德宏州2023—2024学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知为边的中点.若，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知是复数共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 若，则的最小值为1
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（ ）
A. B. 双曲线离心率为
C. 矩形的面积为 D. 双曲线的渐近线方程为
11. 已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A. B.
C D.
12. 在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 若平面，则动点的轨迹长度为
D. 若平面，则三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________.
14. 已知，则值为_________.
15. 已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值为_________.
16. 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列与等比数列中，已知，，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）锐角中，，且，求的取值范围.
19. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，异面直线与所成角为.
（1）证明：与平面；
（2）在棱上是否存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点M在棱上的位置；若不存在，请说明理由．
20. 已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.
21. 设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个篮球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
22. 已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求出实数的取值范围；
（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.德宏州2023—2024学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两个集合的关系即可求出参数的取值范围.
【详解】由已知，得，又，
所以.
故选：A.
2. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【详解】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
3. 已知为边的中点.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出.
【详解】由，
所以.
故选：B
4. 已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间恰有两条对称轴，
所以，解得.
故选：A
5. 在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解.
【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，
可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则，可得，
则外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
6. 甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两人手中牌的点数之和是相等的，根据题意，需甲被抽取的两张牌的点数之和更小，分类讨论，结合组合数公式解决古典概型问题.
【详解】一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应比乙被抽取的小，
若甲被抽取的两张牌点数都为10，不合题意；
若甲被抽取的两张牌一张点数为10一张点数为5，则乙被抽取的两张牌点数都为9；
若甲被抽取的两张牌点数都为5，乙被抽取的两张牌点数都为9或一张点数为9一张点数为4.
则所求概率.
故选：D
7. 已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：B
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先得到的图象，令，则，分和两种情况，得到的值，进而结合函数图象，得到零点个数.
【详解】当时，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
则存在，使得，
画出的图象，如下：
令，则，
当时，令，解得或，
若，则，
结合图象可知，此时存在两个根，，
若，则，
结合图象可知，此时存在和满足要求，
当时，令得，
此时，
结合图象可知，此时存在两个根，
综上，共6个零点.
故选：C
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 若，则的最小值为1
【答案】CD
【解析】
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，但，故A错误；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：CD
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（ ）
A. B. 双曲线的离心率为
C. 矩形的面积为 D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据矩形和双曲线的对称性，结合双曲线的定义、离心率公式、渐近线方程逐一判断即可.
【详解】如下图所示：设，所以，
由双曲线的定义可知，
因为四边形为矩形，所以，
因此，所以选项A正确；
由，所以选项B正确；
矩形的面积为，所以选项C不正确；
因为，
所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，
故选：AB
11. 已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意是与交点的横坐标，是与交点的横坐标，作出图象，利用图象对称性依次求解判断.
【详解】由，得，即是与交点的横坐标，
由，得，即是与交点的横坐标，
画出，，，的图象，如下图所示，
与它们的交点依次为，
与关于直线对称，
所以，关于对称，则，，
由，解得，
所以，故A正确；
对于B，由，且，则，，
所以，令，，则，
所以函数在上单调递增，
，即，故B正确；
对于C，由，，所以，故C正确；
对于D，由，，则，
若，则，
当时与矛盾，又显然不成立，故D错误.
故选：ABC
12. 在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 若平面，则动点的轨迹长度为
D. 若平面，则三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AC；利用空间中两点间的距离公式计算判断B；利用锥体的体积公式推理判断D.
【详解】以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则、、、，，，
设点，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
，若平面，则，
则，解得，，与已知矛盾，A错误；
由，得，
则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，
因此动点的轨迹长度为，B正确；
若平面，则，即，
因此点在底面的轨迹为线段，点的轨迹长度为，C正确；
由于平面平面，平面，则点的轨迹为线段，
显然，，因此平面，而平面，
即平面，点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，从而为定值，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面位置关系.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________.
【答案】8
【解析】
【分析】由求出，利用方差公式即可求.
【详解】由可得或，
因为a、b是方程的两根，
不妨设，，
所以样本平均数为，
故样本方差为：.
故答案为：8
14. 已知，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15. 已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】令，且圆心，半径，又，且，结合圆的切线性质、两点距离公式及三角形(四边形)的面积公式得到，进而得到关于y的表达式求最值.
【详解】令，题设圆的圆心，半径，又，且，
所以，，，
则，故，
所以，当且仅当，即时取等号，
综上，的最小值为.
故答案为：
16. 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】在恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围.
【详解】在恒成立等价于，
所以，即对任意恒成立，
设，则
所以，当时，，函数单调递增，
且当时，，当时，，
若，则，
若，因为，且在上单调递增，所以，
综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.
设，，则，所以在单调递增，
所以，即a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列与等比数列中，已知，，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式和等差中项可解；
（2）根据裂项相消法求和
【小问1详解】
由题意，令公差为，公比为.
由，即，有；
，，；
由，即，有.
，.
【小问2详解】
由（1）有.
则有
.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）锐角中，，且，求的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图象和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图象和性质的应用求出结果.
【小问1详解】
由题意有
，
由，，有；
由，得.
故函数的最小正周期为，单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）有，即，
又，所以，所以，即，
由，所以，
则，.
因为是锐角三角形，所以即，所以，
所以.
则有.
所以，即
故的取值范围为.
19. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，异面直线与所成角为.
（1）证明：与平面；
（2）在棱上是否存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点M在棱上的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，为的中点
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由和异面直线与所成角为可求的长，再由线面垂直的判定定理证明；
（2）假设棱上是存在一点M，令，利用空间向量法表示两平面的夹角，求出的值.
【小问1详解】
由题意，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，由，
有，，，，，
，，.
由，有
由，有.
有，，，
，，
即，，又，
平面，平面.
故与平面.
【小问2详解】
假设棱上是存在一点M，令，
由，，设平面的法向量为，
易知，
由，.
设平面的法向量为，
则有，令，则，
则，
则由，解得：.
故存在为的中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率与四边形面积得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）联立直线与椭圆的方程，得到，，再利用弦长公式分别求得关于的表达式，从而得证.
【小问1详解】
依题意，有，当直线垂直于轴时，，
所以，解得，.
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）易得，
设直线的方程为，且，.
由，得，
易得，则，，
所以，
记的中点为，则
直线的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
则有，
又，
则有为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个篮球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）记事件为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，求出，再根据条件概率的计算公式即可得答案；
（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【小问1详解】
记事件为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，
又，
有；
【小问2详解】
由条件知，3，4，
且，
，
，
的分布列为：
X 2 3 4
P
故.
22. 已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求出实数的取值范围；
（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，令，即求的最小值，进而求解；
（2）由方程在区间上有两个根，可通过构造函数，转而利用导数考察函数的单调性和最值，即可求．
【小问1详解】
由题意有，.
则由题意，有，
即在上恒成立，，
即在上恒成立，，
令，
又在上单调递增，且，有，故.
【小问2详解】
由，方程有两个不同实数根，
即在上有两个不同实数根；
令，有；
令，有；
令，有；
由，有，即函数在上单调递增；
又，则，即函数上单调递增；
又，则，有，即；
，有，即；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
有，且；
由直线与函数有两个不同的交点；
故实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
