福建省莆田第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试试卷
高二数学选择性必修一、二
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．380 B．200 C．190 D．100
3．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，则（ ）
A．64 B．62 C．32 D．30
5．已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上（天宫空间站和地球均视为质点）．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．直线，圆，则（ ）
A．直线恒过定点 B．存在实数使得直线的倾斜角为
C．直线与圆的相交弦长的最大值为 D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
10．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是等比数列 C．数列中的最大项为 D．数列是等差数列
11．已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ）
A．有且只有一个极值点 B．有且只有一个零点
C．若，则 D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
12．已知曲线为上一点，则（ ）
A．与曲线有四个交点
B．曲线的图像不经过第二象限
C．的取值范围为
D．过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为，则_________．
14．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________．
15．椭圆与抛物线有共同的焦点，点是椭圆与抛物线其中的一个交点，轴，则椭圆的离心率为_________．
16．若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和为，其中．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
18．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；（2）若，证明：
19．（12分）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，．证明：
20．（12分）已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程
（2）求线段的长度的最小值
22．（12分）已知函数有两个不同极值点，分别记为，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围．
莆田一中2023~2024学年度上学期期末考试参考答案
高二数学选择性必修一、二
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B B D C C AD ABD BC BCD
填空题
题号 13 14 15 16
答案
解答题
17．【详解】（1）因为当时，有，
所以当时，有，两式相减，得，
当时，由，适合，所以；
（2）因为；
所以，
因此．
18．【详解】
（1）的定义域
若在单调递增；
若单调递减，单调递增
综上：在单调递增；在单调递减，在单调递增
（2），设
在单调递减，
19．【详解】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离，故可知动点的轨迹是抛物线，设其方程为，由题意得，故动点的轨迹方程为：．
（2）如图，因直线的斜率不能为零（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点，
可设，由消去并整理得：
显然，设，则由韦达定理，
则，
将代入得：，故
20．【详解】（1）当时，，解得．
当时，，两式相减得，
即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故．
又，故．
（2）因为，所以①，②，
①-②得．
所以．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，
单调递减，
所以实数的取值范围为
21．【详解】解：（1）椭圆的方程为，
（2）设点，则，
则，所以，，
不妨设直线的方程为，其中，则直线的方程为，
设点，
由可得，联立可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为．
22．【详解】（1）由题意得：定义域为，得
因两个不同极值点，故方程有两个不同的根，
法一：
，若单调递增，不符合题意
在单调递增，单调递减
有且只有一个零点有且只有一个零点
有两个零点，
法二：即方程有两个不同的根记函数，则
当时，，此时，在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以
又当时，，当时，，
且当趋近于正无穷时，趋近于0，
所以，方程有两个不同的实数根，当且仅当．
（2）由（1）知得，
所以，即，
由不等式恒成立，即恒成立，
由得即恒成立，
亦即恒成立，设时，得恒成立，
进而得恒成立，
记函数
则，
当时，在上单调递增，
所以恒成立，故满足题意
当时，若时有，则在上单调递减，
所以，当时有，与题意不符，
综上得正数的取值范围是．