福建省莆田第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

莆田一中2023～2024学年度上学期期末考试试卷
高一数学必修一，必修二6.1、6.2
考试时间120分钟 试卷满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A. B.-1 C.0 D.1
3.已知，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.函数，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为1:25，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A.函数是偶函数 B.函数在区间上单调递减
C.函数有两个零点 D.函数有最大值，没有最小值
8.如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简.利用上述方法解决问题：
已知实数，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数的图象为如图所示的曲线和线段，曲线与直线无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（ ）
A.的定义域为
B.的值域为
C.在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应
D.在的值域内任取一个值，总有唯一的值与之对应
10.已知平面四边形，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则四边形是梯形
B.若，则四边形是菱形
C.若，则四边形是平行四边形
D.若且，则四边形是矩形
11.已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A.若，则是的对称中心
B.若恒成立，则的最小值为2
C.若在上单调递增，则
D.若在上恰有2个零点，则
12.已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称 B.
C.关于点对称 D.关于点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是______.
14.已知，则的最小值为______.
15.如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是______.
16.在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为、、（为常数，）.曲线上的点在第一象限，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点，过点作轴的平行线交曲线于点.若四边形为矩形，则的值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题10分）
已知，，且.
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值.
18.（本小题12分）已知函数
（1）当，求的最大值以及取得最大值时的集合.
（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求当时，使成立的的取值集合.
19.（本小题12分）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
20.（本小题12分）已知角为锐角，，且满足，.
（1）证明：；
（2）求.
21.（本小题12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究，在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间 0 1 2 3 4
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；②（，，）；
③（，，）.
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由.
（参考数据：，.）
22.（本小题12分）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运算“”：对于任意实数，，都有，通过研究发现新运算满足交换律：.
小颖提出了两个猜想：，①；②.
（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
（2）设且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围.
莆田一中2023～2024学年度上学期期末考试试卷
答案
1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. BC 10. ACD 11. BC 12. ABC
13. 14.8 15. 16.
17.【小问1详解】
因为.
所以.设与的夹角为（），
则.
又，所以.故与的夹角为.
【小问2详解】
因为，所以
即.
所以.
解得.
18.【小问1详解】由题意：函数，化简得：
.
因为，所以.
则.
所以的最大值为2.
此时的集合为.
【小问2详解】
由题意：将的图象的横坐标缩短到原来的得到的图象
再向右平移个单位后得到
则.即
，（）.
解得，（）.
所以成立的的取值集合是
19.【小问1详解】
当时，，则无解
当时，，由得：，解得：，
又，则，则；
综上所述：.
【小问2详解】
当时，单调递增，则；
当时，，则，则；
当时，，
又，
所以，所以，即；
综上所述：实数的取值范围为.
20.解：（1）证明：因为，
所以，
则
因为为锐角且函数在上单调递增，
所以.
（2）解：由，结合角为锐角，解得，.
因为，且，
所以
所以
，
又，所以.
21.【小问1详解】
选择②（，，）作为函数模型.
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①.
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，解得，.5分
所以函数模型的解析式为：.
【小问2详解】
由（1）中函数模型，有，即，所以，
即
所以刚泡好的乌龙茶大约放置能达到最佳饮用口感.
【小问3详解】
由为减函数，且当越大时，越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃.
22.【小问1详解】若选①，猜想正确
证明：，
故
若选②，猜想成立；
证明：，
而
故；
【小问2详解】由题意可知
令，其图象对称轴为，
故在上单调递减因为在区间上的值域为，
故，而，故
此时在上单调递减，所以在上单调递增，
则，即，
即，整理得，.
即，将代入，
得，同理得，
即，是在上的两个不同的根，
令，则，
解得，故.