第十章 §10.1 习题课 古典概型的应用 课时练（含答案）

习题课　古典概型的应用
1．小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A∪B)等于(　　)
A. B. C. D.
2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
3．张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．洛书古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1－9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为(　　)
A. B. C. D.
5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
6．(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是(　　)
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
7．假设有6位毕业生(分别记为A，B，C，D，E，F)应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此6个人中只有2个能被录用，如果6个人被录用的机会相等，则A，B中至少有一个人被录用的概率是________．
8．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为________．
9．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用比例分配的分层随机抽样方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
11．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
12．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春宫·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为(　　)
A. B. C. D.
13．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
14．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为________，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为________．
15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
16．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“1”的球有2个，标有数字“2”的球有2个，标有数字“3”的球有2个．规定取出一个标有数字“1”的球记1分，取出一个标有数字“2”的球记2分，取出一个标有数字“3”的球记3分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球．规定取出球的总积分多者获胜．
(1)求甲、乙平局的概率；
(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．
习题课　古典概型的应用
1．B　2.A　3.B　4.A
5．D　[由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示．
由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确．]
6．AD　[设任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正确；B型血的人能为B型，AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，故B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，其概率为0.35，故C错误；由任何人的血都可以输给AB型血的人知其概率为1，故D正确．]
7.
8.
解析　记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，易知A，B为互斥事件，A∪B与C为对立事件，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝＋＝，
所以P(C)＝1－P(A∪B)
＝1－＝.
9．解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的样本点为(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6个；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的样本点为(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6个；
“甲、乙都抽到选择题”的样本点为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6个；“甲、乙都抽到判断题”的样本点为(p1，p2)，(p2，p1)，共2个．
因此样本点的总数为
6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
10．解　(1)因为样本量与总体容量的比是＝，
所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3，
100×＝2.
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取2件商品构成的所有样本点为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
11．B
12．B　[从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，样本点为(金，石)，(金，土)，(金，革)，(金，丝)，(金，木)，(石，土)，(石，革)，(石，丝)，(石，木)，(土，革)，(土，丝)，(土，木)，(革，丝)，(革，木)，(丝，木)，共15个．
∵“金、石、木、革”为打击乐器，“土”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．
∴“两音”同为打击乐器包含(金，石)，(金，革)，(金，木)，(石，革)，(石，木)，(革，木)，共6个样本点，则“两音”同为打击乐器的概率为＝.]
13．D　[由题意可知
即即
解得14.　
解析　将4把钥匙编号为1,2,3,4，其中1号和2号能打开门，依次从中选取两把钥匙，如果把第一次打不开的钥匙扔掉，则可能出现的结果列表如下．
第一次打不开的钥匙扔掉
1 2 3 4
1 × 12 13 14
2 21 × 23 24
3 31 32 × 34
4 41 42 43 ×
设事件A表示第二次才打开门，
则A＝{31,32,41,42}，
所以P(A)＝＝.
如果试过的钥匙又混进去，则可能出现的结果列表如下．
第一次打不开的钥匙又混进去
1 2 3 4
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
设事件B表示第二次才打开门，
则B＝{31,32,41,42}，
所以P(B)＝＝.
15．D　[设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．
共6种等可能结果．
其中田忌获胜的只有一种，
即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，
则田忌获胜的概率为.]
16．解　(1)记标有数字“1”的球为a，b，标有数字“2”的球为c，d，标有数字“3”的球为e，f，
则甲的可能取球共有以下20个样本点：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，
由于6个小球总分为1×2＋2×2＋3×2＝12(分)，故甲、乙平局时都得6分，
所以甲取出的三个小球是1个数字“1”的球和1个数字“2”的球和1个数字“3”的球，
即ace，acf，ade，adf，bce，bcf，bde，bdf，共有8个样本点，
故平局的概率为＝.
(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性．理由如下：
甲获胜，得分只能是7分或8分，即取出的是1个数字“1”的球和2个数字“3”的球，或2个数字“2”的球和1个数字“3”的球，或1个数字“2”的球和2个数字“3”的球，即aef，bef，cde，cdf，cef，def，共6个样本点．
故先取者获胜的概率P1＝＝，后取者获胜的概率
P2＝1－－＝.
即P1＝P2，先取后取获胜的概率一样，故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．