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试卷类型:A
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题
2024.02
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足(其中i是虚数单位),则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方程为,则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.若随机变量,且,则( )
A. B. C. D.
4.若两圆:与:外离,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.2023年10月23日,杭州亚运会期间,在某场比赛的三个地点需要志愿者服务,有甲、乙、丙、丁四人报名参加,每个地点仅需1名志愿者,每人至多在一个地点服务,若甲不能到第一个地点服务,则不同的安排方法共有( )
A.18 B.24 C.32 D.64
6.抛物线有一条重要的性质:平行于抛物线的轴的光线,经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点.反之,从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线,从点发出一条平行于轴的光线,经过抛物线两次反射后,穿过点,则光线从出发到达所走过的路程为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
7.在棱长为1的正方体中,为线段的中点,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.1
8.已知实数,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
9.下列结论中正确的是( )
A.若变量与之间的相关系数,则与正相关
B.由样本数据得到的线性回归方程必过点
C.已知,则
D.已知随机变量,则
10.如图,在棱长为2的正方体中,点,分别为棱,的中点,则下列说法正确的是( )
A.
B.三棱锥的体积为
C.直线与直线所成角的余弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
11.已知点是抛物线:上的一点,直线交抛物线于,,交轴于,交轴于,则下列结论正确的是( )
A.的准线方程为
B.在点处的切线方程为
C.若,则
D.若,则
12.已知正方体的棱长为2,为的中点,为所在平面上一动点,则下列说法正确的是( )
A.若与平面所成的角为,则点的轨迹为圆
B.若,则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C.若与所成的角为,则点的轨迹为双曲线
D.若点到直线与直线的距离相等,则点的轨迹为抛物线
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中的系数为________.
14.若10个篮球中有7个已打足气,3个没有打足气.已知小明用打足气的篮球投篮,命中率为,用没有打足气的篮球投篮,命中率为,则小明任拿一个篮球投篮,命中的概率为________.
15.已知椭圆:的左右焦点分别为,,为椭圆内一点.双曲线:经过点和点,则
①的取值范围是________;
②若点在椭圆上,使得,则的离心率的取值范围是________.
16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,其意思可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形,将此图形绕轴旋转一周,得到一个旋转体,则这个旋转体的体积为________.
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知直线:与垂直,且经过点.
(1)求的方程;
(2)若与圆:相交于,两点,求.
18.(12分)
如图,在四面体中,,,,.
(1)求的值;
(2)已知是线段中点,点满足,求线段的长.
19.(12分)
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路,是应对气候变化推动绿色发展的战略举措.随着国务院《新能源汽车产业发展规划(2021—2035)》的发布,我国自主品牌汽车越来越具备竞争力.国产某品牌汽车对市场进行调研,统计了该品牌新能源汽车在某城市2023年前几个月的销售量(单位:辆),用表示第月份该市汽车的销售量,得到如下统计表格:
1 2 3 4 5 6 7
28 32 37 45 47 52 60
(1)经研究,,满足线性相关关系,求关于的线性回归方程,并根据此方程预测该店9月份的成交量(,按四舍五入精确到整数);
(2)该市某4S店为感谢客户,决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动,设“一等奖”,“二等奖”和“祝您平安”三种奖项,“一等奖”奖励5千元;“二等奖”奖励3千元;“祝您平安”奖励纪念品一份.在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为,获得一份纪念品的概率为,现有甲、乙两个客户参与抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求此二人所获奖金总额(千元)的分布列及数学期望.
参考数据及公式:,,.
20.(12分)
在正三棱台中,侧棱长为1,且,,分别为,的中点,且.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
21.(12分)
普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容,也是构建社会主义和谐社会的应有之意.为加强对学生的普法教育,某校将举办一次普法知识竞赛,共进行5轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:题库中有法律文书题和案例分析题两类问题,每道题满分10分.每一轮比赛中,参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道,若有不少于3道题得分超过8分,将获得“优胜奖”,5轮比赛中,至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛.甲同学经历多次限时模拟训练,指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道,其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分.
(1)从这10道题目中,随机抽取法律文书题和案例分析题各2道,求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率;
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率.为提高甲同学的参赛成绩,指导老师对该同学进行赛前强化训练,使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了,以获得“优胜奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛.
22.(12分)
已知双曲线:的实轴长为4,焦距为.
(1)求双曲线的方程;
(2)记的上、下顶点分别为,,过点的直线与的下支交于,两点,在第四象限,直线与交于点,设直线,,的斜率分别为,,.证明:.
日照市2023-2024学年高二上学期期末校际联合考试
数学试题答案
2024.02
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1-4:BACD 5-8:ACAB
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
9.ABD 10.BC 11.ACD 12.ACD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.21 14. 15.;
16.
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(10分)
解:(1)由直线:,可得斜率,
因为,所以直线的斜率为, 3分
又因为直线过点,所以直线的方程为,
即. 5分
(2)由圆:,可得圆心,半径,
则圆心到直线:的距离为, 7分
又由圆的弦长公式,可得弦长. 10分
18.解:(1)在四面体中,设,,,则,,
,,,
3分
6分
(2)由(1)知,因为,则,
因为是中点,则
,如图,
于是, 9分
因此
即有,
所以线段的长为. 12分
19.解:(1)由题意可得, 1分
, 2分
, 3分
, 4分
故线性回归方程为, 5分
当时,,
故预计9月份的成交量为67辆. 6分
(2)由题意可得,获得“一等奖”的概率为, 7分
的所有可能取值为0,3,5,6,8,10
,
,
,
,
故的分布列为:
0 3 5 6 8 10
11分
故 12分
20.解:(1)如图所示:由正三棱台可知,延长,,交于点,
连接,延长交于,连接,
易得三棱锥为正四面体,
所以,,
且平面,平面,
所以平面, 3分
又因为平面,
所以, 4分
又因为,
且平面,平面,
所以平面 6分
(2)如图,以底面中心为坐标原点,以与平行的方向为轴,以方向为轴,以方向为轴建立如下图所示的空间直角坐标系:
则,,,
所以,,
所以,,
设平面的法向量为,则
即为
令,得, 10分
取平面的法向量为,
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为. 12分
21.(1)由题可知,所有可能的情况有:
①超过8分的是1道法律文书题,2道案例分析题,,
②超过8分的是2道法律文书题,1道案例分析题,,
③超过8分的是2道法律文书题,2道案例分析题,,
故所求的概率 5分(结果对得5分,结果不对上述三种情况各1分)
(2)设强化训练后,法律文书题超过8分的概率为,案例分析题超过8分的概率为,
则,
由已知可得,强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为:
7分
,且,,也即,,
即,
故可得:,,
,
, 9分
令,则在上单调递减,
.
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数,
,
故该同学没有希望进入决赛. 12分
22.解:(1)因为:的实轴长为4,
所以,由焦距可知,
所以双曲线方程为 3分
(2)由(1)可得,,
设,,
显然直线的斜率存在,所以设直线的方程为,且,
与
联立可得,且,
则,, 5分
直线的方程为,直线的方程为,
联立两直线方程:得:
,
9分
据此可得点在定直线上运动.
,
,
.
所以 12分
(法2)联立直线与直线的方程可得:
所以可得,即,
据此可得点在定直线上运动.
则.