上虞区2023学年第一学期高三期末教学质量调测试卷
数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3. 椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．2 或
4. 设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分
布的形态有关，在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，
则下列
关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知实数满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.设为是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数在区间恰有两个零点、，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，漏选得2分，错选得0分.
9. 下列命题中，正确的命题有 （ ）
A．本数据的第80百分位数是
B．线性回归模型中，决定系数越接近于1，表示回归拟合的效果越好.
C．已知随机变量服从正态分布且，则
D．用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平区域内，则说明线
性回归模型的拟合精度较低
10. 直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线经过定点且与圆恒有两个公共点
B．圆心到直线的最大距离是2
C．存在一个值，使直线经过圆心
D．不存在使得圆与圆关于直线对称
11. 已知函数，对于任意的，满足，且
,，则（ ）
A．是周期为2的周期函数 B．
C．是偶函数 D．
12．在边长为的正方体中，为线段中点，为线段上的动点，
则（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．直线与直线所成角的最小值为
C．三棱锥的外接球的表面积最小值为
D．若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角，角的终边与单位圆的交点的纵坐标为，则 ．
14. 已知，则_____________.
15. 设函数在处取得极值，且，
当时，最大值记为，对于任意的的最小值为_____________.
16. 已知点是等轴双曲线的左右顶点，且点是双曲线上
异于一点，，则_____________.
(
1,3,5
)四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10分）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点.
（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值大小.
18.（本题满分12分）已知正项数列，前项和记为，，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值．
19. （本题满分12分）在①；②；③
.这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答.
在锐角中，内角所对的边分别为,且_______.
（Ⅰ）求边长；
（Ⅱ）若边上的高为，求角的最大值.
20.（本题满分12分）已知函数，.
（Ⅰ）求函数图象上一点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个零点（），求的取值范围.
21.（本题满分12分）某校食堂为全体师生免费提供了、两个新菜品，师生可自由选
择、菜品中的其中一个.若每位师生选择菜品的概率是，选择菜品的概率为，
师生之间选择意愿相互独立．
（Ⅰ）从师生中随机选取人，记人中选择菜品的人数为，求的均值与方差；
（Ⅱ）现对师生逐个进行问卷调查并发放免费早餐券，若选择菜品则送张，选择菜
品则送张，记累计赠送张免费早餐券的概率为，求证：．
22.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，斜率为的直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）设中点为，若长度成等差数列，求直线的方程；
（Ⅱ）已知点，与抛物线交于点，过作的垂线，垂足为，求
的最小值及此时点的纵坐标．上虞区2023学年第一学期高三期末教学质量调测
数学试卷答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1---8
第8题解析：，其中，（取
为锐角），由、为两个零点，可得，解得，所以
.
故选：.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，漏选得2分，错选得0分.
9. ； 10. ； 11. ； 12.
第12题解析：如图所示，，故平面，∴点到平面的距离
为定值，A正确；平面，由线面角的最小性可知直线与直线所成
角的最小值为与平面所成线面角，易求得该角的正弦值为，B错误；
的外接球球心过且垂直平面的直线上运动，显然外接球半径
，当最小为，此时，所以表面积最小值为
，C正确；如下图所示，可知外包装正方形的对角线为，即最小面积为32，D正
确.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
13. ； 14. ； 15. ； 16.
第16题解：设则，
即
(
1,3,5
)四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10分）（Ⅰ）证明：为棱中点，为正三角形；
2分
又三棱柱是直三棱柱面4分
面面
面面 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得面
是二面角的平面角， 8分
二面角的余弦值为. 10分
方法二：以为原点，建立直角坐标系如图 6分
则
，
可以是
可以是
8分
二面角的余弦值为.
10分
18.（本题满分12分）（Ⅰ）由解得，即（）． 3分
又因为，即（），所以（），4分
也符合，故. 5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得，∴，7分
，， 9分
，，当时，， 11分
所以，解得. 12分
19.（本题满分12分）（Ⅰ）选①2分
,. 4分
②， 2分
. 4分
③. 2分
. 4分
（Ⅱ），
7分
又由于，
， 10分
.
12分
20.（本题满分12分）（Ⅰ）由，解得， 1分
， 3分
， 4分
所以切线方程为，即.
5分
（Ⅱ）.
7分
当时，在上单调递减，不合题意，舍去； 8分
当时，在单调递减，在上单调递增.. 9分
令，则在单调递增.
又时，时
所以解得. 12分
（本题满分12分）（Ⅰ）法一：由题可知，2分
于是的分布列为
. 4分
.
6分
法二：由题可知，（或者列出分布列）2分
于是，4分．6分
（Ⅱ）法一：由题可知，．
时， 4分
也即， 8分
∴为常数数列，且，
∴，∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，∴．
法二：由题可知，．
时， 8分
也即，
∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，，……，
相加得：，
∴,又也满足，所以. 10分
所以，，故可得. 12分
22.（本题满分12分）（Ⅰ）设直线的方程为，，，联立可得，解得， 2分
故，即，，，所以，解得，所以直线的方程为.
5分
（Ⅱ）设，，，，6分
即，
直线方程为，同理方程为，代入可得，即，8分
又因为直线方程为，由于，，可得，，代入化简可得，可得直线过定点.
10分
即在为直径的圆上，圆心为，半径，故，此时，即，即，解得或.
12分
