第九章 9.2.4 总体离散程度的估计 课时练（含答案）

9.2.4　总体离散程度的估计
1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是(　　)
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2
方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．若数据2x1＋3,2x2＋3，…，2x8＋3的方差为32，则样本数据x1，x2，…，x8的方差为(　　)
A．16 B．8 C．13 D．5
4．有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续8年的亩产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则其方差为(　　)
A．120 B．80 C．15 D．150
5．如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为s，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为s，则(　　)
A.>5，s>s B.<5，sC.＝5，ss
6．为了解某班学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取了15人进行调查，调查结果如表所示，则估算全班学生每周购买零食的支出的方差是(　　)
人数 平均支出/元 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
A.10.3 B．11.2 C．12 D．13.4
7．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表所示：
等待时间/分 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
8．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x(单位：克)与香囊功效y之间满足y＝15x－x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲含量的平均数为6，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为________．
9．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂的轮胎哪个相对较好．
10．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知落在[50,60)内的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)内的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.
11．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表所示：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
12．(多选)春节7天假期期间，高速公路免费通行．下面是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的检测车辆数量统计图，则下列结论正确的是(　　)
A．甲检测点的平均检测车辆数多于乙检测点的平均检测车辆数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
13．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入三个新数据4,5,6，若新样本的平均数为，方差为s2，则(　　)
A.＝5，s2＝1.8 B.＝5，s2＝1.6
C.＝4.9，s2＝1.6 D.＝5.1，s2＝1.8
14．在对某班男生30人，女生20人的体重的调查中，体重分析如表所示，则a＝________，b＝________.
男 女 全部50人
平均体重 55 a 51
方差 15 20 b
15．(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息．
甲地：中位数为2，极差为5；
乙地：平均数为2，众数为2；
丙地：平均数为1，方差大于0；
丁地：平均数为2，方差为3.
则一定符合该标志的是(　　)
A．甲地 B．乙地
C．丙地 D．丁地
16．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝9.97，
s≈0.212，
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(1)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(2)在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数与标准差(精确到0.01)．
附：≈0.09.
9．2.4　总体离散程度的估计
1．A　2.C　3.B　4.D　5.D　6.B
7．9.5　28.5
8.
解析　设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i＝1,2，…，6.草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1＋x2＋…＋x6＝36，
y1＋y2＋…＋y6＝15(x1＋x2＋…＋x6)－(x＋x＋…＋x)＝90，
即x＋x＋…＋x＝450，则这6个香囊中草药甲含量的方差s2＝
＝[(x＋x＋…＋x)－12(x1＋x2＋…＋x6)＋6×36]
＝×(450－12×36＋6×36)＝39，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．
9．解　(1)记甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数为1，乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数为2，
1＝
＝195，
2＝
＝194.
(2)甲厂10个轮胎中，宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，
则平均数为
＝195，
∴方差s＝×[(195－195)2×2＋(194－195)2×2＋(196－195)2×2]＝；
乙厂10个轮胎中，宽度在[194,196]内的数据为
195,196,195,194,195,195，
则平均数为
＝195，
∴方差s＝×[(195－195)2×4＋(196－195)2＋(194－195)2]＝；
∵甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均数一样，但乙厂的方差更小，
∴乙厂的轮胎相对较好．
10．解　(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，
∴a＝0.030.
(2)由题图可知，成绩在[50,60)内的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60,70)内的市民人数为
100×0.2＝20，
故＝＝62.
∴s2＝×[7＋(54－62)2]＋×[4＋(66－62)2]＝37.
11．C
12．AB　[对于A，甲检测点的平均检测车辆数为
≈1 371，
乙检测点的平均检测车辆数为
≈1 343，
故甲检测点的平均检测车辆数多于乙检测点的平均检测车辆数，故A正确；
对于B，甲检测点的数据极差为2 000－800＝1 200，
乙检测点的数据极差为1 800－800＝1 000，故B正确；
对于C，甲检测点数据为800,1 200，1 200，1 200，1 600，1 600,2 000，中位数为1 200，
乙检测点数据为800,800,1 200，1 600，1 600,1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；
对于D，通过方差公式计算甲、乙检测点数据的方差，可以判断甲检测点数据的方差小于乙检测点数据的方差，故D错误．]
13．B　
14．45　41
解析　由题意知，
51＝×55＋×a，
解得a＝45.
则b＝×[15＋(55－51)2]＋×[20＋(45－51)2]＝41.
15．AD　[对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7，故A正确．对于B选项，若乙地过去10日每天新增疑似病例分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误．对于C选项，若丙地过去10日每天新增疑似病例分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误．对于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2>×(8－2)2＝3.6>3，与条件方差为3矛盾，故过去10日，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确．]
16．解　(1)由于＝9.97，s≈0.212，－3s＝9.334，＋3s＝10.606，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
(2)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
×(16×9.97－9.22)＝10.02，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数的估计值为10.02，
因为方差s2＝0.2122，
所以16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.