叙州区高2021级高三上期期末考试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则则=
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．
3．2022年4月23日是第27个世界读书日，以引导全民阅读为出发点，弘扬中华优秀文化，传承中华悠久文明，我校高一年级部举行了“培养阅读习惯，分享智慧人生”为主题的读书竞赛活动.如图所示的茎叶图是甲 乙两个代表队各7名队员参加此次竞赛的成绩，乙队成绩的众数为，则下列关于这两个代表队成绩的叙述中，其中错误的是
A．甲队的众数大于乙队的众数 B．甲队的中位数大于乙队的中位数
C．甲队的平均数小于乙队的平均数 D．甲队的方差小于乙队的方差
4．若，则
A． B． C． D．
5．设，则“”是“ ”为偶函数的
A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，，，则
A． B． C． D．
7．函数在区间上的图像可能是
A． B．
C． D．
8．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则
A．1 B．2 C．4 D．8
9．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
12．若不等式的解集为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .
14．中，，，，则在方向上的投影为 .
15．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为：“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里．”则他第一天走了 里路，前四天共走了 里路．
16．2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为 千米．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）设各项为正数的数列的前n项和为，数列的前n项积为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求的长.
19．（12分）某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
22 23 24 25 26
频数 10 10 15 9 6
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
20．（12分）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
21．（12分）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若关于t的方程有两个不相等的实根，求证：．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知直线和曲线交于两点，设点，求.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
(1)当时，求的解集；
(2)设，若对， ，使得成立，求实数a的取值范围．叙州区高2021级高三上期期末考试
文科数学参考答案
1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．A 12．C
13． 14． 15．192 360 16．
17．（1）当时，，即，则，
当时，由得：，所以，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，解得，
所以，经检验，满足，
，
当时，，由（1）知，综上所述，
18．（1）证明：因为为矩形，所以，又因为平面，所以，
因为平面，平面，，所以平面，
又因为平面，所以；又因为，是中点，
所以，因为平面，平面，,所以平面；
（2）连接EF，DF，因为，所以，，设，
所以， 因为，平面，
所以平面，所以，由（1）知，平面，
所以，
解得，所以.
19．（1）由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，若当天卖完元，
若当天卖不完剩余1箱元，
若当天卖不完剩余2箱元，
所以元.
（2）由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，
若当天卖完元，
当天卖不完剩余1箱元，
当天卖不完剩余2箱元，
当天卖不完剩余3箱元，
所以元，显然小于每天的进货量为24箱的期望利润，
所以应当购进24箱.
20．（1）解：设椭圆，
由离心率为，得，
又因为，所以．由在椭圆上可得，
解得，．所以椭圆的方程为．
（2）当直线与x轴垂直时，设，则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得，
所以，．由已知可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，可得，
因为直线不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．综上所述，直线经过定点．
21．（1）因为，定义域为，所以．
①当时，令，解得
即当时，单调递增：当时，单调递减；
②当时在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，单调递减；当时，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）方程可化为，即当时
令，则原问题即：当时，有两不等实根，求证：
由（1）知：当时，在上单调递增，在上单调递减．
不妨设
当时，令则
在上单调递减，在上单调递增，．
所以所以
解得，且当时取等 ①
当时，令，则．
在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
整理得
解得，当时取等 ②
由①+②得：即原不等式得证.
22．（1）由直线参数方程得：，即直线的普通方程为：；
由得：，
，即曲线的直角坐标方程为：.
（2）将参数方程代入曲线直角坐标方程整理得：；
设对应的参数分别为，则，，
.
23．（1）当时， ，
无解；，无解；，解得 ，
所以的解集为；
（2）因为 时，，即，
因为在上单调递增，所以时，，
因为对， ，使得成立，等价于，所以，
因为，所以，解得或，
所以实数a的取值范围为 ；
综上，的解集为，实数a的取值范围为.
