叙州区二中2023年秋期高三期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为
A． B． C． D．
3．采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为
A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022年1月至4月制造业逐月收缩
D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
4．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍
5．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是
A． B． C． D．
6．已知，则
A． B． C． D．
7．若，，，则
A． B． C． D．
8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则
A． B． C． D．
9．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是
A． B． C． D．
10．已知某校高三（1）班有8位同学特别优秀，从他们中随机选取若干位参加市里举办的百科知识竞赛，选取的方法是，由班主任和教务主任两位老师各随机给其中4位同学投票，被两位老师都投票的同学参加竞赛，则恰有3人参加竞赛的概率为
A． B． C． D．
11．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为
A． B． C． D．
12．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与平行，则实数a的值是 .
14．若展开式的常数项为，则正整数n的值为 .
15．已知函数为上的奇函数，则实数 ．
16．在棱长为1的正方体中，点是对角线的动点（点与不重合），则下列结论正确的有 .
①存在点，使得平面平面；
②分别是在平面，平面上的正投影
图形的面积，存在点，使得；
③对任意的点，都有；
④对任意的点的面积都不等于.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)三角形的三边a，b，c满足，求的取值范围．
18．（12分）2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，是菱形，分别是的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
20．（12分）动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
(1)求曲线C的方程；
(2)求证：；
(3)求△ ABM的面积的最小值．
21．（12分）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：函数有两个零点；
(3)若函数有两个不同的极值点（其中），证明：．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）
(1)求圆C的半径以及圆心的直角坐标；
(2)若点直线l上，且在圆C内部（不含边界），求的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若为正实数，且，求证：.叙州区二中2023年秋期高三期末考试
理科数学参考答案
1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．B 12．D
13． 14．4 15．1 16．①②③
17．（1）解：由题意得：
当时，函数单调递增，解得：
的单调递增区间：
（2）由可知
由余弦定理得：
故可知 ∴
又
∴．
18（1）由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，
则，解得，
平均数为：；
（2），，
，，
，
由题意知：
19．（1）证明：因为侧面为矩形，所以，
因为平面，平面平面，
平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面为菱形，所以，
因为，所以平面
（2）取的中点，连接，因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，所以，因为，所以，
所以平面，所以两两垂直.
以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系.
设，则，且，
则，，，，
，.，，
，，
设平面的一个法向量，由，得，求得，
设平面的一个法向量，
由，得，求得， ，
，所以二面角的正弦值为.
20．（1）解：由已知，动点在直线上方，
条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，
∴ 动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．
（2）证：设直线的方程为：，由得：，
设，则，．由得：，，
∴ 直线的方程为：① ，
直线的方程为：② ，
① －② 消y得：
，即，
将代入① 得：，
，故，
， ．
（3）解：由（2）知，点到的距离，
，
，∴ 当时，的面积有最小值4．
21．（1）解：，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以函数的单调区间为和；
（2）证明：由（1）知，因为，所以，
又当时，，，
所以函数在上存在一个零点，在上存在一个零点，所以函数有两个零点；
（3）证明：，则，
因为函数有两个不同的极值点（其中），所以，，
要证等价于证，即证，
所以，因为，所以，
又，，作差得，所以，
所以原不等式等价于要证明，即，
令，
则上不等式等价于要证：，令，
则，所以函数在上递增，
所以，所以，所以．
22．（1）由圆C的极坐标方程得，
所以圆C的直角坐标方程为，即，
所以圆C的半径为4，圆心为．
（2）设，将代入，得．
根据直线l的参数方程中参数的几何意义可知，表示直线l上的点到点的距离，
又因为为圆C的圆心，所以，即，即的取值范围是．
23．（1）由题意，函数，
当时，函数单调递减，所以；
当时，函数单调递减，所以；
当时，函数单调递增，所以，
综上可得，函数的最小值为，所以.
（2）由（1）可得，实数为正实数，且，
所以
.
当且仅当时等号成立，所以.
