第十章 10.1.3 古典概型(二) 课时练（含答案）

10.1.3　古典概型(二)
1．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作．若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为(　　)
A. B. C. D.
3．将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
4．将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则剩下的三个数的平均数大于5的概率为(　　)
A. B. C. D.
5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
6．(多选)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
B．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为
D．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
7．如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是________．
8．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为________．
9．垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括某市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2023年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，该市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；
(2)学校要求对不及格(60分以下)的同学进行补考，现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50,70)的同学中抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率．
10．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
11．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，两枚骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　)
A. B. C. D.
12．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是(　　)
A. B. C. D.
13．某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，则|x－y|≤5的概率为(　　)
A. B. C. D.
14．(多选)如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是(　　)
A．线段的长为1的概率是0.4
B．线段的长为2的概率是0.5
C．线段的长为的概率是0.4
D．线段的长为的概率是0.8
15. 如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是(　　)
A. B. C. D.
16．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到消费者的喜欢．某“网红”甜品店出售几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了本店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得到如下表格：
甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品
销售总额(万元) 10 5 20 20 12
销售量(千份) 5 2 10 5 8
利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
(利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值)
(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率；
(2)假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x1元，销售一份B甜品获利x2元，销售一份C甜品获利x3元，销售一份D甜品获利x4元，销售一份E甜品获利x5元，设＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过元的概率．
10．1.3　古典概型(二)
1．D　2.A　3.C　4.C　5.C
6．ABC　[对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人，则该试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)、(乙、丙)}，共3个样本点，其中，甲被选中的样本点有2个，故甲被选中的概率为P＝，故A正确；对于B，样本空间Ω＝{(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)}，共4个样本点，而能构成三角形的样本点只有(3,5,7)一个，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝，故B正确；对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率计算公式得，所求的概率是，故D错误．]
7.
8.
解析　用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8，共2种不同的组合，其和分别为5,9；
第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3,2与7,6与3,6与7，共4种不同的组合，其和分别为5,9,9,13，故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数，有2＋4＝6(种)不同的组合，其中两个数的和不小于9的有4种，
所以这两个数的和不小于9的概率为P＝＝.
9．解　(1)由题意得(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，
解得a＝0.005，
平均成绩为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5.
(2)由题意知抽取的5人中，成绩在[50,60)内的有2人，记为a，b；成绩在[60,70)内的有3人，记为A，B，C.
随机试验的所有可能结果有
ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个，
其中至少有1人需要补考的结果有
ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，共7个．
所以所求概率为P＝.
10．解　(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型．设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，
所以P(M)＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型．设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝.
11．C
12．C　[甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的直线共有×6×6＝18(对)，而互相垂直的有5对，故所求的概率P＝.]
13．A　[由频率分布直方图，可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190,195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组(x，y)表示样本点，M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180,185)，则M＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6种情况；若x，y∈[190,195]，则M＝{(A，B)}，共1种情况；若x∈[180,185)，y∈[190,195](或x∈[190,195]，y∈[180,185))，则M＝{(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)}，共8种情况．所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x－y|≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P(|x－y|≤5)＝.]
14．AC　[在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点，线段长为1的样本点有(A，B)，(A，F)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，共有6个，所以线段长为1的概率P1＝＝0.4，故A正确；线段长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个，所以线段长为2的概率P2＝＝0.2，故B不正确；线段长为的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共有6个，所以线段长为的概率P3＝＝0.4，故C正确；D不正确．]
15．A　[由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16个，
满足题意的样本点为(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3个．
由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.]
16．解　(1)由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份，
设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A，
则P(A)＝.
(2)由题意得甜品A，B，C，D，E分别获利为8,5,3,10,3.
所以＝＝，故A甜品和D甜品获利超过，从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同甜品，共含有10个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.设“至少有一种甜品获利超过元”为事件M，则事件M包含7个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，所以至少有一种甜品获利超过元的概率为P(M)＝.