19.1 变量与函数综合练习题（含解析）
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19.1 变量与函数综合练习题
一、单选题
1．函数 中自变量的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3.
2．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80
某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（ ）
A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20
3．已知A、B两地相距900 m，甲、乙两人同时从A地出发，以相同速度匀速步行，20 min后到达B地，甲随后马上沿原路按原速返回，回到A地后在原地等候乙回来；乙则在B地停留10 min后也沿原路以原速返回A地，则甲、乙两人之间的距离s（m）与步行时间t（min）之间的函数关系可以用图象表示为 （ ）
A． B．
C． D．
4．小明到离家900米的春晖超市卖水果，从家中到超市走了20分钟，在超市购物用了10分钟，然后用15分钟返回家中，下列图形中表示小明离家的时间与距离之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点M是CD的中点动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M→D→A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发，沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时开始，同时结束．设点E的运动时间为x，△EFG的面积为y，下列能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
8．下列四个点中，在函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是某学生画的水滴入一个玻离容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水面的高度与时间之间对应关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．某人早上锻炼，习惯离家后沿一条笔直的公路到村公所，他先匀速跑步，再匀速慢走一段路进行恢复，走到村公所休息一会儿，最后原路匀速走回家，横轴表示此人离开家的时间t，纵轴表示离家的距离h，四个图中准确反映h与t的关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝ ．
12．已知f（x）= ，那么f（1）= ．
13．甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A，B 两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进（甲到达点B时停止运动），乙也立即向B点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离y（米）与乙运动的时间x（秒） 之间的关系如图所示．则甲到B点时，乙距B点的距离是 米．
14．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”， ，计算 = .若 恰有三个不相等的实数根 ，记 ，则k的取值范围是 .
三、解答题
15．已知一条钢筋长90cm，把它折弯成一个等腰三角形框，其底边长记为x(cm)，腰长记为y(cm).
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x=40时，求函数y的值，并求出此时等腰三角形的面积.
16．如图是在固定的电压下，通过一电阻的电流I（A）与该电阻的阻值R（Ω）之间的关系变化图．根据图象回答下列问题：
（1）这个函数反映了哪两个变量之间的关系？
（2）电阻值R是关于电流I的函数吗？
（3）当I=1A时，电阻的阻值是多少？
17．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S和时间t的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）甲和乙哪一个出发的更早？早出发多长时间？
（2）甲和乙哪一个早到达B城？早多长时间？
（3）乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
（4）请你根据图象上的数据，求出乙出发用多长时间就追上甲？
四、作图题
18．有这样一个问题，探究函数y＝x2﹣2 的图象与性质，小张根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣2 的图象与性质进行了研究，下面是小张的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣2 的自变量取值范围是 ．
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y … n 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 m
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，算出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据算出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）；
（5）根据图象回答：方程x2﹣2 ＝﹣ 有 个实数解．
五、综合题
19．已知 与 成正比例，且 时， ．
（1）求 与 之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象；
（2）结合图象，当 时，求 的取值范围．
20．（问题情境）
已知矩形的面积为 （ 为常数， ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
（数学模型）
设该矩形的长为 ，周长为 ，则 与 的函数表达式为 .
（探索研究）
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质.
（1）结合问题情境，函数 的自变量 的取值范围是 ，
下表是 与 的几组对应值.
1 2 3
2
① ▲ ；
②画出该函数图象，结合图象，得出当 ▲ 时， 有最小值， ▲ ；
（2）（解决问题）直接写出“问题情境”中问题的结论.
21．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x+1.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究.
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限.
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 ▲ ；
（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且﹣ ＜[a]≤2，则b的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【分析】根据题意得：x-3≥0，解得：x≥3．故选C.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。
2．【答案】D
【解析】【解答】由题可得，当0＜m≤20时，邮资y=1.20元，
∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，
故答案为：D.
【分析】由于0＜15g＜20，根据表格中的数据即得.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵甲乙二人乙相同速度匀速步行20 min后从A地到达B地，
∴二人步行的距离为900÷2=450m，
0-20min时，二人同行，距离为0，
20-30min时，甲返回，乙停留在B 地，距离S从0到450m ，
30-40min时，甲继续返回，乙也返回，二人之间的距离保持450m不变，
40-50min时，甲在A地等乙，乙返回，距离S从450到0m，
纵观各选项，只有A选项图象符合.
故答案为：A .
【分析】由题意可得：二人步行的距离为900÷2=450m，0-20min时，二人同行，距离为0；20-30min时，距离S从0到450m；30-40min时，二人之间的距离保持450m不变；40-50min时，距离S从450到0m，据此判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】依题意知，y轴代表小明离家距离，x轴代表离家时间，由于中途购物用了10分钟，故y值不变持续了10分钟，可排除BC。而小明往返共用时间45分钟。可选D。
【分析】这是一道分段函数的图象问题，依题意知，y轴代表小明离家距离，x轴代表离家时间，根据中途购物用了10分钟，故y值不变持续了10分钟，由小明往返共用时间45分钟，从而一一排除即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一个变化过程中存在两个变量x、y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都只有唯一 一个值与之对应，于是我们就说y是x的函数，据此逐个判断得出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：①当x≤2时，各点位置与原图所示，
此时，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，
则y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，
将有关数据代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，对应图象是二次函数；
②当x＞2时，各点位置与下图所示，
此时y＝S△EFG＝ GF AB＝﹣4t+16，对应图象是直线，
故答案为：A
【分析】当点F在MD上运动时，0≤x≤2；当点F在DA上运动时，2＜x≤4；根据题目中相关图形的面积公式列出表达式进行选择即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项错误；
C、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项正确；
D、由C知，y=10+0.5x，则当x=7时，y=13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项正确；
故选：B．
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当x=-1, y=-3, 不符合题意；
B、当x=3 y=-9, 不符合题意；
C、当x=1, y=3, 符合题意；
D、当x=3, y=9, 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别把四个点坐标代入函数式进行验证即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快.
表现出的函数图形为先缓，后陡.
故答案为：D.
【分析】由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快，据此逐一判断即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，这个人先匀速跑步再匀速慢走，因为匀速跑步比匀速慢走的速度快，所以在相同的时间t内，匀速跑步比匀速慢走对应的h增的多，在图象上，匀速跑步就是比匀速慢走的更陡的线段；走到村公所休息时，说明随着时间t的增大，他离家的距离h不变，在图象上是平行于x轴的线段；最后原路返回家，说明随着时间t的增大，离家的距离h逐渐地变小，最后为0．
故答案为：B.
【分析】由题意可得：开始一段较陡，接下来一段较平缓，休息时为水平的线段，匀速返回时h随着时间t的增大，离家的距离h逐渐变小，直至为0，据此判断.
11．【答案】2
【解析】【解答】∵x=2时，符合x>1的条件，
∴将x=2代入函数y= x+4得：y=2.
故答案为2.
【分析】x=2时，输入x＞1的程序，即可得到y的值。
12．【答案】1
【解析】【解答】解：当x=1时，f（1）= =1，
故答案为：1．
【分析】由f（x）= ，将x=1代入计算即可.
13．【答案】87.5
【解析】【解答】解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒，
∴甲的速度为：1500÷375=4m/s，
又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒，
∴乙的速度为：1500÷200﹣4=3.5m/s，
又∵甲从相遇的地点到达B的路程为：175×4=700米，
乙在两人相遇后运动175秒的路程为：175×3.5=612.5米，
∴甲到B点时，乙距B点的距离为：700﹣612.5=87.5米，
故答案为：87.5
【分析】须审清题意，y轴的含义是二者的距离，因此甲乙两地的距离为1500，200秒相遇，375秒甲到达B地；
14．【答案】；
【解析】【解答】当 时，即 时，
当 时，即 时，
；
设y= ，则y=
其函数图象如图所示，抛物线顶点 ，
根据图象可得：
当 时， 恰有三个不相等的实数根，
其中设 ，为 与 的交点， 为 与 的交点，
，
，
时， ，
故答案为： ；
【分析】分当 时，当 时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y= ，绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围.
15．【答案】（1）由已知，得x+2y=90，x>0，2y>x.
整理，得.
∴y关于x的函数表达式是，
自变量x的取值范围是0（2）当x=40时，，
此时底边上的高为，
∴等腰三角形的面积是.
16．【答案】（1）解：根据题意可知 这个函数反映了R，I两个变量之间的关系.
（2）解：∵电阻值R随着电流I的变化而变化，
∴电阻值R是关于电流I的函数.
（3）解：由图象可知RI=16，
∴当I=1A时R=16Ω，
∴当I=1A时，电阻的阻值是16Ω.
【解析】【分析】（1）利用函数图象可得到两个变量.
（2）利用图象可知电阻值R随着电流I的变化而变化，据此可作出判断.
（3）由图象可知RI=16，即可求出当I=1A时R的值.
17．【答案】（1）解：甲下午1时出发，乙下午2时出发，
所以甲更早，早出发1小时
（2）解：甲5时到达，乙3时到达，
所以乙更早，早到2小时
（3）解：乙的速度= =50（千米/小时），
甲的平均速度= =12.5（千米/小时）
（4）解：设乙出发x小时就追上甲，
根据题意得：50x=20+10x，
x=0.5，
答：乙出发0.5小时就追上甲
【解析】【分析】（1）（2）读图可知；（3）从图中得：甲和乙所走的路程都是50千米，甲一共用了4小时，乙一共用了1小时，根据速度= ，代入计算得出；（4）从图中得：甲在走完全程时，前1小时速度为20千米/小时，从第2小时开始，速度为 =10千米/小时，因此设乙出发x小时就追上甲，则从图中看，是在甲速度为10千米/小时时与乙相遇，所以甲的路程为20+10x，乙的路程为50x，列方程解出即可．
18．【答案】（1）自变量取值范围是任意实数
（2）解：当x＝4时，y＝ ．
答：m的值为8．
（3）解：如图：
（4）解：根据函数图象可知：
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
（5）3
【解析】【解答】解：（1）根据函数解析式可知：无论x为何值， 均有意义，
∴自变量取值范围是任意实数．
故答案为任意实数．（5）解：根据图象可知：
直线y＝﹣ ，与函数图象有三个交点，即可得：
方程x2﹣2 ＝﹣ 有3个实数解．
【分析】（1）根据二次根式的意义和函数关系式即可求解；（2）根据函数关系式将x的值代入即可求解；（3）根据表格数据，描点，连线，即可画出图象；（4）观察函数图象，利用增减性写出一条性质；（5）根据图象将y=x2-2 的图象向下平移0.5个单位长度与原函数图象有三个交点即可求解．
19．【答案】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴设y＝k（x＋2），
∵x＝1时，y＝ 6．
∴ 6＝k（1＋2）
k＝ 2．
∴y＝ 2（x＋2）＝ 2x 4
故 与 之间的函数关系式为：
y＝ 2x 4．
当x=0时，y=-4；
当y=0时，x=-2；
∴图象过点（0， 4）和（ 2，0）
故图像如图所示：
；
（2）解：由图像及解析式得：
当y=0时，x=-2
当y=-2时，x=-1
故当 2＜y≤0时，
x的取值范围 2≤x＜ 1．
【解析】【分析】（1）根据y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6可确定解析式并能画出图象；
（2）根据图象和y的取值范围可求出x的取值范围。
20．【答案】（1）解：① 4；②函数图象如图：
；1|2
（2）解：当矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 .
【解析】【解答】解：（1）①令y= ，则 ，解得x=4；故填4；
②函数图象如图：
∵ ，
∴ ≥0
∴当x=1，函数的最小值为2；
（2）∵
∴当矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 .
【分析】（1）①令y= ，则 ，解得x=4，即m=4；
②利用描点、连线可画出函数的图象，y=x+=+2，x>0，根据平方的非负性可得y的最小值；
（2） ，同理可得y的最小值.
21．【答案】（1）③④
（2）解：①在平面直角坐标系 中画出该函数图象，
；②c＞1或-2＜c≤-1
（3）-4≤b＜-3或
【解析】【解答】解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当 时， y随x的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于y轴不对称，故错误；
③当 时，函数有最小值为 ，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④.
（2）② 关于x的方程 有两个互不相等的实数根，
可以看成是 和 有两个交点.
是一次函数，与y轴的交点为c ，
当 c＞1 时，满足两个交点的条件.
若将 向下平移与图象有两个交点，则 .
方程为 ，即 .
△ ，
，
.
故答案为： 或 .
（3） ，
当 时， ， ，解出 .
当 时， ， ，解出 .
或 .
点 在函数 图象上，
，
，
或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）画出函数图象，结合图象根据函数的性质即可判断求解；
（2）①根据题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
②将2x＋c看成是一次函数y＝2x＋c，此函数与y轴的交点是c，因此要与[x]图象有两个交点，由题意可分情况讨论：当c＞1时，满足两个交点的要求；若将y=2x+c向下平移与图象有两个交点，则 ，方程为 ，即 ，根据根的判别式求出c的范围即可；
（3）因为 ＜[a]≤2，所以根据分段函数图象，求解取值在 到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点（a，b）在函数y＝x 3图象上，则b＝a 3，即a＝b＋3，代入到a的取值范围中求解即可．
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19.1 变量与函数综合练习题
一、单选题
1．函数 中自变量的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3.
2．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80
某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（ ）
A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20
3．已知A、B两地相距900 m，甲、乙两人同时从A地出发，以相同速度匀速步行，20 min后到达B地，甲随后马上沿原路按原速返回，回到A地后在原地等候乙回来；乙则在B地停留10 min后也沿原路以原速返回A地，则甲、乙两人之间的距离s（m）与步行时间t（min）之间的函数关系可以用图象表示为 （ ）
A． B．
C． D．
4．小明到离家900米的春晖超市卖水果，从家中到超市走了20分钟，在超市购物用了10分钟，然后用15分钟返回家中，下列图形中表示小明离家的时间与距离之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点M是CD的中点动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M→D→A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发，沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时开始，同时结束．设点E的运动时间为x，△EFG的面积为y，下列能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
8．下列四个点中，在函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是某学生画的水滴入一个玻离容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水面的高度与时间之间对应关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．某人早上锻炼，习惯离家后沿一条笔直的公路到村公所，他先匀速跑步，再匀速慢走一段路进行恢复，走到村公所休息一会儿，最后原路匀速走回家，横轴表示此人离开家的时间t，纵轴表示离家的距离h，四个图中准确反映h与t的关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝ ．
12．已知f（x）= ，那么f（1）= ．
13．甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A，B 两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进（甲到达点B时停止运动），乙也立即向B点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离y（米）与乙运动的时间x（秒） 之间的关系如图所示．则甲到B点时，乙距B点的距离是 米．
14．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”， ，计算 = .若 恰有三个不相等的实数根 ，记 ，则k的取值范围是 .
三、解答题
15．已知一条钢筋长90cm，把它折弯成一个等腰三角形框，其底边长记为x(cm)，腰长记为y(cm).
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x=40时，求函数y的值，并求出此时等腰三角形的面积.
16．如图是在固定的电压下，通过一电阻的电流I（A）与该电阻的阻值R（Ω）之间的关系变化图．根据图象回答下列问题：
（1）这个函数反映了哪两个变量之间的关系？
（2）电阻值R是关于电流I的函数吗？
（3）当I=1A时，电阻的阻值是多少？
17．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S和时间t的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）甲和乙哪一个出发的更早？早出发多长时间？
（2）甲和乙哪一个早到达B城？早多长时间？
（3）乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
（4）请你根据图象上的数据，求出乙出发用多长时间就追上甲？
四、作图题
18．有这样一个问题，探究函数y＝x2﹣2 的图象与性质，小张根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣2 的图象与性质进行了研究，下面是小张的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣2 的自变量取值范围是 ．
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y … n 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 m
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，算出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据算出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）；
（5）根据图象回答：方程x2﹣2 ＝﹣ 有 个实数解．
五、综合题
19．已知 与 成正比例，且 时， ．
（1）求 与 之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象；
（2）结合图象，当 时，求 的取值范围．
20．（问题情境）
已知矩形的面积为 （ 为常数， ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
（数学模型）
设该矩形的长为 ，周长为 ，则 与 的函数表达式为 .
（探索研究）
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质.
（1）结合问题情境，函数 的自变量 的取值范围是 ，
下表是 与 的几组对应值.
1 2 3
2
① ▲ ；
②画出该函数图象，结合图象，得出当 ▲ 时， 有最小值， ▲ ；
（2）（解决问题）直接写出“问题情境”中问题的结论.
21．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x+1.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究.
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限.
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 ▲ ；
（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且﹣ ＜[a]≤2，则b的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【分析】根据题意得：x-3≥0，解得：x≥3．故选C.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。
2．【答案】D
【解析】【解答】由题可得，当0＜m≤20时，邮资y=1.20元，
∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，
故答案为：D.
【分析】由于0＜15g＜20，根据表格中的数据即得.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵甲乙二人乙相同速度匀速步行20 min后从A地到达B地，
∴二人步行的距离为900÷2=450m，
0-20min时，二人同行，距离为0，
20-30min时，甲返回，乙停留在B 地，距离S从0到450m ，
30-40min时，甲继续返回，乙也返回，二人之间的距离保持450m不变，
40-50min时，甲在A地等乙，乙返回，距离S从450到0m，
纵观各选项，只有A选项图象符合.
故答案为：A .
【分析】由题意可得：二人步行的距离为900÷2=450m，0-20min时，二人同行，距离为0；20-30min时，距离S从0到450m；30-40min时，二人之间的距离保持450m不变；40-50min时，距离S从450到0m，据此判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】依题意知，y轴代表小明离家距离，x轴代表离家时间，由于中途购物用了10分钟，故y值不变持续了10分钟，可排除BC。而小明往返共用时间45分钟。可选D。
【分析】这是一道分段函数的图象问题，依题意知，y轴代表小明离家距离，x轴代表离家时间，根据中途购物用了10分钟，故y值不变持续了10分钟，由小明往返共用时间45分钟，从而一一排除即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一个变化过程中存在两个变量x、y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都只有唯一 一个值与之对应，于是我们就说y是x的函数，据此逐个判断得出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：①当x≤2时，各点位置与原图所示，
此时，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，
则y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，
将有关数据代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，对应图象是二次函数；
②当x＞2时，各点位置与下图所示，
此时y＝S△EFG＝ GF AB＝﹣4t+16，对应图象是直线，
故答案为：A
【分析】当点F在MD上运动时，0≤x≤2；当点F在DA上运动时，2＜x≤4；根据题目中相关图形的面积公式列出表达式进行选择即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项错误；
C、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项正确；
D、由C知，y=10+0.5x，则当x=7时，y=13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项正确；
故选：B．
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当x=-1, y=-3, 不符合题意；
B、当x=3 y=-9, 不符合题意；
C、当x=1, y=3, 符合题意；
D、当x=3, y=9, 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别把四个点坐标代入函数式进行验证即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快.
表现出的函数图形为先缓，后陡.
故答案为：D.
【分析】由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快，据此逐一判断即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，这个人先匀速跑步再匀速慢走，因为匀速跑步比匀速慢走的速度快，所以在相同的时间t内，匀速跑步比匀速慢走对应的h增的多，在图象上，匀速跑步就是比匀速慢走的更陡的线段；走到村公所休息时，说明随着时间t的增大，他离家的距离h不变，在图象上是平行于x轴的线段；最后原路返回家，说明随着时间t的增大，离家的距离h逐渐地变小，最后为0．
故答案为：B.
【分析】由题意可得：开始一段较陡，接下来一段较平缓，休息时为水平的线段，匀速返回时h随着时间t的增大，离家的距离h逐渐变小，直至为0，据此判断.
11．【答案】2
【解析】【解答】∵x=2时，符合x>1的条件，
∴将x=2代入函数y= x+4得：y=2.
故答案为2.
【分析】x=2时，输入x＞1的程序，即可得到y的值。
12．【答案】1
【解析】【解答】解：当x=1时，f（1）= =1，
故答案为：1．
【分析】由f（x）= ，将x=1代入计算即可.
13．【答案】87.5
【解析】【解答】解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒，
∴甲的速度为：1500÷375=4m/s，
又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒，
∴乙的速度为：1500÷200﹣4=3.5m/s，
又∵甲从相遇的地点到达B的路程为：175×4=700米，
乙在两人相遇后运动175秒的路程为：175×3.5=612.5米，
∴甲到B点时，乙距B点的距离为：700﹣612.5=87.5米，
故答案为：87.5
【分析】须审清题意，y轴的含义是二者的距离，因此甲乙两地的距离为1500，200秒相遇，375秒甲到达B地；
14．【答案】；
【解析】【解答】当 时，即 时，
当 时，即 时，
；
设y= ，则y=
其函数图象如图所示，抛物线顶点 ，
根据图象可得：
当 时， 恰有三个不相等的实数根，
其中设 ，为 与 的交点， 为 与 的交点，
，
，
时， ，
故答案为： ；
【分析】分当 时，当 时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y= ，绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围.
15．【答案】（1）由已知，得x+2y=90，x>0，2y>x.
整理，得.
∴y关于x的函数表达式是，
自变量x的取值范围是0
此时底边上的高为，
∴等腰三角形的面积是.
16．【答案】（1）解：根据题意可知 这个函数反映了R，I两个变量之间的关系.
（2）解：∵电阻值R随着电流I的变化而变化，
∴电阻值R是关于电流I的函数.
（3）解：由图象可知RI=16，
∴当I=1A时R=16Ω，
∴当I=1A时，电阻的阻值是16Ω.
【解析】【分析】（1）利用函数图象可得到两个变量.
（2）利用图象可知电阻值R随着电流I的变化而变化，据此可作出判断.
（3）由图象可知RI=16，即可求出当I=1A时R的值.
17．【答案】（1）解：甲下午1时出发，乙下午2时出发，
所以甲更早，早出发1小时
（2）解：甲5时到达，乙3时到达，
所以乙更早，早到2小时
（3）解：乙的速度= =50（千米/小时），
甲的平均速度= =12.5（千米/小时）
（4）解：设乙出发x小时就追上甲，
根据题意得：50x=20+10x，
x=0.5，
答：乙出发0.5小时就追上甲
【解析】【分析】（1）（2）读图可知；（3）从图中得：甲和乙所走的路程都是50千米，甲一共用了4小时，乙一共用了1小时，根据速度= ，代入计算得出；（4）从图中得：甲在走完全程时，前1小时速度为20千米/小时，从第2小时开始，速度为 =10千米/小时，因此设乙出发x小时就追上甲，则从图中看，是在甲速度为10千米/小时时与乙相遇，所以甲的路程为20+10x，乙的路程为50x，列方程解出即可．
18．【答案】（1）自变量取值范围是任意实数
（2）解：当x＝4时，y＝ ．
答：m的值为8．
（3）解：如图：
（4）解：根据函数图象可知：
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
（5）3
【解析】【解答】解：（1）根据函数解析式可知：无论x为何值， 均有意义，
∴自变量取值范围是任意实数．
故答案为任意实数．（5）解：根据图象可知：
直线y＝﹣ ，与函数图象有三个交点，即可得：
方程x2﹣2 ＝﹣ 有3个实数解．
【分析】（1）根据二次根式的意义和函数关系式即可求解；（2）根据函数关系式将x的值代入即可求解；（3）根据表格数据，描点，连线，即可画出图象；（4）观察函数图象，利用增减性写出一条性质；（5）根据图象将y=x2-2 的图象向下平移0.5个单位长度与原函数图象有三个交点即可求解．
19．【答案】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴设y＝k（x＋2），
∵x＝1时，y＝ 6．
∴ 6＝k（1＋2）
k＝ 2．
∴y＝ 2（x＋2）＝ 2x 4
故 与 之间的函数关系式为：
y＝ 2x 4．
当x=0时，y=-4；
当y=0时，x=-2；
∴图象过点（0， 4）和（ 2，0）
故图像如图所示：
；
（2）解：由图像及解析式得：
当y=0时，x=-2
当y=-2时，x=-1
故当 2＜y≤0时，
x的取值范围 2≤x＜ 1．
【解析】【分析】（1）根据y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6可确定解析式并能画出图象；
（2）根据图象和y的取值范围可求出x的取值范围。
20．【答案】（1）解：① 4；②函数图象如图：
；1|2
（2）解：当矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 .
【解析】【解答】解：（1）①令y= ，则 ，解得x=4；故填4；
②函数图象如图：
∵ ，
∴ ≥0
∴当x=1，函数的最小值为2；
（2）∵
∴当矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 .
【分析】（1）①令y= ，则 ，解得x=4，即m=4；
②利用描点、连线可画出函数的图象，y=x+=+2，x>0，根据平方的非负性可得y的最小值；
（2） ，同理可得y的最小值.
21．【答案】（1）③④
（2）解：①在平面直角坐标系 中画出该函数图象，
；②c＞1或-2＜c≤-1
（3）-4≤b＜-3或
【解析】【解答】解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当 时， y随x的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于y轴不对称，故错误；
③当 时，函数有最小值为 ，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④.
（2）② 关于x的方程 有两个互不相等的实数根，
可以看成是 和 有两个交点.
是一次函数，与y轴的交点为c ，
当 c＞1 时，满足两个交点的条件.
若将 向下平移与图象有两个交点，则 .
方程为 ，即 .
△ ，
，
.
故答案为： 或 .
（3） ，
当 时， ， ，解出 .
当 时， ， ，解出 .
或 .
点 在函数 图象上，
，
，
或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）画出函数图象，结合图象根据函数的性质即可判断求解；
（2）①根据题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
②将2x＋c看成是一次函数y＝2x＋c，此函数与y轴的交点是c，因此要与[x]图象有两个交点，由题意可分情况讨论：当c＞1时，满足两个交点的要求；若将y=2x+c向下平移与图象有两个交点，则 ，方程为 ，即 ，根据根的判别式求出c的范围即可；
（3）因为 ＜[a]≤2，所以根据分段函数图象，求解取值在 到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点（a，b）在函数y＝x 3图象上，则b＝a 3，即a＝b＋3，代入到a的取值范围中求解即可．
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