准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．的值是
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．设，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
4．若=，则sin=
A． B． C． D．
5．函数的零点所在区间为
A． B． C． D．
6．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于
（参考数据：.） 参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
7．函数的大致图象为
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。
9．已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列说法错误的是
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减
11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，
其纵坐标满足，
则下列叙述正确的是
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是
A．若为函数的“完美区间”，则
B．函数，存在“倍美好区间”
C．函数，不存在“完美区间”
D．函数，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若幂函数在上单调递增，则 .
14．若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则 .
15．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
16．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
计算：；
18．（12分）
（1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
19．（12分）
已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
20．（12分）
对于函数．
(1)判断函数的单调性，并给出证明；
(2)是否存在实数a使函数为奇函数？
21．（12分）
网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小福正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小福能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
(2)由于客户选择以旧换新服务，小福需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小福选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小福得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？
（结果精确到）
22．（12分）
若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．
（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
(1)试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）
(2)已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(3)对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C B D A
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。
注意：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC AD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10分）
解：
18. （12分）
（1） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
（2） 因为均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
（12分）
（1）由题意知，的图象关于点对称，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集为.
（12分）
（1）在区间上的单调递增．
证明如下：对任意，且，
，
因为在单调递增，且，所以，即，
又，则，
即，所以，
所以在区间上单调递增．
（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，
则对任意，
都有
，解得，
故存在实数，使函数是奇函数．
（12分）
（1）过A，D作水平线，作如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
（2）延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，
则，．
设，
因为，所以，所以，
则 ，
再令，则，
易知，在上单调递增，
所以单调递减，
故当，即，时，取得最小值.
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．
（12分）
解：（1）（本小问只要回答结论即可） 的值域为
不是上的有界函数，
时， ，此时
时， ，此时
是上的有界函数
（2），易知在区间上单调递增，
∴. ∴，
所以上界构成的集合为．
（3），
当时，，，此时的取值范围是，
当时，在上是单调递减函数，
其值域为，故，
此时的取值范围是，
当时，，若在上是有界函数，
则区间为定义域的子集，所以不包含0，
所以或，解得：或，
时，在上是单调递增函数，
此时的值域为，
①，即或时，，
此时的取值范围是，
②，即时，，
此时的取值范围是，
综上：当时，存在上界，；
当或时，存在上界，；
当时，存在上界，，
当时，此时不存在上界．
