浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题(含解析)

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名称 浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题(含解析)
格式 docx
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-02-02 15:16:25

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文档简介

2023学年第一学期上虞区高二期末质量调测(数学)
一、单选题
1. 直线经过两点,则的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 数列满足,,则( )
A. B. C. D.
4. 已知分别是空间四边形的对角线的中点,点是线段的中点,为空间中任意一点,则( )
A. B. C. D.
5. 若方程表示的曲线是圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 在正方体中,过作一垂直于的平面交平面于直线,动点在直线上,是直线与所成角余弦值的最大值为( )
A. B. C. D. 1
7. 已知等腰直角斜边,分别为上的动点,将沿折起,使点到达点的位置,且平面平面.若点均在球的球面上,则球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 设椭圆的两个焦点是,过点的直线与交于点,若,且,则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 对于两条不同直线和两个不同平面,下列选项正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则或
C. 若,则或
D. 若,则或
10. 已知圆和圆的交点为,则( )
A.圆与圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点,使得
D. 圆上的点到直线的最大距离是
11. 教材章头语介绍:用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).圆锥轴截面的顶角为,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时,截口曲线为椭圆;当时,截口曲线为抛物线;当时,截口曲线为双曲线.在长方体中,,点在平面内,下列说法正确的是( )
A. 若点到直线的距离与点到平面的距离相等,则点的轨迹是抛物线
B. 若点到直线的距离与点到的距离之和等于4,则点的轨迹是椭圆
C. 若,则点的轨迹是抛物线
D. 若,则点的轨迹是双曲线
12. 如图,直平面六面体的所有棱长都为2,,为的中点,点是四边形(包括边界)内,则下列结论正确的是( )
A. 过点的截面是直角梯形
B. 若直线面,则直线的最小值为
C. 存在点使得直线面
D. 点到面的距离的最大值为
三、填空题
13. 求经过点,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是__________.
14. 设两个等差数列和的前项和分别为和,且,则___________.
15. 已知抛物线和圆,若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直,则实数.
16. 正三棱锥,,点为侧棱的中点,分别是线段上的动点,则的最小值为_____________.
四、解答题
17. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,,.
(1)若,求式;
(2)若,求.
18. 已知圆过点和点,圆心在直线上.
(1)求圆的方程,并写出圆心坐标和半径的值;
(2)若直线经过点,且被圆截得的弦长为4,求直线的方程.
19. 如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知抛物线的焦点为,为上一点且纵坐标为4,轴于点,且.
(1)求的值;
(2)已知点,是抛物线上不同的两点,且满足.证明:直线恒过定点.
21. 在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面平面.
(1)证明:;
(2)若点为棱上的动点,求平面与平面夹角的正弦值的最小值.
22. 已知椭圆的离心率是,且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,请求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、单选题
1. 【解答】C
由题知:,故,所以倾斜角;故选:C
2. 【解答】D
抛物线方程可转化为:,故焦点在轴正半轴,且,故焦点坐标为;故选:D.
3.【解答】B
由题知:;故选:B
4. 【解答】D
由题知:;故选:D
5. 【解答】A
要满足曲线是圆,则,解得:;故选:A
6.【解答】A
如图,易知平面,平面平面,故动点在直线上,设正方体棱长为1,并如图建立空间直角坐标系,则,设两直线所成角为,,故,即,令,则,
所以当时,即时,;故选:A
7.【解答】C
如图所示,为使得点均在球的球面上,即四点共圆,故需满足,而由平面平面可知:平面,故如右图建立空间直角坐标系,并设,图中点为的中点,且球心与点的连线与平行,且,易知,故由此知:,故半径,所以当时,,所以表面积的最小值为;故选:C.
8. 【解答】B
如图所示,由余弦定理知:,
解得:离心率;故选:B.
二、多选题
9.【解答】ACD
由题根据空间线面关系可知,选项A、C、D正确;而对于B,直线和互相垂直、平行、异面三种情况都有可能;故选:ACD
10.【解答】ABD
将两圆的方程转化为标准方程得:,,故,半径,所以,故,故两圆相交,故选项A正确;对于B,两圆方程相减得:,即为两圆的公共弦方程,故选项B正确;对于C,,故,而圆的直径为,故选项C错误;对于D,因,而圆的半径为2,故选项D正确;综上所述,故选:ABD.
11.【解答】BD
对于,点到直线的距离即为,而点到平面的距离即为点到直线的距离,故满足要求的点只能在线段上,故选项A错误;
对于,点到直线的距离即为,而点到的距离即为,故,故满足要求的点在以为焦点的椭圆上,故选项B正确;
对于和易知旋转轴与平面(截口平面)所成角的正切值为,而选项中的,即,故,故此时点的轨迹为椭圆,故选项错误;选项中的,即,故,故此时点的轨迹为双曲线,故选项正确;综上所述,故选:BD.
12. 【解答】ABD
对于A,过点的截面即为平面,如建立空间直角坐标系,易知,故,,故,故,所以四边形为直角梯形,故选项A正确;
对于B,如图分别为的中点,故平面平面,故点在线段上运动,易知,故,故,故的最小值即为,故选项B正确;
对于C,设平面的法向量为,故,令,则,故,设,而,故,要使得面,故,解得:,因点在四边形(包括边界)岗位,故须满足且,故选项C错误;
对于D,,故,故当时,点到面的距离最大,最大值为,故选项D正确;综上所述,故选:ABD.
三、填空题
13. 【解答】
设双曲线的方程为,将点代入得:,故双曲线的标准方程为:;
故填:
14. 【解答】
因等差数列,故;故填:
15. 【解答】
由抛物线的对称性,不妨设交点为,且满足,抛物线在点处的切线方程为,故由题知:,故解得:,代入圆方程可得:,故解得:;故填:.
16.【解答】
如图所示,易知,,故,设,则,故,所以,
而,故,故,
而,
所以;故填:.
四、解答题
17. 【解答】(1);(2)或21
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由得:,解得(舍去),,于是.
(2)由得,解得或.当时,得,∴;当时,得,∴,综上所述,故或21.
18.【解答】(1)圆心为,半径为;(2)或
(1)设圆的方程为,则,
解得,所以圆的方程为:,圆心为,半径为;
(2)由(1)知,圆心到直线的距离为,
于是当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意;
当直线斜率存在时,不妨设直线方程为,即,令,
解得,直线方程是,综上所述,直线的方程是:或.
19. 【解答】(1)略;(2)
(1)如图,取的中点,则平面.连接,则.又,
所以,于是平面.又,故平面.
(2)连接,则平面,从而平面平面.
∵,,所以.
作,垂足为,则平面,连接,则就是直线与平面所成角,设为.
在中,,在中,,于是,
故直线与平面所成角的正弦值为.
20.【解答】(1);(2)略
(1)显然点,由抛物线定义可知,,解得,所以抛物线方程为:;
(2)点在抛物线上.设直线,点,联立,得,在下,,所以
,整理,
得.将代入直线,得,即,所以直线恒过定点.
21.【解答】(1)略;(2)
(1)取中点,连接,由题可知正,同理,
又∵,∴,∴;
(2)如图建系,则,,
设,
∴,
∴,又,设面的法向量是,
则,令,则,
易得面的法向量是,

所以平面与平面夹角的正弦值的最小值为.
22.【解答】(1);(2)存在点满足题意,点的坐标是,此时的面积为.
(1)∵,∴,∴椭圆,即,设椭圆上的点到点的距离的最大值为,则

∴当时,取得最大值,,解得,∴,∴椭圆的方程为.
(2)假设存在点满足题意,则,即.设圆心到直线的距离为,
则,也即,∴,
于是,
当且仅当,即时,取得最大值.
由得,
∴存在点满足题意,点的坐标是,此时的面积为.
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