莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试试卷
高二数学选择性必修一、二
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.经过两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为,若,则( )
A.380 B.200 C.190 D.100
3.已知双曲线的一条渐近线为,则的焦距为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和为,则( )
A.64 B.62 C.32 D.30
5.已知函数,若在单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图,直线和圆,当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过)时,它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数,这个函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知为椭圆上任一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则四边形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.我国在2022年完成了天宫空间站的建设,根据开普勒第一定律,天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆,地球处于该椭圆的一个焦点上(天宫空间站和地球均视为质点).已知某次变轨任务前后,天宫空间站的近地距离(天宫空间站与地球距离的最小值)不变,远地距离(天宫空间站与地球距离的最大值)扩大为变轨前的3倍,椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍,则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.直线,圆,则( )
A.直线恒过定点 B.存在实数使得直线的倾斜角为
C.直线与圆的相交弦长的最大值为 D.当时,圆上存在3个点到直线距离等于1
10.已知数列的前项和为,且,则( )
A. B.数列是等比数列 C.数列中的最大项为 D.数列是等差数列
11.已知函数,导函数的极值点是函数的零点,则( )
A.有且只有一个极值点 B.有且只有一个零点
C.若,则 D.过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
12.已知曲线为上一点,则( )
A.与曲线有四个交点
B.曲线的图像不经过第二象限
C.的取值范围为
D.过点的直线与曲线有三个交点,则直线的斜率
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点处的切线方程为,则_________.
14.已知直线,若直线不能围成三角形,写出一个符合要求的实数的值_________.
15.椭圆与抛物线有共同的焦点,点是椭圆与抛物线其中的一个交点,轴,则椭圆的离心率为_________.
16.若存在正数,使得不等式有解,则实数的取值范围是_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知数列的前项和为,其中.
(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.
18.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;(2)若,证明:
19.(12分)在平面直角坐标系中,动圆过点且与直线相切.记圆心的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于两点,.证明:
20.(12分)已知数列的前项和为,且,数列是首项为1,公差为2的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点,分别为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,,直线与直线分别交于两点.
(1)求椭圆的方程
(2)求线段的长度的最小值
22.(12分)已知函数有两个不同极值点,分别记为,,且.
(1)求实数的取值范围;
(2)若不等式恒成立(为自然对数的底数),求正数的取值范围.
莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试参考答案
高二数学选择性必修一、二
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B B D C C AD ABD BC BCD
填空题
题号 13 14 15 16
答案
解答题
17.【详解】(1)因为当时,有,
所以当时,有,两式相减,得,
当时,由,适合,所以;
(2)因为;
所以,
因此.
18.【详解】
(1)的定义域
若在单调递增;
若单调递减,单调递增
综上:在单调递增;在单调递减,在单调递增
(2),设
在单调递减,
19.【详解】(1)因动点到点的距离等于点到直线的距离,故可知动点的轨迹是抛物线,设其方程为,由题意得,故动点的轨迹方程为:.
(2)如图,因直线的斜率不能为零(否则直线与抛物线只有一个公共点),又过点,
可设,由消去并整理得:
显然,设,则由韦达定理,
则,
将代入得:,故
20.【详解】(1)当时,,解得.
当时,,两式相减得,
即,所以是首项、公比均为2的等比数列,故.
又,故.
(2)因为,所以①,②,
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立,转化为对一切恒成立.
令,
单调递减,
所以实数的取值范围为
21.【详解】解:(1)椭圆的方程为,
(2)设点,则,
则,所以,,
不妨设直线的方程为,其中,则直线的方程为,
设点,
由可得,联立可得,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,
因此,的最小值为.
22.【详解】(1)由题意得:定义域为,得
因两个不同极值点,故方程有两个不同的根,
法一:
,若单调递增,不符合题意
在单调递增,单调递减
有且只有一个零点有且只有一个零点
有两个零点,
法二:即方程有两个不同的根记函数,则
当时,,此时,在上单调递增;
当时,,此时在上单调递减;
所以
又当时,,当时,,
且当趋近于正无穷时,趋近于0,
所以,方程有两个不同的实数根,当且仅当.
(2)由(1)知得,
所以,即,
由不等式恒成立,即恒成立,
由得即恒成立,
亦即恒成立,设时,得恒成立,
进而得恒成立,
记函数
则,
当时,在上单调递增,
所以恒成立,故满足题意
当时,若时有,则在上单调递减,
所以,当时有,与题意不符,
综上得正数的取值范围是.