第2课时 正弦定理(一)
1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于( )
A．1 B．2 C. D.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于( )
A．2 B. C. D．1
4．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C等于( )
A．45° B．15°
C．45°或135° D．15°或105°
5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B. C．－ D.
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( )
A．a＝3，b＝4，A＝ B．a＝3，b＝4，cos B＝
C．a＝3，b＝4，C＝ D．a＝3，b＝4，B＝
7．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝________.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________.
9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值．
10．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a的值．
11．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )
A．3∶4∶5 B．5∶4∶3
C．2∶∶1 D．1∶∶2
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________．
15．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________．(填序号)
①sin A>sin B；
②cos A
③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
16．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围．
第2课时 正弦定理(一)
1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.BCD 7.或 8.
9.解 ∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
10.解 由正弦定理＝，
得sin B＝＝.
因为b>c，所以B>C＝30°，
所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，
a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，
a＝＝＝6.
所以a＝6或12.
11.B 12.C
13.D [在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.]
14.(，2)
解析 在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，
即15.①②③
解析 A>B a>b sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
∵A>B，∴cos A在锐角三角形中，∵A＋B>，
∴0<－B又函数y＝sin x在区间上单调递增，
则sin A>sin，
即sin A>cos B，
同理sin B>cos A，故③成立.
16.解 由正弦定理，
得＝＝，
即＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c
＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin，
又B∈，
∴B＋∈，
∴sin∈，
∴L∈(2，3].
即△ABC的周长的取值范围为(2，3].第5课时 余弦定理、正弦定理的应用
1．(多选)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A等于( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是( )
A. B．1 C. D.
4．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a等于( )
A．1 B. C. D.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )
A．8＋ B．9＋
C．10＋ D．14
6．(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则下列说法正确的是( )
A．△ABC的面积为8
B．△ABC的周长为8＋4
C．△ABC为钝角三角形
D．sin∠CDB＝
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，A＝60°，则角B＝________，△ABC的面积是________．
8．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是__________．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝6，△ABC的面积为2，求a的值．
10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
11.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为( )
A．4 B．4 C．8 D．4
12．已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A．6 B．3 C．4 D．8
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A＝，且B为钝角，则sin A＋sin C的取值范围是( )
A. B.
C. D.
14．已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，则AD＝________.
15．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
16．设f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f ＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
第5课时 余弦定理、正弦定理的应用
1.BD 2.C 3.AD 4.A 5.B
6.ABC [如图，在△BCD中，
CB＝2CD，
cos∠CDB＝－，
由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠CDB，
得4CD2＝9＋CD2＋CD，
即CD2－CD－3＝0，
解得CD＝，BC＝2，
又由余弦定理的推论得
cos B＝＝，
则sin B＝，
在△ABC中，由余弦定理，得
AC＝
＝＝2，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BCsin B＝8，A正确；
△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4，B正确；
显然AB是最大边，cos∠ACB＝＝－<0，所以∠ACB为钝角，C正确；
sin∠CDB＝＝，D不正确.]
7.45° 8.(，3)
9.解 (1)∵(sin B＋sin C)2
＝sin2A＋sin Bsin C.
∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝－，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵S＝bcsin A＝bc＝2，
∴bc＝8，
又b＋c＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28，
∴a＝2.
10.解 (1)因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B
＝2cos2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，
所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积为S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
11.D [因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
所以cos∠ADC＝＝，
因此cos∠ADB＝－，
所以sin∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝
＝＝4.]
12.A [设向量a与b的夹角为θ，则由题意得，cos θ＝＝＝，
则sin θ＝，所以平行四边形的面积为S＝2××|a|·|b|sin θ＝×2×＝6.]
13.A [由tan A＝以及正弦定理得＝＝，
所以sin B＝cos A，
即sin B＝sin，又B为钝角，所以＋A∈，
故B＝＋A，
C＝π－(A＋B)＝－2A>0
A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－22＋，
因为A∈，
所以0因此<－22＋≤，
即sin A＋sin C的取值范围是.]
14.
解析 如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴×3×2×sin 60°＝×3AD×sin 30°＋×2AD×sin 30°，
∴AD＝.
15.C [如图，连接BD，
由余弦定理，得
在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，
∴20－16cos A＝52＋48cos A，
解得cos A＝－，
∴A＝120°，C＝60°.
S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.]
16.解 (1)f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R.
化简可得，f(x)＝sin 2x－－cos
＝sin 2x＋sin 2x－
＝sin 2x－，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)由f ＝0，即sin A－＝0，
可得sin A＝，
∵0由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2.
∵b2＋c2≥2bc，
当且仅当b＝c时等号成立.
∴1＋bc≥2bc，∴bc≤2＋.
∴△ABC的面积为
S＝bcsin A≤.
故△ABC面积的最大值为.第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10 海里 B. 海里
C．5 海里 D．5 海里
2．(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好 km，则x的值为( )
A. B．2 C．2 D．3
3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5 海里/时 B．5海里/时
C．10 海里/时 D．10海里/时
4．从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船的俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米 B.h米 C.h米 D．2h米
5．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则该建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
6.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
7．一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________ km.
8.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则两景点B与C的距离为________ km(精确到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)．
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长．
11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为( )
A．测量A，B，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量A，B，C
12.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5 m C．5(－1)m D．5(＋1)m
13．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°方向前进100 m 到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝________.
15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为_______________．
16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以10 海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟)．
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
1.D 2.AB 3.D 4.A 5.C
6.B [依题意，可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理的推论，
得cos∠CAD＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]
7.30 8.11.3
9.解 (1)依题意，知∠BAC＝120°，
AB＝6，AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，
∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝
＝.
10.解 在△ABC中，
因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，
得AB＝·sin C＝×
＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.ABC
12.D [方法一 设AB＝x m，
则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x)m.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，
∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝45°－30°＝15°.
由正弦定理，
得AC＝·sin∠ADC
＝·sin 30°＝5(＋)m.
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
即A点离地面的高AB等于5(＋1)m.]
13.A [如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，
则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝ h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.]
14.
解析 依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，
解得AC＝1 260(m).
在△ABC中，由余弦定理的推论得，
cos A＝
＝＝，
所以sin A＝
＝＝.
15. km， km， km
解析 由题意得，在△ABC中，
AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，
则AB＝(12＋x)km，
AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，
cos∠ACB＝
＝＝，
在△ACD中，
cos∠ACD＝
＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，
∴＝－，
即＝，
解得x＝.即AC＝(km).
∴AB＝(km)，AD＝(km).
16.解 设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D点)故障船，
则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos 120°＝6.
∴BC＝.
又∵＝，
∴sin∠ABC＝
＝＝，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，
得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°<∠BCD<60°，
∴∠BCD＝30°，
∴救援船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，
即10t＝.
∴t＝(小时)≈15(分钟).
∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟.第3课时 正弦定理(二)
1．在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B等于( )
A．45° B．90°
C．135° D．45°或135°
2．(多选)在△ABC中，若a＝2bsin A，则B等于( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于( )
A. B. C. D.
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bccos A
B．asin B＝bsin A
C．a＝bcos C＋ccos B
D．acos B＋bcos C＝c
6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝________，a＝______.
8．在△ABC中，若b＝acos C，则△ABC的形状为______________．
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为( )
A．16π B．8π C．2π D．4π
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( )
A. B．－ C．± D.
13．在△ABC中，若A＝，sin B＝cos C，则△ABC为( )
A．直角非等腰三角形
B．等腰非直角三角形
C．非等腰且非直角三角形
D．等腰直角三角形
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝__________，角C的最大值为________．
15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________.
16．在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
第3课时 正弦定理(二)
1.A 2.AC 3.C 4.A 5.ABC
6.A [∵＝，
∴由正弦定理得＝，
整理得acos A＝bcos B，
由正弦定理得
sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
当A＋B＝时，C＝，
此时△ABC为直角三角形，有ccos B＝a，则a－ccos B＝0，分母无意义，故舍去，
∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形.]
7. 8.直角三角形
9.解 (1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0(2)由正弦定理，
得sin B＝＝.
所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝a＝1.
综上可得，c＝1或2.
10.解 (1)由余弦定理的推论，
得cos B＝，
cos C＝，
∴原式化为·＝－，
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝＝＝－，
又0(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
11.D
12.A [因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，又sin B≠0，所以cos B＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.]
13.D [由A＝，sin B＝cos C ＝ ＝＝＋tan C＝ tan C＝1，又C∈(0，π)，则C＝，
所以B＝，△ABC为等腰直角三角形.]
14.2
解析 ∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，
∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2
＝2，
∴cos C＝＝≥，
∵0当且仅当a＝b时取等号.
即角C的最大值为.
15.
解析 由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝5ac，
由正弦定理，
得sin2B＝5sin Asin C＝，
所以sin Asin C＝，
所以＝
＝.
16.解 (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.
因为0(2)由正弦定理及(1)得
＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin.
又0所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2.6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为( )
A．30° B．60° C．45° D．90°
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
5．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4 C．1 D.
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.
9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
10．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B. C. D.
13．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有( )
A．sin(B＋C)＝sin A
B．cos(B＋C)＝cos A
C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D．若a2＋b214．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·＝________.
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为________．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
第1课时 余弦定理
1.B 2.A 3.B 4.A 5.BD 6.A 7. 8.
9.解 (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)
＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2cos A＝1，
∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，
a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·
＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，
解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形.
10.解 (1)∵cos A＝2cos2－1，
2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，∴A＝120°.
(2)由余弦定理，
知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，
解得c＝2或c＝－4(舍去).
11.A
12.D [设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝.]
13.AC [依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；
因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0因为a2＋b214.－19
解析 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)
＝×(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.
15.14
解析 已知a－b＝4，
则a＞b且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，
所以b＝c＋4，则b>c.
从而知a>b>c，所以a为最大边，
故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc
＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，
解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14，
即此三角形的最大边长为14.
16.解 (1)由已知得，－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，
所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0所以B＝.
(2)由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝32＋.
又0所以≤b2<1，
即≤b<1，
b的取值范围为.