20.1 数据的集中趋势本节综合练习题（含解析）

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20.1 数据的集中趋势本节综合练习题
一、填空题
1．一组数据﹣2、0、﹣3、﹣2、﹣3、1、x的众数是﹣3，则这组数据的中位数是　 　．
2．数据9.30，9.05，9.10，9.40，9.20，9.10的众数是　 　；中位数是　 　．
3．一组数据1、3、2、5、x的平均数是3，则方差S2＝　 　.
4．若多项式5x2＋17x﹣12可因式分解成（x＋a）（bx＋c），其中a、b、c均为整数，则a，b，c的中位数是　 　
5．一组数据为1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是　 　.
二、单选题
6．八年级（1）班30名学生的身高情况如下表：
身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.55 1.65 1.70
人数 x y 6 8 5 3 1
关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　）
A．众数，中位数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
7．在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（　　）
A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90
8．甲、乙两名运动员参加射击预选赛．他们的射击成绩（单位：环）如表所示：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 7 9 8 6 10
乙 7 8 9 8 8
设甲、乙两人成绩的平均数分别为 ， ，方差分别s甲2，s乙2，为下列关系正确的是（　　）
A． = ，s
B． = ，s ＜s
C． ＞ ，s ＞s
D． ＜ ，s ＜s
9．山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表。
株数(株) 7 9 12 2
花径(cm) 6.5 6.6 6.7 6.8
这批“金心大红”花径的众数为（　　）
A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm
10．某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）
A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元
11．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同, 按成绩取前8位进入决赛. 如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
12．学校食堂午餐有10元，12元、15元三种价格的盒饭供选择，若经过统计发现10元、12元、15元的盒饭卖出数量恰好分别占50%，30%、20%，则卖出盒饭价格的中位数是（　　）
A．10元 B．11元 C．12元 D．无法确定
13．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100
人数（单位：个） 2 4 5 3 1
关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　）
A．众数是100 B．平均数是30
C．极差是20 D．中位数是20
14．在中山市举行“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学捐款金额统计如下：
金额（元） 20 30 35 50 100
学生数（人） 20 10 5 10 5
则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（　　）
A．20元，30元 B．20元，35元
C．100元，35元 D．100元，30元．
15．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
　 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 9 8 6 7 8 10
乙 8 7 9 7 8 8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（　　）
A．他们训练成绩的平均数相同 B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同 D．他们训练成绩的方差不同
三、解答题
16．某学校设立学生奖学金时规定：综合成绩最高者得一等奖，综合成绩包括体育成绩、德育成绩、学习成绩三项，这三项成绩分别按1：3：6的比例计入综合成绩．小明、小亮两位同学入围测评，他们的体育成绩、德育成绩、学习成绩如下表．请你通过计算他们的综合成绩，判断谁能拿到一等奖？
体育成绩 德育成绩 学习成绩
小明 96 94 90
小亮 90 93 92
17．某中学开展演讲比赛活动，八年级(1)班、八年级(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分100分)如下图：八年级(1)班成绩为条形统计图，八年级(2)班成绩为扇形统计图．
（1）根据上图填写下表
班别 平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
八年级(1)班 85 　 　 85
八年级(2)班 85 80 　 　
（2）如果要在复赛成绩的十名选手中决定在同一班中选五名参加比赛活动，你认为哪个班实力更强一些？通过计算，说明理由．
18． 2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
成绩 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　c=　 　；
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数.
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好 请说明理由.
四、计算题
19．已知两个有理数：－9和5．
（1）计算： ；
（2）若再添一个负整数 ，且－9，5与 这三个数的平均数仍小于m，求m的值．
20．入为响应习近平提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛(竞每一项的满分10分，学生得分均为整数).在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，他们的四项成绩分布的条形统计图如图所示根据上图结果解答下列问题。
（1）补充完成下表
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
张山 9 　 9 　
李仕 　 9.5 　 1.5
（2）根据(1)题数据，分别从中位数、方差两个角度比较说明两位同学的各自优势
（3）若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分技4:1:2:3的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高。
五、综合题
21．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
组别 分数段（分） 频数 频率
A组 60≤x＜70 30 0.1
B组 70≤x＜80 90 n
C组 80≤x＜90 m 0.4
D组 90≤x＜100 60 0.2
（1）在表中：m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　 　组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明.
22．某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下表：
销售额(万元) 3 4 5 6 7 8 16
销售员人数 1 1 3 2 1 1 1
（1）求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额。
（2）若要从平均数，中位数，众数中选一个作为每月定额任务指标，你认为选哪一个统计量比较合适？请说明理由。
23．某商场举办的购物狂欢节期间与一知名APP支付平台合作，为答谢顾客，该商场对某款价格为a元/件（a＞0）的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如表：
支付方式 现金支付 购物卡支付 APP支付
频率 10% 30% 60%
优惠方式 按9折支付 按8折支付 其中有 的顾客按4折支付， 顾客按6折支付， 的顾客按8折支付
将上述频率作为事件发生的概率，回答下列问题：
（1）顾客购买该商品使用APP支付的概率是　 　；
（2）求顾客购买该商品获得的优惠超过20%的概率；
（3）该商品在促销优惠期间平均每件商品优惠多少元．
答案解析部分
1．【答案】﹣2
【解析】【解答】解：∵﹣2、0、﹣3、﹣2、﹣3、1、x的众数是﹣3，
∴x=﹣3，
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序﹣3、﹣3、﹣3、﹣2、﹣2、0、1位于最中间的数是﹣2，
∴这组数的中位数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
2．【答案】9.10；9.15
【解析】【解答】解：出现次数最多的是9.10，则众数是9.10；
将这些数按大小顺序排列，中间两个数为9.10，9.20，则中位数为9.15；
故答案为9.10，9.15．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
3．【答案】2
【解析】【解答】解：∵数据1、3、2、5、x的平均数是3，
∴（1+3+2+5+x）÷5＝3，
解得x＝4，
∴方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2；
故答案为：2.
【分析】根据平均数的计算方法可得x的值，然后结合方差就是各个数据与平均数差的平方和的平均数进行计算.
4．【答案】4
【解析】【解答】解：利用十字交乘法将5x2+17x-12因式分解，
可得：5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x＋a）（bx＋c）．
∴，
∵的中位数是4
∴a，b，c的中位数是4
故答案为：4．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法可得5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x＋a）（bx＋c），再利用待定系数法可得a、b、c的值，最后利用中位数的定义求解即可。
5．【答案】4.8或5或5.2
【解析】【解答】解：若a为数据的中位数，则数字排列在数据中第三个位置上。
当a=3时，平均数为
当a=4时，平均数为=5
当a=5时，平均数为=5.2
故答案为：4.8或5或5.2。
【分析】 找数据中的中位数，需要将数据由小到大进行排列，位于中间的数即为中位数，根据a的不同情况进行分类讨论即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由表格可得，x+y=30-6-8-5-3-1=7＜8，
重复次数最多的数据是1.53，
所以众数是1.53，
根据中位数定义30个数据中从小到大排列，处于15和16两个位置上的数据的平均数
第15，第16个数据都是1.53，
中位数也是1.53，
所以众数和中位数不会随着x、y的变化而变化．
故答案为：A
【分析】根据众数、中位数和方差的定义逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：80出现2次，是出现次数最多的数，因此众数是80；
从小到大排列：75,80,80,85,90，处于最中间是数是80，因此这组数据的中位数是80.
故答案为：B
【分析】众数就是一组数据出现次数最多的数，把一组数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；即可得出答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：（1） = （7+8+9+6+10）=8；
= （7+8+9+8+8）=8；
s = [（7﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=2；
s = [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.2；
∴ = ，s ＞s
故答案为：A．
【分析】根据平均数的计算方法分别算出甲乙两人的平均成绩，再根据方差=这组数据中的每一个数据分别减去其平均数差的平方和的平均数，即可得出各自的方差，即可进行选择了。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，
这批“金心大红”花径的众数为6.7，
故答案为： ．
【分析】众数就是一组数据中出现次数最多的数，利用表中数据可得出这批“金心大红”花径的众数。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：从小到大排列此数据为：3000元，4000元，5000元，7000元，10000元，
5000元处在第3位为中位数，
故他们工资的中位数是5000元．
故选B．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
11．【答案】C
【解析】【解答】解：这15位同学中的第8名就是中位数，如果小刘的成绩比第8名的成绩好，就能进入决赛。所以要知道其他15位同学成绩的中位数.
故选C.
【分析】中位数是把一组数从小到大排列（或从到大小排列），排在最中间的数就是中位数；或者是最中间的两个数的平均数．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵10元、12元、15元的盒饭卖出数量恰好分别占50%，30%、20%，
∴最中间的两个数是10元、12元，
∴中位数是10和12的平均数，（10+12）÷2=11（元）；
故选B．
【分析】根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可得出答案．
13．【答案】D
【解析】【解答】解：A、众数是20，故本选项错误；
B、平均数为26.67，故本选项错误；
C、极差是95，故本选项错误；
D、中位数是20，故本选项正确；
故选D．
【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合表格即可得出答案．
14．【答案】A
【解析】【解答】观察图表可得，捐款金额为20元的学生数最多为20人，所以众数为20元；已知共有50位同学捐款，可得第25位同学和26位同学捐款数的平均数为中位数，即中位数为 =30元；故答案为：A．
【分析】众数是指在一组数据中，出现次数最多的数据；中位数是指将这组数据从小到大排列，偶数个数据中中间两个数（第25和第26）的平均数。根据定义即可求解。
15．【答案】D
【解析】【解答】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为 =8，中位数为 =8、众数为8，
方差为 ×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]= ，
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为 = ，中位数为 =8、众数为8，
方差为 ×[2×（7﹣ ）2+3×（8﹣ ）2+（9﹣ ）2]= ，
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故答案为：D.
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义，分别求出甲、乙两名同学的平均数、中位数、众数及方差，即可求解.
16．【答案】解：小明的综合成绩=0.1×96+0.3×94+0.6×90=91.8，
小亮的综合成绩=0.1×90+0.3×93+0.6×92=92.1，
∵92.1＞91.8，
∴小亮能拿到一等奖．
【解析】【分析】根据加权平均数的定义分别计算两人的加权平均数，然后比较大小即可．
17．【答案】（1）85；100
（2）② ＝ ×[(85﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(100﹣85)2]＝70，
＝ ×[(70﹣85)2+(100﹣85)2+(100﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2]＝160，
∵八年级(1)班的方差小于八年级(2)班的方差，
所以选派八年级(1)班参加比赛．
【解析】【解答】解：（1）将八年级(1)班成绩重新排列为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分，
八年级(2)班100分人数最多，
所以其众数为100，
补全表格如下：
班别 平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
八年级(1)班 85 85 85
八年级(2)班 85 80 100
【分析】（1）根据中位数和众数定义求解；（2）运用方差进行决策.
18．【答案】（1）2；78.5；80
（2）解：由题可得：
1200×+1000×
＝340（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）解：可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，且八年级的方差小于七年级的，所以八年级学生的竞赛成绩更好
【解析】【解答】解：（1）根据收集数据中，七年级10名同学测试成绩可知90≤x<100的学生有91和95两名同学，所以a=2；七年级10名同学测试成绩的中位数==78.5，所以b=78.5；
八年级10名同学测试成绩中，80出现2次，其他都是出现1次，所以众数c=80；
故答案为：2；78.5；80.
【分析】（1）根据收集数据中的数据，进行分析，在90≤x<100的学生有几名就可以求出a的值；根据中位数得概念，即一组数据中中间的数值或者中间两个数值的平均值，可以求出b的值；根据众数的概念，即一组数据中出现最多的数，可以求出c的值；
（2）根据概率的定义，可以求出七年级和八年级学生优秀的概率；再根据总人数 优秀人数概率即可求出这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数；
（3）根据平均数、中位数和众数得概念进行比较，即可判断.
19．【答案】（1）解： = ；
（2）解：依题意得 ＜m
解得m＞-2
∴负整数 =-1．
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；（2）根据平均数的定义列出不等式即可求出m的取值，故可求解．
20．【答案】（1）解：张山的得分为：8，9，9，10，
最中间的数是9和9
∴张山得分对的中位数为：（9+9）÷2=9；
方差为：
李仕的得分：7，9，10，10,
平均成绩为：
10出现了2次，是出现次数最多的数，
∴李仕得分的众数为10；
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
张山 9 9 9 0.5
李仕 9 9.5 10 1.5
（2）从中位数角度考虑，李仕大于张山，说明李仕高分项目多；
从反差角度考虑，李仕大于张山，说明张山各项成绩均衡。
（3）张山的综合得分为：分；
李仕的综合得分为：分；
8.9＞8.7.
∴张山的综合得分更高.
【解析】【分析】（1）从条形统计图中可得到四项成绩，利用中位数的定义和方差的计算方法可求出张山的中位数和方差；再利用平均数公式，可求出李仕的平均分，根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可求出李仕成绩的众数。
（2）从表中的各项数据，从不同的角度进行分析即可。
（3）根据实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分技4:1:2:3的比例折合成综合得分，利用加权平均数公式，分别求出张山和李仕的综合平均成绩，再比较大小，可作出判断。
21．【答案】（1）120；0.3
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）C
（4）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A、C两组同学的有2种结果，
∴抽中A、C两组同学的概率为.
【解析】【解答】解：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1＝300（人），
∴m＝300×0.4＝120，n＝90÷300＝0.3.
故答案为：120，0.3；
（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组.
故答案为：C；
【分析】（1）利用A组的频数除以频率可得总人数， 根据总人数乘以C组的频率可得m的值，根据B组的频数除以总人数可得n的值；
（2）根据m的值可补全频数分布直方图；
（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，据此可得中位数；
（4）画出树状图，找出总情况数以及抽中A、C两组同学的情况数，然后根据概率公式进行计算.
22．【答案】（1）解：∵销售额从小排到大后，中间两个数是5和6
∴销售额的中位数是5.5万元---2分
∵销售额是5万元的人数最多
∴众数是5万元---2分
∵1+1+3+2+1+1+1=10
∴ =6.5(万元)
即平均每人完成的销售额为6.5万元.
（2）解：如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有5人；如果以销售额的众数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有2人；如果以销售额的平均数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有7人，所以选择中位数比较合适.
【解析】【分析】（1）分别利用中位数、众数和平均数的定义计算即可；
（2）根据求得的中位数、众数和平均数，结合销售情况表分析判断即可.
23．【答案】（1）
（2）解：顾客购买该商品获得的优惠超过20%的概率为（ ）×60%＝ ；
（3）解：10%a×0.9+30%a×0.8+60%a× ×0.4+60%a× ×0.6+60%a× ×0.8＝0.69a，
则该商品在促销优惠期间平均每件商品优惠a﹣0.69a＝0.31a（元）．
【解析】【解答】解：（1）顾客购买该商品使用APP支付的概率是60%＝ ，
故答案为： ；
【分析】（1）由表格中选择APP支付的频率即可得；（2）优惠超过20%即优惠超过8折，结合表格可得；（3）先利用加权平均数计算出优惠后的价格，再用原价减去优惠后价格即可得．
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