2023-2024学年北京昌平高二（上）期末数学（PDF版含答案）

昌平区 2023－2024 学年第二学期高二年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C A B A B D
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11）10 （12） (1, 0); 4 （13） 24
（14） 4; x = 1 （答案不唯一） （15）①③④
三、解答题(本大题共 6 小题，共 85 分)
（16）（共 13 分）
解：（I）设圆C 的方程为(x 2)2 + ( y 3)2 = r 2 (r 0) ,
依题意， r = 22 + 32 = 13 ，
所以圆C 的方程为(x 2)2 + ( y 3)2 = 13 . ......5 分
（II） 设圆心C(2, 3) 到直线l 的距离为d ，
1 2 2 2
由 MN = 6 ， ( MN ) + d = r ，解得 d = 2 .
2
若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x = 0 ，满足条件；
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y = kx + 2 ，即 kx y + 2 = 0 .
| 2k 3 + 2 | d = = 2 ，
k 2 + 1
3
解得 k = . 此时，直线l 的方程为3x + 4 y 8 = 0 .
4
所以直线l 的方程为 x = 0 或3x + 4 y 8 = 0 . ......13 分
（17）（共 13 分）
解：（I）在三棱柱 ABC A1B1C1 中,
因为 AA1 ⊥ 平面ABC ， AB, AC 平面ABC ,
所以 AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AC .
因为 AB ⊥ AC ,以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz .
1
则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0),C(0,1, 0), A1(0, 0, 2) ,

CB = (1, 1, 0),CA1 = (0, 1, 2), AC = (0,1, 0) .
设平面 A1BC 的一个法向量为 n = (x, y, z) ,

n CB = x y = 0,
则 所以 x = y, y = 2z .
n CA1 = y + 2z = 0,

令 z = 1,则x = y = 2 ，所以 n = (2, 2,1) .
n AC 2
cos n, AC = = .
| n || AC | 3
设直线 AC 与平面 A1BC 所成角为 ,
2
则sin = | cos n, AC |= .
3
2
所以直线 AC 与平面 A1 BC 所成角的正弦值为 . ......9 分
3

（II） B1 = (1, 0, 2), BB1 = (0, 0, 2) ,
| n BB1 | 2
所以点 B1 到平面 A1BC 的距离 d = = . ......13 分
| n | 3
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）根据表格数据可以看出，上述30 天里有10 天新闻点击量“下降”，
1 0 1
设事件 M 为该网站新闻点击量“下降”.用频率估计概率，估计 P(M ) = = . ......4 分
30 3
（Ⅱ）设从样本的前15 天中随机抽取1 天，该天网站新闻点击量“上涨”为事件 A ，则
P( A) = 5
1
= ，
15 3
从样本的后15 天中随机抽取1 天，该天网站新闻点击量“上涨”为事件 7 B ，则 P(B) = .
15
A, B 互相独立.
X 的所有可能取值为0, 1, 2 .
1 7 1 6
P( X = 0) = P( AB) = P( A)P(B) = (1 ) (1 ) = ，
3 15 45
1 7 1 7 2 2
P( X = 1) = P( AB + AB) = P( A)P(B) + P( A)P(B) = (1 ) + (1 ) = ，
3 15 3 15 45
1
P( X = 2) = P( AB) = P( A)P(B) = 7 = 7 .
3 15 45
X 的分布列为：
2
X 0 1 2
1 6 2 2 7
P
45 45 45
1 6 2 2 7 4
E( X ) = 0 + 1 + 2 = . ......11 分
45 45 45 5
（Ⅲ） D( ) D( ) . ......14 分
(19)（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）因为椭圆G 过点 A (2, 0) ，所以a = 2 .
c
因为离心率e = = 2 ，所以c = 2 .
a 2
由 2 2 2 b = a c = 2 ，
x2 y2
所以椭圆G 的方程为 + = 1 . ......5 分
4 2
y = k (x 1),
2
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立 x2 y
+ = 1,
4 2
消元得(1 + 2k 2 ) x2 4k 2 x + 2k 2 4 = 0 .
= ( 4k 2 )2 4(1 + 2k 2 )(2k 2 4) = 24k 2 + 16 0.
设交点 M (x1 , y1 ) ， N (x2 , y2 ) ，则
4k 2 2k 2 4
x + x = ， x x = ，
1 2
1 + 2k 2
1 2
1 + 2k 2
2 (1 + k
2 )(4 + 6k 2 )
所以 = (x x )2 MN 1 2+ ( y y )
2
= 1 + k 2 1 2 (x + x )
2
1 2 4x x = . 1 2
1 + 2k 2
k
因为点 A (2, 0) 到直线的距离为d = ，
1 + k 2
1 k 4 + 6k
2
10 ，即 4 2 所以△ AMN 的面积为s = MN d = = 7k 2k 5 = 0 .
2 1 + 2k 2 3
解得k = 1 . ......15 分
（20）（共 15 分）
解：(Ⅰ)因为 PD ⊥ 平面 ABCD ，
所以 PD ⊥ CD, PD ⊥ AD .
因为 AD ⊥ CD, 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .
设 DA = a(a 0) ，则 D(0, 0, 0), B(a,1, 0),C(0, 2, 0), P(0, 0, 2), M (0,1,1) ,

所以 BM = ( a, 0,1) .
3

因为平面 PAD 的一个法向量CD = (0, 2, 0) ，且 BM CD = 0 ，
所以CD ⊥ BM .
因为 BM 平面 PAD ，
所以BM // 平面 PAD . ......6 分
(Ⅱ)选条件①： CB ⊥ PB .

因为CB ⊥ PB ， PB = (a,1, 2),CB = (a, 1, 0) ，

所以 PB CB = a2 1 = 0 .
所以 a = 1 (舍负），所以 B(1,1, 0) .
所以 DM = (0,1,1), DB = (1,1,0) .
设平面 MBD 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，

n DM = y + z = 0，
则 所以 y = x, z = x .
n DB = x + y = 0，
令 x = 1,则y = 1，z = 1 .

所以 n = (1, 1,1) .
因为平面 BDC 的一个法向量为 m = (0,0,1) ,
m n 1 3
所以cos m, n = = =
.
| m || n | 3 3
由图可知二面角 M BD C 是锐角，
3
所以二面角 M BD C 的余弦值为 . ......15 分
3
选条件②： DM = BM .
在 Rt PDC 中， DM = 2 ，
所以 BM = a
2 + 1 = 2 .
所以 a = 1 (舍负），所以 B(1,1, 0) .
以下同选条件①．
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）当 n = 1 时，圆O 满足性质①,不满足性质②． ......4 分
4
（Ⅱ）由椭圆C 的上顶点为 B ，得 B(0, 3) .
65
由 n = 时，圆O 满足性质①，
9
设点 P(x0 , y0 ) ， A(c, d )( 3 d 3) .

PA = (c x0 , d y0 ) ， BP = (x0 , y0 3) .
c
x = ,
c x0 = 2x , 0 0 3
由 PA = 2BP 得 即
d y
0 = 2(y 0 3), d + 6 y
0
= .
3
由点 P 在圆O 上， A 在椭圆C 上，得
6 5
x
2 + y 2
0 0 = ,
9 化简得 d 2 12d + 11 = 0 ，解得 d = 1 或 d = 11（舍）.
c2 + 2d 2 = 18,
d = 1, d = 1,

c = 4, c = 4,

4 4
所 以 x0 = , 或 x0 = ,
3 3
7 7
y y = . 0 = 0
3 3
4 7 4 7
所以 A(4,1), P( , ) 或 A( 4,1), P( , ) . ......9 分
3 3 3 3
（Ⅲ）存在 n = 6 ，使得圆O 同时满足性质①和性质②.
下面进行证明：
当 时，圆 的方程为 2 2 n = 6 O x + y = 6 .设 M ( x , y ) ， N ( x , y ) 1 1 2 2 .
当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x = 6 .
x = 6,

当 x = 6 时, x
2 y2 解 得 y = 6 ， 1 y2 = 6 .
+ = 1,
1 8 9
此时 M ( 6, 6), N ( 6, 6) .
所以OM ON = 0 ，即OM ⊥ ON .
同理当 x = 6 时也满足OM ⊥ ON .
若直线 MN 的斜率存在，设其方程为 y = kx + m ．
5
m
直线 MN 与圆 x2 + y 2 = 6 相切，所以 d = = 6 ，化简得 m2 = 6k 2 +6 .
k 2 +1
y = kx + m,

2 2 得(2k 2 2 由 x y + 1)x + 4kmx + 2m
2 18 = 0 ．
+ = 1
18 9
由 = 16k 2 m2 4(2k 2 + 1)(2m2 18) 0 ，得 m2 18k 2 + 9 ．
2m 18
4km = 2
x1 + x 2= ，2 x x ． 2k + 1 1 2 2k 2 + 1
OM ON = x1x2 + y1 y2 = x1x2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = (k
2 + 1)x1x2 + km(x
2
1 + x2 ) + m ，
uuur uuur
2 2
2 2
m 18 4km 3m 18k
2 18
所以OM ON = (k + 1) + km(
) + m2 = .
2k 2 + 1 2k 2 + 1 2k 2 + 1
因为 m2 = 6k 2 +6 ，所以OM ON = 0 ，即OM ⊥ ON .
所以当 n = 6 时，圆O 满足性质②.
当 B(0, 3) ， A(3 2, 0) 时满足OA ⊥ OB ，此时直线 AB 的方程为 2x + 2 y 6 = 0 ，
6
圆心O 到直线 AB 的距离为 = 6 ，
( 2)2 +22

所以直线 AB 与圆 相切，且切点 ，满足 O P( 2, 2) PA = 2BP .
同理，当 B(0, 3) ， A( 2 3, 0) 时满足OA ⊥ OB ，

直线 AB 与圆O 相切，且切点 P( 2, 2) ，满足PA = 2BP .
所以，当 n = 6 时，圆O 满足性质①.
综上，当 n = 6 时，圆O 同时满足性质①和性质②. ......15 分
6