湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（含答案）

华中师大一附中2023－2024学年度上学期高二期末检测数学试题
时限：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“成等比数列”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在1和17之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ）
A． B．
C．抛物线的准线 D．
10．在正方体中，为的中点，为的中点，是棱上靠近的四等分点，是棱上靠近点的四等分点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点可以是的中点
C．点的轨迹是长方形 D．点的轨迹所在平面与平面相交
11．双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线为双曲线的左、右焦点．某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过．双曲线在点处的切线与轴交于点，且反射光线所在直线的斜率为．则以下说法正确的是（ ）
A．点到直线和直线的距离相等
B．
C．双曲线的离心率为2
D．若过点的直线与双曲线交于两点，则点不可能是线段的中点．
12．已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值
C．的最大项为，最小项为
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若上的可导函数在处满足，则______．
14．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是______．
15．已知抛物线，点和Rt为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点为直角顶点，则直线与直线的交点坐标为______．
16．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，
（1）已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程；
（2）记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围．
18．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足：，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的通项公式．
19．已知双曲线的离心率为分别为双曲线的左、右两个顶点，左顶点到双曲线渐近线的距离为；
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
20．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，
，点在线段上，且为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的余弦值．
21．已知数列满足：，且．记数列为，记数列为。
（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．已知抛物线，其焦点为．
（1）两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标；
（2）已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围．
华中师大一附中2023—2024学年度上学期高二期末检测数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B B A A C D BC ACD ABD BCD
13．6 　14．　 15．　16．4，
8．解：由图可知：．又，由垂径定理：
．
12．解：由等比数列的前项和公式可知，，A错误；因此，可得中，奇数项递减，且始终大于2，最大值为，偶数项递增，且始终小于2，最小值为，因此BC正确；
由可得，令，
所以，故D正确。
15．解：设，则，
即，又，
则有
则对于而言，定过定点．
同理，也过定点，则可知直线和的交点坐标为．
16．解：因为，则，则，
由，所以，解得，所以，
所以，由，所以，
所以，
即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又，且，
所以，所以的最大值为．
解答题
17．解：（1）直线过定点
则可知弦中点应在以为直径的圆上，点的轨迹方程为，
由于直线不能表示直线，
则点的轨迹方程应为．
（2）记点为点，则点到直线的距离为，
可知
18．解：（1）由为等差数列，所以，且，所以，故，
由为等比数列，所以，即，所以，故
。
（2）由题中，便有，两式相减得；即，经验证，所以
19．解：（1）左顶点到双曲线渐近线的距离为；
由题意可知：，则得，双曲线的方程为．
（2）设直线，
联立，消元可得．
时，．
综上，的值为或．
20．解：（1）由题意可得，又平面平面，
平面．连接且四边形为平行四边形，
则，又平面平面平面．
又且平面平面平面．
平面平面．
（2）连接，由题意可得为等边三角形，故，
由平面可得为直线与平面所成的角，故，则．以为坐标原点，所在直线分别为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，
则．设平面的法向量为
，则，即，令，
得．设平面的法向量为，
则，即，
令，得
则，故锐二面角的余弦值为．
21．解：（1）为奇数时，有，此时为偶数，有，等式两边取以2为底的对数，便有，所以，故的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，即；
（2）为偶数时，有，即，此时为奇数，，
便有，所以，故的奇数项是以4为首项，
4为公比的等比数列，即。所以，
记，由错位相减法可得；
故
22．解：（1）设，
则有
联立，消元得，则．线段中点的坐标为．
线段中垂线方程为，即．
线段中垂线必过定点．
（2）设
联立，消元得．
则恒成立，且有．
．
又，则点到的距离为
由于，则点到即的距离即为点到的距离为．
．
令，则．上式
又，则．