数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
6.3.1平面向量基本定理
复习导入
向量的数量积
向量的夹角
向量的数量积
性质与运算律
夹角
特殊情况
，（注意共起点）
定义
投影
（交换律）
（对数乘的结合律）
（分配律）
新知探究
思考：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。对此，联系向量，你能得到什么启发呢？
是否可以利用平行四边形法则，将向量也同样进行分解呢
新知探究
问题1：已知非零向量，那么所有与共线的向量，都能用表示吗？如何表示？
能，
问题2：可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？
不能，只能表示与共线的向量
问题3：要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？
新知探究
探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？
O
M
N
新知探究
问题1：平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？
能
O
C
B
A
问题2：与，共线的向量，能这样表示吗？
问题3：能这样表示吗？
能，
新知探究
问题4：如果给定的两向量
共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？
不能，此时与，共线，当向量与它们不共线时，则无法表示.
只有不共线时，才可以用来表示平面内的任一向量，即若不共线，则对，都存在，，使得
新知探究
问题5：在这种表示方法中，这样的实数，有几个？
有且只有一个，理由如下：
如果还可以表示成的形式，
那么
可得
全为0
即
也就是说，有且只有一对实数，使.
新知探究
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使.
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注：由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便.
新知探究
问题6：由上可知，基底有哪些特征呢？
①基底不唯一
②基底是两个不共线的向量
③零向量不能作为基底
辨析：判断正误.
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ）
(2)零向量可以作为基底. （ ）
(3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ）
×
×
√
练习巩固
练习1：设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：
① 与；② 与；③ 与；④ 与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
不共线
共线
不共线
共线
【答案】：
A
B
C
D
O
变式1-1：若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ）.
A.， B.，
C.， D.，
【答案】：
练习巩固
变式1-2：若向量，不共线，则＝－，＝－，试判断{，}能否作为基底．
解：设存在实数，使＝，
则2－＝(3－2)，
即(2－3)＋(2－1)＝0，
由于向量，不共线，
所以2－3＝2－1＝0，这样的是不存在的，
从而，不共线，{，}能作为基底．
练习巩固
变式1-3：设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则，试求的值。
解：因为与共线，所以存在，使得，
即.
故，，解得.
条件一 平面内任一向量和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二 ＝λ1＋μ1且＝λ2＋μ2
结论 ，即各项系数对应相等
练习巩固
例1：如图，，不共线，且，用，表示.
解：因为，
所以
思考1：观察，你有什么发现？
若三点共线，为直线外一点存在实数，使且.
练习巩固
例2：如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形.
证明：如图，设，，则，，于是.
因为，所以
因为，，所以
因此.
于是是直角三角形.
练习巩固
练习2：分别为的边上的中点，且，，则下列结论中正确的是（ ）.
. B. C. D.
【答案】：
变式2-1：如图所示，中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝， ＝，试用，表示向量.
【答案】：＝ ＋ ＝ ＋
＝＋＝＋ －＝ ＋ .
练习巩固
变式2-2：如图所示，中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝，＝，试用，表示向量，.
＝
＝ 2
＝ 2
＝ 2
【答案】：
＝
＝ 2
＝ 2
＝ 2
练习巩固
用基底表示向量常见模型
小结
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使.
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
①基底不唯一
②基底是两个不共线的向量
③零向量不能作为基底