四川省部分名校2023-2024学年高三上学期期末联合考试理科数学试题（含解析）

四川省部分名校2023-2024学年高三上学期期末联合考试
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单.某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
5. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知，则是（ ）
A. 9位数 B. 10位数 C. 11位数 D. 12位数
6. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. 5 B. C. 10 D.
7. 在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设满足约束条件，其中，若的最大值为0，则的值为（ ）
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
9. 若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数的导函数都存在，恒成立，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 若，则_____________.
14. 某双人美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选两杯，可以同款，则该双人套餐的供餐方案共有___________种.
15. 在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________.
16. 过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______________，此时，________________.
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：）服从正态分布，且.
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在两个正整数，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生从第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程.
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知.
（1）若，证明与中至少有一个小于0；
（2）若均为正数，求的最小值.
参考答案
1. A
2. C 因为，所以.
3. C 依题意可得他在当天上午10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为.
4. A 设该圆锥的高为，依题意可是，则，解得
5. B 记，则，则，则，故是10位数.
6. C 由题意可知，且，则，，所以.
7. B 因为是边长为3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，则.
8. A 作出可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得.
9. C 因为函数的图象关于直线对称，所以，得.又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为.
10. D 依题意作出的大致图象，如图所示，
令，得，
当时，，因为，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点.
11. D 如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率
.
12. D 由，得，
设函数，则，
所以单调递增，所以，即.
因为，所以，即.
13. .
14. 60 由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，因此该双人套餐的供餐方案共有种.
15. 在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，
因为与底面所成角的正切值为，所以，所以，所以该长方体外接球的表面积.
16. ；，圆的标准方程为
设，则，
又，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，此时.
17. 解：（1）设的公差为，则，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
.
18. 解：（1）因为，所以，
则这3包中恰有2包质量不小于的概率为；
（2）因为，所以，
依题意可得，
所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
19. 解：（1）记的中点为，连接，
因为是边长为2的正三角形，
所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，则.
又，所以平面，则.
因为四边形为矩形，所以，
则，即，解得.
（2）
取线段的中点，连接.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
……
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
所以，
由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
20. 解：（1）由题意可得，
解得，所以的标准方程为；
（2）点到直线的距离，
设，联立方程组，
整理得，
则，即，
，
所以，
则的面积，
得，又，（由三点不共线可得），
所以的取值范围是.
21. 解：（1），
当时，，得，
，，则在上单调递增，
，则在上单调递减.
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.
因为，所以，即，即，
因为为正整数，所以，
当时，，
因为，所以，这与矛盾，不符合题意，
当时，因为，所以，
所以，得，即，
经检验，当时，不符合题意，
当时，符合题意，
当时，因为，所以，
当时，，，
所以，
综上，仅存在满足条件.
22. 解：（1）由，得，
则，
所以，所以的直角坐标方程为；
（2）因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为.
设，则，得，
因为在曲线上，所以，所以，
即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为.
23.（1）证明：假设与中没有一个小于0，即，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于0；
（2）解：，
因为均为正数，所以由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.