浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题（含解析）

2023学年第一学期上虞区高二期末质量调测（数学）
一、单选题
1. 直线经过两点，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，是直线与所成角余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知等腰直角斜边，分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则或
10. 已知圆和圆的交点为，则（ ）
A.圆与圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点，使得
D. 圆上的点到直线的最大距离是
11. 教材章头语介绍：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线.在长方体中，，点在平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹是抛物线
B. 若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹是椭圆
C. 若，则点的轨迹是抛物线
D. 若，则点的轨迹是双曲线
12. 如图，直平面六面体的所有棱长都为2，，为的中点，点是四边形（包括边界）内，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点的截面是直角梯形
B. 若直线面，则直线的最小值为
C. 存在点使得直线面
D. 点到面的距离的最大值为
三、填空题
13. 求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是__________.
14. 设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则___________.
15. 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数.
16. 正三棱锥，，点为侧棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为_____________.
四、解答题
17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.
（1）若，求式；
（2）若，求.
18. 已知圆过点和点，圆心在直线上.
（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
19. 如图，在三棱柱中，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知抛物线的焦点为，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且.
（1）求的值；
（2）已知点，是抛物线上不同的两点，且满足.证明：直线恒过定点.
21. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面.
（1）证明：；
（2）若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值.
22. 已知椭圆的离心率是，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，请求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1. 【解答】C
由题知：，故，所以倾斜角；故选：C
2. 【解答】D
抛物线方程可转化为：，故焦点在轴正半轴，且，故焦点坐标为；故选：D.
3.【解答】B
由题知：；故选：B
4. 【解答】D
由题知：；故选：D
5. 【解答】A
要满足曲线是圆，则，解得：；故选：A
6.【解答】A
如图，易知平面，平面平面，故动点在直线上，设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系，则，设两直线所成角为，，故，即，令，则，
所以当时，即时，；故选：A
7.【解答】C
如图所示，为使得点均在球的球面上，即四点共圆，故需满足，而由平面平面可知：平面，故如右图建立空间直角坐标系，并设，图中点为的中点，且球心与点的连线与平行，且，易知，故由此知：，故半径，所以当时，，所以表面积的最小值为；故选：C.
8. 【解答】B
如图所示，由余弦定理知：，
解得：离心率；故选：B.
二、多选题
9.【解答】ACD
由题根据空间线面关系可知，选项A、C、D正确；而对于B，直线和互相垂直、平行、异面三种情况都有可能；故选：ACD
10.【解答】ABD
将两圆的方程转化为标准方程得：，，故，半径，所以，故，故两圆相交，故选项A正确；对于B，两圆方程相减得：，即为两圆的公共弦方程，故选项B正确；对于C，，故，而圆的直径为，故选项C错误；对于D，因，而圆的半径为2，故选项D正确；综上所述，故选：ABD.
11.【解答】BD
对于，点到直线的距离即为，而点到平面的距离即为点到直线的距离，故满足要求的点只能在线段上，故选项A错误；
对于，点到直线的距离即为，而点到的距离即为，故，故满足要求的点在以为焦点的椭圆上，故选项B正确；
对于和易知旋转轴与平面（截口平面）所成角的正切值为，而选项中的，即，故，故此时点的轨迹为椭圆，故选项错误；选项中的，即，故，故此时点的轨迹为双曲线，故选项正确；综上所述，故选：BD.
12. 【解答】ABD
对于A，过点的截面即为平面，如建立空间直角坐标系，易知，故，，故，故，所以四边形为直角梯形，故选项A正确；
对于B，如图分别为的中点，故平面平面，故点在线段上运动，易知，故，故，故的最小值即为，故选项B正确；
对于C，设平面的法向量为，故，令，则，故，设，而，故，要使得面，故，解得：，因点在四边形（包括边界）岗位，故须满足且，故选项C错误；
对于D，，故，故当时，点到面的距离最大，最大值为，故选项D正确；综上所述，故选：ABD.
三、填空题
13. 【解答】
设双曲线的方程为，将点代入得：，故双曲线的标准方程为：；
故填：
14. 【解答】
因等差数列，故；故填：
15. 【解答】
由抛物线的对称性，不妨设交点为，且满足，抛物线在点处的切线方程为，故由题知：，故解得：，代入圆方程可得：，故解得：；故填：.
16.【解答】
如图所示，易知，，故，设，则，故，所以，
而，故，故，
而，
所以；故填：.
四、解答题
17. 【解答】（1）；（2）或21
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由得：，解得（舍去），，于是.
（2）由得，解得或.当时，得，∴；当时，得，∴，综上所述，故或21.
18.【解答】（1）圆心为，半径为；（2）或
（1）设圆的方程为，则，
解得，所以圆的方程为：，圆心为，半径为；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为，
于是当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线斜率存在时，不妨设直线方程为，即，令，
解得，直线方程是，综上所述，直线的方程是：或.
19. 【解答】（1）略；（2）
（1）如图，取的中点，则平面.连接，则.又，
所以，于是平面.又，故平面.
（2）连接，则平面，从而平面平面.
∵，，所以.
作，垂足为，则平面，连接，则就是直线与平面所成角，设为.
在中，，在中，，于是，
故直线与平面所成角的正弦值为.
20.【解答】（1）；（2）略
（1）显然点，由抛物线定义可知，，解得，所以抛物线方程为：；
（2）点在抛物线上.设直线，点，联立，得，在下，，所以
，整理，
得.将代入直线，得，即，所以直线恒过定点.
21.【解答】（1）略；（2）
（1）取中点，连接，由题可知正，同理，
又∵，∴，∴；
（2）如图建系，则，，
设，
∴，
∴，又，设面的法向量是，
则，令，则，
易得面的法向量是，
，
所以平面与平面夹角的正弦值的最小值为.
22.【解答】（1）；（2）存在点满足题意，点的坐标是，此时的面积为.
（1）∵，∴，∴椭圆，即，设椭圆上的点到点的距离的最大值为，则
，
∴当时，取得最大值，，解得，∴，∴椭圆的方程为.
（2）假设存在点满足题意，则，即.设圆心到直线的距离为，
则，也即，∴，
于是，
当且仅当，即时，取得最大值.
由得，
∴存在点满足题意，点的坐标是，此时的面积为.