山东省日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 720.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-03 01:26:09 | ||
图片预览
文档简介
参照秘密级管理★启用前
试卷类型：A
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题
2024．02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．2023年10月23日，杭州亚运会期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 B．24 C．32 D．64
6．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从出发到达所走过的路程为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，则
D．已知随机变量，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．在点处的切线方程为
C．若，则
D．若，则
12．已知正方体的棱长为2，为的中点，为所在平面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为________．
14．若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为________．
15．已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则
①的取值范围是________；
②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是________．
16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知直线：与垂直，且经过点．
（1）求的方程;
（2）若与圆：相交于，两点，求．
18．（12分）
如图，在四面体中，，，，．
（1）求的值；
（2）已知是线段中点，点满足，求线段的长．
19．（12分）
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市2023年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
1 2 3 4 5 6 7
28 32 37 45 47 52 60
（1）经研究，，满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店9月份的成交量（，按四舍五入精确到整数）；
（2）该市某4S店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”，“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励5千元；“二等奖”奖励3千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．
参考数据及公式：，，．
20．（12分）
在正三棱台中，侧棱长为1，且，，分别为，的中点，且．
（1）证明：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
（1）从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
（2）将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
22．（12分）
已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题答案
2024．02
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4：BACD 5-8：ACAB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．BC 11．ACD 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．21 14． 15．;
16．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由直线：，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为， 3分
又因为直线过点，所以直线的方程为，
即． 5分
（2）由圆：，可得圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为， 7分
又由圆的弦长公式，可得弦长． 10分
18．解：（1）在四面体中，设，，，则，，
，，，
3分
6分
（2）由（1）知，因为，则，
因为是中点，则
，如图，
于是， 9分
因此
即有，
所以线段的长为． 12分
19．解：（1）由题意可得， 1分
， 2分
， 3分
， 4分
故线性回归方程为， 5分
当时，，
故预计9月份的成交量为67辆． 6分
（2）由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 7分
的所有可能取值为0，3，5，6，8，10
，
，
，
，
故的分布列为：
0 3 5 6 8 10
11分
故 12分
20．解：（1）如图所示：由正三棱台可知，延长，，交于点，
连接，延长交于，连接，
易得三棱锥为正四面体，
所以，，
且平面，平面，
所以平面， 3分
又因为平面，
所以， 4分
又因为，
且平面，平面，
所以平面 6分
（2）如图，以底面中心为坐标原点，以与平行的方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则，，，
所以，，
所以，，
设平面的法向量为，则
即为
令，得， 10分
取平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 12分
21．（1）由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，，
故所求的概率 5分（结果对得5分，结果不对上述三种情况各1分）
（2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
7分
，且，，也即，，
即，
故可得：，，
，
， 9分
令，则在上单调递减，
．
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数，
，
故该同学没有希望进入决赛． 12分
22．解：（1）因为：的实轴长为4，
所以，由焦距可知，
所以双曲线方程为 3分
（2）由（1）可得，，
设，，
显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，且，
与
联立可得，且，
则，， 5分
直线的方程为，直线的方程为，
联立两直线方程：得：
，
9分
据此可得点在定直线上运动．
，
，
．
所以 12分
（法2）联立直线与直线的方程可得：
所以可得，即，
据此可得点在定直线上运动．
则．
试卷类型：A
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题
2024．02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．2023年10月23日，杭州亚运会期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 B．24 C．32 D．64
6．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从出发到达所走过的路程为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，则
D．已知随机变量，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．在点处的切线方程为
C．若，则
D．若，则
12．已知正方体的棱长为2，为的中点，为所在平面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为________．
14．若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为________．
15．已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则
①的取值范围是________；
②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是________．
16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知直线：与垂直，且经过点．
（1）求的方程;
（2）若与圆：相交于，两点，求．
18．（12分）
如图，在四面体中，，，，．
（1）求的值；
（2）已知是线段中点，点满足，求线段的长．
19．（12分）
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市2023年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
1 2 3 4 5 6 7
28 32 37 45 47 52 60
（1）经研究，，满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店9月份的成交量（，按四舍五入精确到整数）；
（2）该市某4S店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”，“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励5千元；“二等奖”奖励3千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．
参考数据及公式：，，．
20．（12分）
在正三棱台中，侧棱长为1，且，，分别为，的中点，且．
（1）证明：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
（1）从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
（2）将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
22．（12分）
已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题答案
2024．02
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4：BACD 5-8：ACAB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．BC 11．ACD 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．21 14． 15．;
16．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由直线：，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为， 3分
又因为直线过点，所以直线的方程为，
即． 5分
（2）由圆：，可得圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为， 7分
又由圆的弦长公式，可得弦长． 10分
18．解：（1）在四面体中，设，，，则，，
，，，
3分
6分
（2）由（1）知，因为，则，
因为是中点，则
，如图，
于是， 9分
因此
即有，
所以线段的长为． 12分
19．解：（1）由题意可得， 1分
， 2分
， 3分
， 4分
故线性回归方程为， 5分
当时，，
故预计9月份的成交量为67辆． 6分
（2）由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 7分
的所有可能取值为0，3，5，6，8，10
，
，
，
，
故的分布列为：
0 3 5 6 8 10
11分
故 12分
20．解：（1）如图所示：由正三棱台可知，延长，，交于点，
连接，延长交于，连接，
易得三棱锥为正四面体，
所以，，
且平面，平面，
所以平面， 3分
又因为平面，
所以， 4分
又因为，
且平面，平面，
所以平面 6分
（2）如图，以底面中心为坐标原点，以与平行的方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则，，，
所以，，
所以，，
设平面的法向量为，则
即为
令，得， 10分
取平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 12分
21．（1）由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，，
故所求的概率 5分（结果对得5分，结果不对上述三种情况各1分）
（2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
7分
，且，，也即，，
即，
故可得：，，
，
， 9分
令，则在上单调递减，
．
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数，
，
故该同学没有希望进入决赛． 12分
22．解：（1）因为：的实轴长为4，
所以，由焦距可知，
所以双曲线方程为 3分
（2）由（1）可得，，
设，，
显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，且，
与
联立可得，且，
则，， 5分
直线的方程为，直线的方程为，
联立两直线方程：得：
，
9分
据此可得点在定直线上运动．
，
，
．
所以 12分
（法2）联立直线与直线的方程可得：
所以可得，即，
据此可得点在定直线上运动．
则．
同课章节目录