2023～2024学年度模块检测试题
高一数学试题参考答案及评分标准
2024.01
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1-4 CDAA 5-8 CBAB
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
9.BD 10.ABD 11.BD 12.ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 6 14. 3
15.4 16. 2，
3 3
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：（1）∵角 3 3的终边与单位圆的交点为M ( , y0)，∴cos .···················· 2分5 5
∵ (3 , 2 )，∴ sin 0，∴ sin 1 cos2
4
.································· 5分
2 5
cos sin cos sin 1 tan
（2）原式 .················································ 8分
cos tan sin tan
4
tan sin 4
1 1
又∵ 3，∴原式 4 .·····························································10分cos 3 4
3
18.解：（1）当 a 1时，方程 f x 0即为 f x x 2 2x 1 0，
所以 x 2 0或 2x 1 0，解得 x 2或 x 0；·························································· 4分
（2）由 f x 0可得 x 2 2x a 0，
①当 a 0时，可得 2x a 0，不等式等价为 x 2 0，
此时不等式解集为 2, ；·······························································································6分
x 2 0 x 2 0
当 a 0时，不等式等价为 x 或 .
2 a 0 2
x a 0
高一数学参考答案 第 1 页 共 4 页
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x
②当 0 a 4时，方程 x 2 2 a 0有两根，即 x1 2, x2 log2 a，且 2 log2 a；
此时不等式解集为 , log2 a 2, ；···································································· 8分
x
③当 a 4时，方程 x 2 2 a 0仅有一根，即 x 2，此时不等式解集为R ；···
················································································································································10分
④当 a 4 x时，方程 x 2 2 a 0有两根，即 x1 2, x2 log2 a，且 2 log2 a；
此时不等式解集为 , 2 log2 a, .····································································· 12分
4 1 2π
19.解：（1）由题可得 A 1，T 2 3 3
2，则 π，···························2分
T
x 5 5 π当 时， f x 取得最大值，则 π 2kπ，
6 6 2
π
解得 2k k Z ，·························································································· 4分
3
π π
又因为 ，故 ，所以 f x sin πx
π
，············································ 6分2 3 3
g x sin π π则 x .····································································································· 8分
2 3
π π
（2）由（1）可知 g x sin x ，
2 3
π π π 3π 5 11
令 2kπ x 2kπ，则 4k x 4k， k Z，
2 2 3 2 3 3
故 g x 5 11 的单调递减区间为 4k, 4k k Z .················································· 10分 3 3
则 k 0时， g x 在 51,2 上的单调递减区间为 , 2 .·················································12分 3
19.解：（1） f x 为二次函数，则a 0，
当a 0时，二次函数图象开口向上，不等式 f x 0不对一切实数 x都成立，不满足题意；
当a 0时，则有 16 4a 0，解得a 4 .
故当 a , 4 时，不等式 f x 0对一切实数 x都成立.······································ 4分
高一数学参考答案 第 2 页 共 4 页
{#{QQABLQwUggCoABBAAAhCAwV6CAMQkAEACIoOgFAEMAAAiAFABAA=}#}
（2）i.当 f x 仅有一个零点时，由 16 4a 0 a 4，
x 4 1此时零点为 ，符合题意；········································································· 6分
2a 2
ii.当 f x 有两个零点时， 16 4a 0 a 4 .
①当 f 1 0 a 5，则由 f x 5x 2 4x 1 0 1解得另一个零点为 x ，符合
5
题意；······································································································································8分
2 1
②当 f 1 0 a 3，则由 f x 3x 4x 1 0解得另一个零点为 x ，
3
符合题意；····························································································································10分
③当 f 1 f 1 0，由零点存在定理，则 f 1 f 1 a 5 a 3 0，解得
a 3,0 0,5 .
综上，f x 在区间 1,1 内恰有一个零点时，实数 a的取值范围为 4 3,0 0,5 .
················································································································································12分
π
21.解：（1） f sin
π 2cos2 π 1 1 .·································································· 2分
6 6 6
2 f x sin 2x π 2cos2 x 3（ ） 1 sin 2x
1
cos2x cos2x
6 2 2
3
sin 2x 1 π cos 2x sin 2x
，·········································································6分2 2 6
π
由 2kπ π π 2x 2kπ，
2 6 2
π π
得 kπ x kπ， k Z，
3 6
π π
所以 f x 的单调递增区间是 kπ, kπ k Z ．··········································8分 3 6
π
（3）因为 x 0,m ，所以 2x , 2m ．·················································· 10分6 6 6
高一数学参考答案 第 3 页 共 4 页
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依题意 2π 2m π 3π 11π 17π，解得 m ．
6 12 12
11π 17π
所以 m的取值范围为 ， ．················································································ 12分 12 12
22.解：（1）令 x1 x2 1，则 f 1 f 1 f 1 ，即 f 1 0，·························· 1分
令 x1 x2 1，则 f 1 f 1 f 1 ，即 f 1 0，·································2分
令 x1 x 0， x2 1，则 f x xf 1 f x ，即 f x f x ，
故 f x 是奇函数.··················································································································4分
f x x f x ff x x x f x x f x 1 2 1 x2 （2）∵ 1 2 1 2 2 1 ，则 ，x1x2 x1 x2
即 g x1x2 g x1 g x2 ，····························································································5分
g x g x x1 g x g x 则 1 2 2 1 ，即 g x1
g x2 g
x1
，··············· 6分
x2 x2 x2
x x
令 x1 x2 0，则 1 1， g 1 0，x2 x2
∴ g x1 g x2 0，即 g x1 g x2 ，
故 g x 在 0, 上单调递减，························································································ 8分
又∵ g f x f x f x x g x ，则 g x 是偶函数，···················· 9分
x x x
∴ g x 2 g x 2 ， g x g x ，即 g x 2 g x ，························ 10分
x 2 0
则 x 0 ，解得1 x 2或 x 2，
x 2 x
故不等式 g x 2 g x 的解集为 1,2 2, ····················································12分
高一数学参考答案 第 4 页 共 4 页
{#{QQABLQwUggCoABBAAAhCAwV6CAMQkAEACIoOgFAEMAAAiAFABAA=}#}秘密★启用前 试卷类型 :A
2023～2024 学年度第一学期学科素养诊断试题
高 一 数 学
2024.01
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {钝角}， B {第二象限角}，C {小于 180°的角}，则
A． A B B．B C C． A B D． B C
2． sin18 cos63 sin 72 sin117 的值为
1 1
A． B． C 2． D 2．
2 2 2 2
3．设 a 30.7 ，b log0.7 0.8
3
， c tan ，则 a,b,c的大小关系为
4
A． c b a B．b a c
C．b
4．下列函数既是奇函数又在 ( 1,1)上是增函数的是
A． y sin x B． y 2 C． y 2x 2 x D． y lg(x 1)
x
5．已知函数 f (x) sin( x π 2π )（ 0），若 f (x)在[0, ]上有两个零点，则 的取
3 3
值范围是
5 5 11 5 5
A．[ , ) B．[ , ) C．[ ,4) D．[ ,3)
2 2 2 2 2
6．已知命题 p： x2 3x 10 0，命题 q： x＞m2﹣m 3，若 p是 q的充分不必要条
件，则实数 m的取值范围是
A．[ 1, 2] B． ( , 1] [ 2, )
C． ( , 1) ( 2, ) D． ( 1, 2)
1
7 f (x) (
1)x log x g(x) 1 ( )x 2．已知函数 2 ， x ， h(x) (
1)x x 2 在区间 (0, )内的零
2 2 2
高一数学试题第 1 页 共 4 页
{#{QQABLQwUggCoABBAAAhCAwV6CAMQkAEACIoOgFAEMAAAiAFABAA=}#}
点分别是 a，b，c，则 a，b，c的大小关系为
A． a b c B． b c a C． c a b D． b a c
8．左图是杭州 2023年第 19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主
义大潮的涌动和发展.右图是会徽的几何图形.设弧 AD的长度是 l1，弧 BC的长度是 l2，
几何图形 ABCD面积为 S1，扇形 BOC面积为
S2 ，扇形 AOD周长为定值 L，圆心角为 ，
l1
若 3，则当 S1取得最大值时，圆心角为 l2
的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列说法正确的是
A ．两个角的终边相同，则它们的大小相等 B． tan 225 1
C．若cos 0，则 为第一或第四象限角 D．经过 30分钟，钟表的分针转过 π弧度
10．已知 sin cos
1
，且 为锐角，则下列选项中正确的是
5
sin cos 12A． B． sin cos
7
25 5
4
C． (0, ) D． tan
4 3
11．已知函数 f (x) 2sin x cos2x，下列选项中正确的是
A． f (x)为奇函数 B． f (x)在区间 0,2π 内有 2个零点
π 3C． f (x)的周期是 D． f (x)的最大值为
2
x 2 x 0
12．已知函数 f x ，方程 f 2 x mf x 1 0lgx x 0 有 4个不同的实数根，
则下列选项正确的为
A．函数 f x 3 的零点的个数为 2 B．实数m的取值范围为 ,
2
C．函数 f x 无最值 D．函数 f x 在 0, 上单调递增
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
2
13． log 3 log 36 612 8 的值为______．
π
14．若 sin(π ) 3 ，则 cos( ) _________.
6 3 3
15．已知 a，b，c均为正实数， ab ac 4，则
2 2 8
的最小值是______.
a b c a b c
1
16．已知函数 f (x) （其中 ， ）的
sin( x ) 0 2
部分图象如图所示，则 ________， ________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）
3已知角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为 ( , y )，
5 0
且 (3 , 2 ) .
2
（1）求 sin 的值；
cos( ) cos( 9 ）
（2 2）求 3 的值.sin( ) tan( )
2
18．（本小题满分 12分）
x
已知函数 f x x 2 2 a ,a R .
（1）当 a 1时，解关于 x的方程 f x 0；
（2）解关于 x的不等式 f x 0 .
19．（本小题满分 12分）
已知函数 f x Asin x π（ A 0， 0， ）的部分图象如图所示．若
2
f x 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的
2倍，得到函数 g x 的图象．
（1）求 g x 的解析式；
（2）求 g x 在 1,2 上的单调递减区间.
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20．（本小题满分 12分）
已知二次函数 f x ax 2 4x 1 .
（1）当 a取何值时，不等式 f x 0对一切实数 x都成立；
（2）若 f x 在区间 1,1 内恰有一个零点，求实数 a的取值范围.
21．（本小题满分 12分）
已知函数 f x sin 2x
π
2cos
2 x 1．
6
（1）求 f
π
6
的值；
（2）求 f x 的单调递增区间；
（3）若 f x 在区间 0,m 上有且只有两个零点，求 m的取值范围．
22．（本小题满分 12分）
已知定义域为 I ,0 0, 的函数 f x 满足对任意 x1， x2 I 都有
f x1x2 x1 f x2 x2 f x1 .
（1）求证 f x 是奇函数；
（2）设 g f xx ，且当 x 1时， g x 0，求不等式 g x 2 g x 的解.
x
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