法的得数；也可以通过单位名称的转换推出得数。教材还提供了“试一试”“填一填”等素材，使学生归纳出两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数的规律。这样就解决了计算小数乘法的关键问题，帮助学生掌握了一般的方法，为后面的学习打下了基础。
五、怎样突破小数除法的教学难点？
在小数除法的计算中容易出错是一个普遍存在的问题，对此老师们大多从提高练习量和如何纠错等角度来思考克服这个问题的办法。下面的内容提供了另外的思考角度，希望能给大家以启发。
除数是小数的除法难就难在小数点的处理上。教学时我们发现，学生不能有意识地结合除法的意义思考解决问题的办法。帮助学生克服这一难点，教学时不仅要解决“怎么算”的问题，还要从一般意义上对“为什么可以这样算”进行解释。因此，我们需要思考以下两个问题：
1、商不变的规律：是直接应用，还是理解拓展？
学生在四年级上学期学习“商不变的规律”时，是在整数范围内建构这一知识的，现在扩展到了小数范围，它是否适用于小数？有必要加以说明。将整数除法运算扩展到小数，并不像加法和减法的扩展那么直接。为什么学生会常常搞错小数点的位置，为什么有的学生当时学的时候会了，过一段时间又错？其中一个很重要的原因是没有真正理解。所以，教师必须明确：此时的商不变规律存在着理解层次更深、应用范围更广的问题，教师应该引导学生打通这一知识关节。
教材设计时，十分注重借助直观模型帮助学生理解数的运算的意义、算理，许多教师反映效果明显。在这里，可继续借助直观模型，使学生体会把除数是小数的除法转化成前面学过的除数是整数的除法。算理通了，算法也就好掌握了。同时，学生即使忘记了商不变规律，也能正确解决问题。另外，算理的理解也能帮助学生更好地记忆商不变规律。因此，教学时可采取以下对策：分散难点，两步走：一是解决为什么算，二是解决怎样算。
2、生活背景：是教师提供，还是学生主动联系？
将“解决问题”与“运算”紧密结合是教材编排的一大特点。学生从一年级起至现在，一直没有脱离过实际生活情境来学习计算。然而一个令人尴尬的事实是，当我们的学生独立面对一个新问题时，能自觉联想到生活经验解决问题的人数极少。显然，这与小学生考虑问题不够周全的年龄特点有关，另一方面我们平时的教学是不是也存在问题？我们的教学中，教师主动“给”的是否还是太多了？生活背景都是教师提前预置好的，当学生解决问题时就会从中获得某种暗示来联系生活背景思考。尽管这样学生有了联系生活背景思考的体验，但这种联系并不能转化成学生解决问题时的主动选择，那么这与教师没有督促学生自主建立起算式和生活背景的联结有密切关系。所以，我们可适当尝试这样的设计：先不提供支撑数学问题的现实背景，让学生直接面对一个算式，看看他们能否主动联系现实的背景解决问题，当学生实在想不出的时候再给。把现成的东西给他，与让他意识到这个问题的重要性后再有意识地去提取是有区别的。
课程标准中关于应用意识的阐述中有一句话：面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。也就是说，学生看到一个算式，应该首先想到：这个算式表示什么意思？联系算式的意义来思考从哪些方面解决问题。同时还应想到：解决生活中什么问题时需要用到这个算式？这个问题怎么解决？所以，如何让联系生活背景而思考问题成为学生的主动选择，是数学教学必须承担的一个培养任务。在此基础上，再跟进一定量的形式多样的练习，帮助学生巩固知识。
摘自《小学教学》数学版第9期“让知识成为学生真正的营养”作者张红
六、“观察物体”单元，学生没有去过天安门广场，如何进行“天安门广场”的教学？
在“天安门广场”一节中，教材提供了一些照片（或画面），旨在让学生了解情境中各物体的相对位置，然后再观察从其他位置拍摄（或看到）同一情境的照片（或画面），判断这些照片（或画面）分别是从什么位置拍摄（或看到）的。选择以上的学习内容，主要目的是为了发展学生的空间观念。
教学时，建议教师首先引导学生理解学习的任务，认真观察所提供的照片或画面，先看懂图中各个拍摄位置与天安门广场中主要建筑物（人民英雄纪念碑或毛主席纪念堂）的相对位置关系，再进行想象和推理，做出正确的判断。由于大多数学生没有到天安门广场观察的机会，确定照片拍摄的位置就需要学生根据提供的画面进行充分的想象。如果学生想象有困难，可以用模拟的方式，让学生摆一摆，帮助学生认清图中各建筑物间的相对位置关系，再进行想象、推理与判断。有条件的学校也可以结合当地的场景，组织学生在校外活动中进行观察，以拓展他们观察的视野，获得观察物体的体验，发展空间观念。老师还可以根据当地实际，创造性使用教材，鼓励学生观察当地的某地点，通过观察连续拍摄到的某地点的一组照片，能够判断照片拍摄的前后顺序。
七、教材第88页为什么要用这么多的情境引入方程？
方程是刻画现实世界等量关系的一个有效的数学模型，因此，首先应让学生了解现实生活中存在着很多的等量关系。如，利用天平平衡来找出“药丸的质量＋5=10”的等量关系，利用盘秤来找出“每块月饼的质量×4=380”的等量关系，还有一壶水倒成两热水瓶多200毫升，找出“两个热水瓶的盛水量＋200=2000”的等量关系，接着，用含有字母的等式表示这些等量关系。通过对多个实例的讨论，引导学生找出这些含有未知数的等式的共同特点，并用自己的语言进行描述，在此基础上，帮助学生概括出“像上面这样含有未知数的等式叫方程。”
教学时，教师要让学生自己从图中获取信息，发现等量关系并用自己的语言加以表述，然后尝试用含有字母的等式表示各个等量关系。
需要注意的是，方程意义的学习重要的是体会方程作为刻画等量关系的模型的作用，在建立方程概念的教学中，教师应引导学生能够理解实际问题中各个量的意义，分析其蕴含的数量关系，从而寻找等量关系。千万不要在方程定义上去作一些文章，例如判断x=5+3、、x=1、x-x=0等算式是不是方程。所谓要“淡化形式、注重实质”。
五年级下册
一、整数乘以分数与分数乘以整数的意义是否相同？
有老师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘以整数，一个数的几分之几则用整数乘以分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个是多少，是用整数乘以分数来列式，这样是不是表明整数乘以分数与分数乘以整数的意义相同呢？
这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，本套教材中没有区分乘数和被乘数。例如在整数乘法的运算中，算式“4×6”既可以表示6个4相加，又可以表示4个6相加，即在不涉及具体问题情境下，可以代表两个意义，4×6＝6+6+6+6或4×6=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来，6+6+6+6既可以写成4×6，也可以写成6×4。而4+4+4+4+4+4既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中，不同的算式有时表示不同的含义,比如“有6个小朋友，每人有4支铅笔，一共有多少支铅笔？”，4×6只代表6个4相加，当然这个实际问题也可以列出算式“6×4”。
在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。
教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。
在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。
需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。
在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：
事实上，面对用情景图或文字表达的实际问题，如：
共 ？只
或 “每袋有6只桔子，4袋一共有几只桔子？”
学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6只桔子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高……以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。
二、如何把握“展开与折叠”的教学要求？
教材第16页安排这一内容的主要目的是通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
这部分内容对学生的空间观念要求比高，有些学生会感到困难，建议教师充分利用教材附页中的材料，帮助学生操作、思考、判断，逐步发展学生的空间观念。教师还可以让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状，由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。虽然不要求学生掌握多种剪开的方法，但教师应借助这些展开图引导学生进行交流，发展学生的空间观念。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，这时教师可以适当地进行指导。教学过程中，在实物操作的基础上，教师要引导学生“闭上眼睛想象实物展开或折叠的过程”，促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。
需要注意的是，在教学中有的教师给出了十一种展开图，并让学生总结、记忆十一种图形的特点，用以判断什么样的图形能折叠后围成正方体，什么样的图形不能围成正方体。对此我们认为要求过高，因为这里展开图只是用于发展学生空间观念的载体。在学生交流时，可以通过展示多种展开图让学生观察，但不宜让学生作为知识点来记忆。因为形式化地记忆、识别并不能真正起到发展学生空间观念的作用。
三、为什么把体积和容积的内容放在一起学习？
教材第41页，将体积和容积放在一起来学习，这样安排主要基于以下理由：
首先，容积是容器所能容纳物体的体积，从本质上说，容积和体积是一样的，只是应用的地方不一样。我们在学习概念时，要把握概念的本质特征。
其次，学生根据生活经验能够意识到，我们周围的物体是有大小的，同时也是占有一定空间的。例如，学生在生活中可能会判断一个食品袋能否装得下五个苹果，在这个判断的过程中自然就有朴素的对苹果体积和食品袋容积的体会。所以，学生借助生活经验会很容易地把体积和容积联系在一起。
因此，两个内容一起学习有助于学生体会容积和体积的本质，我们希望教师在二者的共同点上下功夫，不要让学生在二者的区别上耗费精力。
四、平均数、中位数和众数的区别和联系是什么？
平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。
当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。
需要指出的是，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的（如下图）。
只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。
除了需要刻画平均水平的统计量，统计中还有刻画数据波动情况的统计量。比如，平均数同样是5，它所代表的数据可能是1、3、5、7、9，可能是4、4.5、5、5.5、6。也就是说5所代表的不同组数据的波动情况是不一样的。怎样刻画数据的波动情况呢？很自然的想法就是用最大值减最小值，即求一组数据的极差。数学中还有方差、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然这些都是教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学的教学要求。
六年级下册
一、六年级学习圆柱、圆锥比一年级有哪些发展？
对于圆柱和圆锥，学生在一年级已经能够直观辨认，此时学习圆柱和圆锥，学生将主要从一下三方面进一步加深认识：
第1， 从“静态”到“动态”，即由平面图形经过旋转形成几何体。这不仅是对几何体形成过程的学习，同时让学生体会面和体的关系也是发展空间观念的重要途径，这也是教材将本课的题目定为“面的旋转”的原因。
第二，从“整体辨认”到“局部特征刻画”。学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形和长方体、正方体等立体图形，这里是在以前研究长方体、正方体特征的基础上，研究圆柱和圆锥的特征。同时，对圆柱和圆锥的侧面的认识，使学生对面的认识从平面过渡到曲面，这是认识上的再一次上升。
第三，从观察圆柱、圆锥的实物到认识它们画在平面上的“直观图”。学生在认识直观图中可能存在着困难，教师要加以指导。
二、在“圆柱的体积”和“圆锥的体积”的教学目标中，都要求让学生经历“类比猜想—验证说明”来探索体积的计算方法的过程，教材这样要求是基于什么考虑？
我们以圆柱体积的内容安排为例。教材安排了探索圆柱体积计算方法的内容，引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，体会类比、转化等数学思想方法。教材先呈现了“类比猜想”的过程，由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体，而且长方体与正方体的体积都等于“底面积×高”，由此可以产生猜想：圆柱的体积计算方法也可能是“底面积×高”。在形成猜想后，教材又引导学生“验证说明”自己的猜想，教材中呈现了两种“验证说明”的方法：一种是用硬币堆成一堆，用堆的过程来说明“底面积×高”计算圆柱体积的道理，这实际上是“积分”思想的渗透；另一种方法是“转化”思想的渗透，即把圆柱通过“切、拼”转化为长方体，再根据长方体体积的计算方法推导出圆柱体积的计算方法。
要求让学生经历“类比猜想—验证说明”来探索体积计算方法的过程，主要是由于这种过程的重要性。数学发现通常都是在类比、归纳等方法进行探索的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。当然，通过合情推理得到的猜想还需要进一步证明。在小学阶段不要求给出严格的证明，只要学生能够从不同角度说明其合理性即可，可以说是验证说明。
。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。运用类比的关键是寻找一个合适的类比对象。圆柱和圆锥的体积与已学习过的长方体和正方体的体积存在诸多相似点，为进行类比提供了可能在学习长方体和正方体的体积时，学生已经初步理解了体积和容积的含义，掌握了长方体和正方体的体积计算方法，这些知识都是学习圆柱体积的基础，特别是长方体和正方体的体积计算公式“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有正迁移作用。这就使得圆柱和圆锥的体积学习有了合适的类比对象或者说类比的基础。
三、教材第18页为什么要安排“变化的量”这节课？
我们生活在一个“变化”的世界中，生活中存在大量互相依赖的量。从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。
我们知道，函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，函数的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容。而国际数学课程发展的趋势表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。其实，以前学习的探索数和形的变化规律、字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。而本章的正比例、反比例本身就是两个重要的函数。函数是刻画变量之间相互关系的重要模型，多种研究表明，学生体会、理解函数思想需要丰富的情境，应使他们对函数的多种表示——数值表示（表格）、图像表示、解析表示（关系式）有丰富的经历。学生在这些情境和经历中，感受到生活中存在着许多变量，感受到有的变量之间存在一定的关系，一个变量随另一个变量的变化而变化。
因此，在正式学习正比例、反比例之前，教材设计了三个关于变化的量的具体情境，通过学生感兴趣的日常生活中的问题，分别运用了表格表示、图像表示、关系式表示的方法，使学生体会变量和变量之间相互依赖的关系，并尝试对这些关系进行大致的描述。
四、当速度一定时，路程和时间成正比例，可不可以说成速度一定时，时间和路程成正比例？
这样说是可以的。正比例函数描述的是两个相关的量的变化规律。当表达式为s=vt时，其中自变量为t，因变量为s，这时我们可以说路程随着时间的变化而变化。当表达式为t=s/v时，自变量为s，因变量为t=s/v，这时我们会说时间随着路程的变化而变化。
但是无论s=vt，还是t=s/v（注意速度一定，即v是定值）它们都属于正比例函数。正比例函数的表达式一般为：y=kx。在s=vt这个表达式中，常数k=v；当表达式为t=s/v，常数k=1/v。
虽然这种说法没有问题，但在小学阶段我们希望学生首先体会到，一个量随另一个量的变化而变化。一般习惯上，速度一定时，路程随时间的变化而变化，而不反过来说时间随路程的变化而变化，所以建议老师不要讨论后者。另外，需要指出的是，我们用语言描述时，一般习惯把因变量写在前面（教材上也是这样处理的），但没有找到正式的规定。
五、教材24页“反比例”中，加法表和乘法表的设计目的是什么？
为了帮助学生能更好地理解“反比例”的意义，体会到生活中存在大量相关联的量，体会成反比例的量以及反比例在生活中是广泛存在的。教材密切联系学生已有的生活和学习经验，提供了丰富的直观背景和具体案例，这些情境从不同的角度（实际生活、图形）反映了反比例的意义。
教材24页提供了加法表和乘法表，旨在通过“和是12的直线”和 “积是12的曲线”为学生认识反比例提供一个直观的帮助。在图表中，我们能够看到两个表所表示的变化关系是不同的。第（1）题加法表，在和一定的情况下，一个加数随另一个加数的变化而变化。如果设这两个加数分别为x、y,和为a，则两个加数之间的关系可以表示为y＝a—x，这是一次函数。第（2）题乘法表，在积一定的情况下，一个乘数随另一个乘数的变化而变化，如果设这两个乘数分别为x、y,积为a，则两个乘数之间的关系可以表示为x·y＝a，这是反比例函数，乘法表中“积是12的曲线”，直观、动态地体现了“成反比”的过程。
教材不要求学生独立地画（或连格）反比例曲线，对于两个表格，教师主要应当引导着学生去从中感受两种不同的变化的量，在这里还不必引出反比例的名称，也不用写出表达式。
六、没出“比例”一词、没有学“解比例”，学生怎么解决有关比例尺的问题？
教材中没有给出“比例”名称，这在六年级上册我们的问题解答中有过阐述。主要是由于，在学生刚刚学习比，就引入了比、比例、比值等概念，学生将把大量精力放在区分这几个概念上，而忽略了对比的意义的理解。
同样的想法，有关比例尺的问题，学生完全可以利用比的意义、比例尺的含义、解决问题的经验加以解决，因此教材没有安排“解比例”的内容，教师也不要补充此内容。
例如，教材30页在出示了房屋平面图并给出了比例尺1：100后，第4题实际上就是指导了实际距离是2米（200厘米），就图上距离。在没有学习解比例的前提下，学生完全可以自己探索出解决此问题的方法。比如，有的学生想到图上1厘米代表实际100厘米，自然图上2厘米就代表实际200厘米；有的学生利用倍数的关系，200÷100=2（厘米）。
七、总复习的设计体现了什么样的意图？
按课程标准的要求，教材把总复习的内容划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三个领域，同时，教材还设计了回顾解决问题策略的内容。每一部分内容的呈现又分为“回顾与交流”“巩固与应用”两个方面。每一部分的“回顾与交流”主要是对重点知识及学习方法的梳理；“巩固与应用”主要是通过练习和应用，一方面巩固所学的知识，澄清学习中的困难，另一方面提升学生分析问题、解决问题的能力。解决问题的策略主要是梳理学生在以前的学习过程中用到的解决问题的策略，如列表、画图、猜想与尝试、从特例开始寻找规律等。
在小学阶段，为什么要设计这样一个总复习，而不只是让学生做练习题呢？具体地说总复习内容编排的主要目的在于：
第一，加深学生对所学数学基础知识和方法的理解、促进学生基本技能的掌握。同时，通过复习，突出核心概念及核心方法。需要指出的是，基础知识和基本技能的要求应按照课程标准，依据学生的认知规律进行有目的、有计划、有效的服下，不提倡进行机械训练，更不能让核心概念及核心方法湮灭于题海中。
第二，加强所学内容之间的联系。通过总复习，沟通知识之间的联系，有利于学生将所学内容迁移到新的情境。数学知识与方法之间有着密切联系，在实际教学时，教师要为学生提供自主梳理知识的时间和空间，不能越俎代庖。学生良好的认识结构是在个人思考中初步建立、在小组合作中形成、在班级交流和老师的指导下不断提升的。
第三，积累数学活动经验，体会数学思想。总复习除了需要对所学内容进行回顾、整理、巩固、应用外，还有一个重要目标，就是帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程，经历综合应用所学内容解决问题的过程，使他们不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。
第4， 培养学生的问题意识。在复习时，不仅要复习相应的知识和技能，还要把相应
的知识与解决问题结合起来。这样，既可以帮助学生回忆、整理相关知识，同时可以帮助学生提高综合运用数学知识的能力。特别要注意的是，教师要引导学生提出新的研究问题，培养学生的问题意识。能提出有价值的问题，往往代表学生对所学内容有了比较深入的理解。
第5， 促进学生良好学习习惯的养成。自觉地整理知识，回顾、反思自己学习过程中
的方法和策略，都是良好的学习习惯。
基于以上的考虑，在教材的编写中，我们力求体现以下几个方面的主要特点：
1、重视沟通知识的内在联系。教材在安排复习时，把平时相对独立学习的知识以分类、归纳、转化等办法串起来，使相关内容条理化、结构化，形成整体框架，以加深学生对所学内容的理解。教材中设计了很多整理的内容，如学过的数的联系、数之间的相互转化、四则运算的意义及关系、估算策略的总结、计算法则和运算规律的总结等。
2、注重学习方法的渗透。教材既关注数学内容的整理及其内容之间的联系，也关注在学生学习过程中渗透整理和反思的思想方法，培养学生良好的学习习惯。教材结合有关问题引导学生进行知识归类，梳理知识之间的联系，并引导学生用表格或网络图等形式来呈现。教材还在多个地方对学生梳理知识的角度进行提示，如对运算规律的整理与验证方法的整理等。
3、注意整理与应用相结合。教材每部分内容的复习都分为“回顾与交流”“巩固与应用”两个方面。“回顾与交流”以提示性问题的形式，把主要知识内容加以呈现，便于教师引导学生进行梳理，把以前分散学习的知识进行系统整理，沟通知识之间的联系。在“巩固与应用”部分，练习的设计既注意基本知识和基本技能，又注意知识的综合应用，引导学生综合运用学过的数学知识和方法解释生活中的现象、解决简单的实际问题，从而增强解决问题的能力和反思意识。
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