第十九章 一次函数综合复习题（含解析）

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第十九章一次函数综合复习题
一、单选题
1．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
3．点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y=﹣x上，则y1与y2的关系是（　　）
A．y1≥y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2
4．已知和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为（　　）
A．y=﹣2x﹣3 B．y=x+ C．y=﹣9x+3 D．y=-x-
5．函数和（且）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面内有两条直线l1：y=x+2，l2：y=－2x+4交于点A，与x轴分别交于B，C两点，P（m，2m-1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是（　　）
A．－28．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2-2x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．a≤-1/2或a≥1
9．给出下列命题及函数，和的图象
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
则（　　）
A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④
C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③
10．已知，等边三角形 和正方形 的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点 共线， 沿 方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为 ，运动过程中两图形重叠部分的面积为 ，则下面能大致反映 与 之间关系的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数 中，自变量x的取值范围是　 　。
12．在“变量之间的关系”一章中，我们学习的“变量”是指自变量和因变量，而表达它们之间关系的通常有三种方法，这三种方法是指　 　 、　 　 和　 　
13．根据如图的程序计算，当输入时，输出的结果y=　 　；当输出的结果时，则输入x=　 　．
14．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y= 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1， ）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是　 　．
15．如图，正比例函数的图象过点.直线沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D.当点A关于直线BC的对称点恰好落在y轴上时，则的面积是　 　.
三、计算题
16．求下列函数当x=-2时的函数值．
（1）y=x-3．
（2）y=
（3）y=．
17．已知是的一次函数，当时，；当时，，求
（1）这个一次函数的表达式
（2）当时，自变量的值。
（3）时，自变量的取值范围。
四、解答题
18．已知函数y=（m+1）x+（m2-1）当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数.
19．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值．
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28
（1）上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？
（3）若所挂重物为6kg时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
20． 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，
（1）求，的值；
（2）对于自变量的每一个值，一次函数，和，所对应的函数值分别记为，，，若当时，总有，请你直接写出n的取值范围．
五、综合题
21．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与y轴相交于点C（0，6），与直线OA相交于点A且点A纵坐标为2，动点P沿路线OAC运动.
（1）求直线BC的解析式.
（2）求的面积.
（3）当的面积是的面积的时，求出这时点P的坐标.
22．已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
23．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 点，过 点作 轴的垂线，垂足为 ，△ 的面积为1.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 与点 不重合），且 点的横坐标为1，在 轴上求一点 ，使 最小.
24．在平面直角坐标系中，A（a，b）、B（c，d）、C（7，0），且
（1）如果a=1，d=2，
①求A，B两点的坐标；
②求线段AB与y轴交点N的坐标，并求出△AOB的面积；
（2）如果b=-1，且△AOB与△ABC面积和为9，求a的值或取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 直线与相交于点 ，
观察图象知：当x＞-1时，直线在图象的上方，
∴ 关于的不等式的解集为x＞-1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】观察图象知当x＞-1时，直线在图象的上方，据此求出解集再判断即可.
2．【答案】C
【解析】【分析】从图象上来看，甲乙的起跑点是一样的，在起跑一小时后，甲乙在同一点，在起跑后到1小时之间，甲的图形都比乙的图形高，说明起跑后1小时内，甲在乙的前面，所以①正确，通过图象观察，一小时时该点的纵坐标是10，所以第1小时两人都跑了10千米，所以②正确；观察图形，当时间为2小时时候，乙已经到达终点，而此时甲还没到达，所以甲比乙先到达终点是错误的，所以③错误；观察图形，当时间为2小时时候，乙已经到达终点，此时纵坐标为20，所以两人都跑了20千米，所以④正确，综上所述，①②④正确，所以选C
【点评】本题考查函数图象，解答本题需要考生会观察函数图象，得出有用的信息，从而来判断正确还是错误
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y=﹣x上，
∴y1=﹣5，y2=﹣2，
∵﹣5＜﹣2，
∴y1＜y2．
故选：C．
【分析】分别把点A（5，y1）和B（2，y2）代入直线y=﹣x，求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，
∴，
解得：，
∴一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为y=-x-
故选：D．
【分析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一次方程，联立方程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】由条件 可知， ，
当 时 的图像经过第二、四象限，
当 时 的图像经过第一、三象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得函数，，，自变量x的取值范围分别为x≤2， x≥2， -2≤x≤2， x>2.
故选B.
【分析】二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数；分式有意义的条件是：分母不为0．根据上述条件得到自变量x的取值范围x≥2的函数即可．
7．【答案】B
【解析】【解答】解 ：由题意得 ：
0＜2m-1＜m＋2 ① ；0＜2m-1＜-2m＋4② ；
解得 ：；
故应选 B.
【分析】此题分两种情况①点P在x轴上方在直线l1右边；列出不等式0＜2m-1＜m＋2，②点P在x轴上方在直线l2左边，列出不等式0＜2m-1＜-2m＋4，解两不等式组成的不等式组，即可得出答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，3），B（2，1），
∴，解得 ，
∴直线AB的解析式为y= x+2，
∴联立，得y= x+2=ax2-2x+1，整理得ax2- x-1=0，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴=b2-4ac＞0，即（ ）2+4a＞0，解得a＞ ，
①当a＞0，抛物线经过点B（2，1）时，
则y=a-2a+1≥1，即当a≥1时，抛物线与线段AB有两个不同交点，
②当a＜0，抛物线经过点B（-2，3）时，
则y=4a+4+1≤3，即当a≤ 时，抛物线与线段AB有两个不同交点，
∴综上所述，a的取值范围为a≥1或 ＜a≤ .
故答案为：A.
【分析】用待定系数法先求出直线AB的解析式，再与抛物线解析式联立方程组，由抛物线与线段AB有两个不同的交点，先根据 =b2-4ac＞0求得a＞ ，再讨论a＞0和a＜0两种情况下，求出a的取值范围，即可解决问题.
9．【答案】A
【解析】【分析】根据二次函数、反比例函数、正比例函数的图象的上下关系即可得出结论：
①当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时， ，命题正确；
②当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，或 ，命题错误；
③当三个函数的图象没有出现，，次序的上下关系 ，命题错误；
④当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时， ，命题正确.
综上所述，正确的命题是①④.故选A．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t× = t，
则S=S△CEH= ×CE×HE= ×t× t= ，
可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME= ，
∴S= ，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S= ，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，
此时BF=2a-t，MF= ，
∴ ，
可知图象为开口向上的二次函数；
故答案为：A
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
11．【答案】
【解析】【解答】根据题意得：2x-1≠0, ．
故答案为： ．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围。
12．【答案】表格法；解析式法；图象法
【解析】【解答】解：表示两个变量之间的关系时，通常有三种方法：
表格法，解析式法，图象法．
故答案为：表格法，解析式法，图象法．
【分析】根据常用的函数表示方法：表格法，解析式法，图象法进行填写．
13．【答案】2；0.7
【解析】【解答】解：因为，
所以；
当输出的结果时，分以下两种情况：
①当时，则，解得，不符合题设，舍去，
②当时，则，解得，符合题设，
所以输入，
故答案为：2，0.7．
【分析】根据程序计算可知：当x=3＞1时，代入y=-x+5求值；当y=5.7时，可得y=-x+5=5.7或y=x+5=5.7，分别求出x值再检验即可.
14．【答案】5
【解析】【解答】解：∵点P 在“勾股一次函数”y= 的图象上，
∴ 即 ，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C=90°，Rt△ABC的面积是5，
∴ ，即ab=10，
又∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2﹣2ab=c2，
即∴
解得c=5，
故答案为：5．
【分析】把点P 的坐标代入y= ，可得a、b、c的关系 ，根据面积是5可得ab=10，最后利用完全平方公式（a+b）2﹣2ab=c2得到关于c的方程，求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：将点A(2， 4)代入y=kx中，得 4=2k，即k= 2，
∴直线OA的解析式为y= 2x，
在y=x+b中，令y=0，则x= b，
∴B( b，0)，即OB=|b|，
在y=x+b中，令x=0，则y=b，
∴C(0，b)，即OC=|b|，
∴OB=OC，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵点A关于直线BC的对称点A′恰好落在y轴上，
∴CD垂直平分AA′，
∴CA=CA′，
∴∠ACD=∠OCB=45°，
∴∠ACO=90°，
∴OC=|yA|=4，
∴OB=OC=4，即C(0， 4)，
将点C(0， 4)代入y=x+b中，得 4=0+b，
∴b= 4，
∴直线BC的解析式为y=x 4，
由 ，得，
∴点D(， )，
∴S△OBD=OB =.
故答案为：.
【分析】将A(2，-4)代入y=kx中得k的值，得直线OA的解析式，易得B(-b，0)，C(0，b)，OB=OC=|b|，∠OCB=∠OBC=45°，由题意可得CD垂直平分AA′，则CA=CA′，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠OCB=45°，则∠ACO=90°，OC=|yA|=4，C(0，-4)，代入y=x+b中可得b的值，求出直线BC的解析式，联立直线OA的解析式求出x、y，可得点D的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
16．【答案】（1）解：当x=-2时y=×（-2）-3=-1-3=-4.
（2）解：当x=-2时，
（3）解：当x=-2时
．
【解析】【分析】（1）将x=-2代入函数解析式，可求出对应的y的值.
（2）将x=-2代入函数解析式，可求出对应的y的值.
（3）将x=-2代入函数解析式，进行计算，可求出y的值.
17．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
点（3，1）和（-2，-14）在函数上，
将其代入解析式，可得，
解得，
所以一次函数的解析式为y=3x-8；
（2）解：当y=-7时，
-7=3x-8，
解得x=；
（3）解： 当时 ，
即-13x-8<1，
解得.
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解一次函数的解析式；
（2）根据一次函数的性质，已知y的值，代入函数解析式就可以求出x的值；
（3）根据不等式的性质，先移项，再将x前的系数变为1，即可求出x的取值范围.
18．【答案】解答: 由函数是一次函数可得，m+1≠0，解得 m≠-1，所以，m≠-1时，y是x的一次函数；函数为正比例函数时，m+1≠0且m2-1=0，解得 m=1，所以，当m=1时，y是x的正比例函数
【解析】【分析】根据一次函数和正比例函数的定义解题，特别注意：当函数为正比例函数时m+1≠0且m2-1=0
19．【答案】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；
（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；
（3）根据上表可知所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×6=30厘米．
【解析】【分析】（1）因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；
（2）由表可知，当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是24cm；不挂重物时，弹簧的长度是18cm；
（3）由表中的数据可知，x=0时，y=18，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，依此可求所挂重物为6千克时（在允许范围内）时的弹簧长度．
20．【答案】（1）解：一次函数的图象向下平移得到一次函数，
，
一次函数的解析式为，
平移后的函数图象经过点，
，
；
（2）当或时，在的范围内，恒成立．
【解析】【解答】解：（2）函数与中，随的增大而增大，
在的范围内，，，
当时，函数中随的增大而增大，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
；
当时，函数中随的增大而减小，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
此时；
综上所述：当或时，在的范围内，恒成立．
【分析】（1）根据题意先求出 一次函数的解析式为， 再计算求解即可；
（2）根据题意先求出在的范围内，，，再分类讨论，列不等式组计算求解即可。
21．【答案】（1）解：设直线BC的解析式是，根据题意得：
解得
则直线的解析式是：；
（2）解：在中，令，解得：
则；
（3）解：设的解析式是，则，
解得：，
则直线的解析式是：，
∵当的面积是的面积的时，∴P的横坐标是，
在中，当时，，则P的坐标是；
在中，则，则P的坐标是
∴的坐标是：.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）先求出点A的横坐标，再利用三角形的面积公式求出的面积；
（3）先求出直线OA的解析式，求出点P的横坐标，再将点P的横坐标分别代入和求出点P的坐标即可。
22．【答案】（1）解：据题意，反比例函数 的图象经过点A（﹣2，1），
∴有m=xy=﹣2
∴反比例函数解析式为y=﹣ ，
又反比例函数的图象经过点B（1，n）
∴n=﹣2，
∴B（1，﹣2）
将A、B两点代入y=kx+b，有 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1
（2）解：一次函数的值大于反比例函数的值时，
x取相同值，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数，
∴x＜﹣2或0＜x＜1
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，分别得出反比例函数解析式和一次函数解析式。
（2）根据一次函数与反比例函数的图象，直接写出x的取值范围。
23．【答案】（1）解：设A点的坐标为（ ， ），
则 .∴ .
∵ ,∴ .∴ .
∴ 反比例函数的表达式为 .
（2）解：由 得 ∴ A为 .
设A点关于 轴的对称点为C，则C点的坐标为 .
如要在 轴上求一点P，使PA+PB最小，即 最小，则P点应为BC和x轴的交点，如图.
令直线BC的表达式为 .
∵ B为（ ， ），∴∴
∴ BC的表达式为 .
当 时， .∴ P点坐标为
【解析】【分析】（1） 设A点的坐标为（ ， ），则AM=b，OM=a， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点得出 ，即①， 根据三角形的面积计算方法得出②，将①代入②，求解即可得出k的值，从而求出反比函数的解析式；
（2）解联立正比例函数与反比例函数的解析式组成的方程组，求解得出A点的坐标， 设A点关于 轴的对称点为C ，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出C点的坐标， 如要在 轴上求一点P，使PA+PB最小，即 最小，则P点应为BC和x轴的交点，如图. 利用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据直线BC与x轴交点的坐标特点即可求出P点的坐标。
24．【答案】（1）解：由题意知：a-c-4=0，b-d-2=0，
∵a=1，d=2，
∴c=1-4=-3，b=2+2=4，
①易得A（1，4），B（-3，2）；
②设直线AB的解析式为y=kx+n，
由题意得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
令x=0，
则 ,
∴N（0， ），
；
（2）解：如果b=-1，
则d=-1-2=-3，
∵c=a-4，
∴ ，
同②可求得此时直线AB的解析式为 ，
当O、C两点在直线的两侧时，
如图所示，
则 ，
∴ ，
可以看到这种情况下不满足题意；
当O、C两点都在直线的左侧时，
如图，作BD⊥x轴于D，连接DA，
则 ，
结合A、B两点的坐标可以求到 ，
∵ ，
， ，
此时，若△AOB与△ABC面积和为9，
则 ，
解得 ；
当O、C两点都在直线的右侧时，
如图，延长BA于x轴交于点E，
由 可知，
当y=0时，
求得 ，
，
，
，
此时，若△AOB与△ABC面积和为9，
则 ，
解得 ，
综上所述， 或 .
【解析】【分析】（1）①根据非负数的性质得到a-c-4=0，b-d-2=0，根据a=1，d=2即可求出a和b的值，得到A和B的坐标；②求出直线AB的解析式，令x=0，求到y值，即可得到点N的坐标；（2）当b=-1时，可以求到d=-3，由（1）知c=a-4，即可得出A和B的坐标，算出直线AB的解析式，之后画图来计算△AOB与△ABC的面积，去讨论其和等于9的情况，发现O和C在直线同一侧的时候，面积是变化的值，不同侧的时候，面积是定值等于7，所以将同侧分别画图计算即可得到答案.
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