2024年山东省青岛市九年级数学一模复习热身练习卷（含解析）

2024年山东省青岛市九年级数学一模复习练习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数2024的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2 . 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
4 . 第届亚运会于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5 . 在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，
已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，
则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
某大桥采用了低塔斜拉桥桥型（如图1），图2是从图1抽象出的平面图，
假设站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是30°，拉索的坡度（或坡比），
两拉索底端距离是18米，则立柱的高度是（ ）
A．18米 B．米 C．米 D．9米
如图，四边形是的内接四边形，，．
若的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，
使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10 . 如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，以下结论：
①， ②， ③， ④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11 .现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

计算：
代数式与代数式的值相等，则x ＝ ．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15 . 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．

如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ．
作图题（本大题满分4分）
17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
解答题（本大题共9小题，共68分）
18. （1）计算：；
解不等式组：
今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，
夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩
（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：
A组（），B组（），C组（），D组（），
绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，
试估计小明班级的平均成绩；
小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，
实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因．
20. 甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），
若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，
那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
21. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E，F为对角线BD上的两点，且DF=BE，连接AE，CF．
求证：∠DAE=∠BCF．
如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕点、转动，
测量知，．当，转动到，时，
求点到直线的距离．
（精确到，参考数据：，，）
23. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
24 .某商场选购A、B两种品牌的儿童服装，A品牌服装每套进价比B品牌服装每套进价多25元，
用4000元购进A种服装数量是用1500元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)A品牌每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，商场决定，
购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多7套，两种服装全部售出后，
可使总的获利不低于14000元，则最少购进A品牌的服装多少套？
25. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
求抛物线的解析式．
(2) 点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
(3) 抛物线上是否存在点Q使得？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．
观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．
当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②的度数为 　 　度；
类比探究：
如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
2024年山东省青岛市九年级数学一模复习练习卷
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数2024的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的相反数是
故选：C．
2 . 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
4 . 第届亚运会于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5 . 在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，
已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，
则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选：C．
6. 如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，根据即可得出结论．
【详解】：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
故选：A．
某大桥采用了低塔斜拉桥桥型（如图1），图2是从图1抽象出的平面图，
假设站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是30°，拉索的坡度（或坡比），
两拉索底端距离是18米，则立柱的高度是（ ）
A．18米 B．米 C．米 D．9米
【答案】B
【分析】首先证明BD＝AD＝20米，解直角三角形求出BC即可．
【详解】∵拉索的坡度（或坡比），
∴tan∠BDC=
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∠A＝30°，
∴∠ABD＝60° 30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝18米，
∴BC＝BD sin60°＝（米），
故选：B．
如图，四边形是的内接四边形，，．
若的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，
使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点E作于点G，根据中点的性质可得，即可求出，根据折叠的性质可得，，则，进而得出，则，即可求出，即可求解．
【详解】解：过点E作于点G，
∵四边形为正方形，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10 . 如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，以下结论：
①， ②， ③， ④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向得a<0，利用对称轴在y轴的右侧得b>0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a-b+c=0，则b=a+c=a+1，可得00，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x>-1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对④进行判断．
【详解】∵由抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴ab<0，故①正确；
∵点(0，1)和( 1，0)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
又∵a<0，
∴0∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
又∵a<0，
∴2a+2<2，即a+b+c<2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为( 1，0)，抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(1，0)的右侧，
又∵抛物线开口向下，
∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，
∴0∵x> 1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，
∴y>0或y=0或y<0，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11 .现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12.计算：
【答案】．
【分析】根据二次根式的计算和特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】
=
=
=．
故答案为：．
13.代数式与代数式的值相等，则x ＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 . 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．

【答案】11
【分析】根据反比例函数解析式中，k的几何意义求解．
【详解】如图，延长交y轴于点C，
，，
∵
∴，
解得

故答案为：11．
如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵对折矩形的纸片，使与重合，
∴，
∴，
∵把再对折到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）
17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】作垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：解不等式得：
解不等式得：
∴原不等式组的解集是．
今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，
夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩
（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：
A组（），B组（），C组（），D组（），
绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，
试估计小明班级的平均成绩；
小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，
实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因．
【答案】（1）图见详解；
（2）；
（3）小明班级的平均成绩为分；
（4）小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求；
【解析】
【分析】（1）根据直方图与扇形统计图共同有的量C组数据计算出样本即可得到答案；
（2）利用乘以A组的占比即可得到答案；
（3）利用加权平均数公式求解即可得到答案；
（4）根据抽样的要求分析即可得到答案；
【小问1详解】
解：由图形可得，
样本为：（人），
∴B的人数为：（人），
∴频数分布直方图如图所示：
；
小问2详解】
解：由（1）得，
扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为：，
故答案：；
【小问3详解】
解：由题意可得，
小明班级的平均成绩为：（分），
答：小明班级的平均成绩为分；
【小问4详解】
解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求．
20. 甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），
若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，
那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）
（2）公平．理由见解析
【解析】
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，
再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；
（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴乙选中球拍C的概率；
【小问2详解】
解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率，
乙先发球的概率，
∵，
∴这个约定公平．
21. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E，F为对角线BD上的两点，且DF=BE，连接AE，CF．
求证：∠DAE=∠BCF．
【答案】证明见解析
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质推出AD=BC，AD∥BC，推出∠ADE=∠CBF，
根据SAS证△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕点、转动，
测量知，．当，转动到，时，
求点到直线的距离．
（精确到，参考数据：，，）
【答案】点到的距离为
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，易得，
在中，，在中，，
再用，即可得解．
【详解】解：过点作，垂足为，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为．
23. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)半径为
【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的性质可求出，
可得，由此即可求证；
（2）如图所示，连接，根据圆周角与圆心角的关系，可得，
根据圆中，相等的圆心角所对边相等，可得，在中，
根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵为的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴， 且，，
∴，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，即，
∴半径为．
某商场选购A、B两种品牌的儿童服装，A品牌服装每套进价比B品牌服装每套进价多25元，
用4000元购进A种服装数量是用1500元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)A品牌每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，商场决定，
购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多7套，两种服装全部售出后，
可使总的获利不低于14000元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】(1)、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
(2)至少购进品牌服装的数量是套．
【分析】（1）首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用4000元购进种服装数量是用1500元购进种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
（2）解：设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套．
25. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，
∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E
∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
26. 如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．
观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．
当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②的度数为 　 　度；
类比探究：
如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，45
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或．
【分析】（1）如图所示，设与交于O，求得，，，
证明，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）分两种情形：如图3-1和图3-2所示，分别求出，根据（1）（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由于点E与点F重合，
∴，
故答案为：，45；
（2）解：设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图3-1所示，当于O时，
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴同（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，延长交于O．
同理可得，，，
∴；
综上所述，的长为或．