第六章 §6.1 平面向量的概念 学案（含答案）

第六章　平面向量及其应用
§6.1　平面向量的概念
[学习目标]　
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
一、向量的概念及几何表示
问题1　在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
知识梳理　
1．向量的概念
(1)向量：既有________又有________的量叫做向量．
(2)数量：只有________没有________的量称为数量．
2．向量的表示
(1)有向线段
具有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：________、________、________.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作________．
(2)向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的________(或称________)，记作________．
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
例1　某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和.
反思感悟　作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练1　在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)＝3，点A在点O北偏西45°方向；
(2)＝2，点B在点O正南方向．
二、零向量和单位向量
知识梳理　
向量名称 定义
零向量 长度为________的向量，记作________
单位向量 长度等于____________的向量
例2　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量的长度都为0
C．单位向量方向相同
D．单位向量的长度都相等
反思感悟　解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练2　下列说法中正确的是(　　)
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
三、相等向量与共线向量
问题2　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？
问题3　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？
知识梳理　
平行向量(共线向量) 方向____________的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 长度________且方向______的向量；向量a与b相等，记作a＝b
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出模与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则||＝________.
1.知识清单：
(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆．
1．(多选)给出下列物理量，其中是向量的是(　　)
A．质量 B．速度
C．加速度 D．功
2．若＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
3．(多选)下列说法错误的为(　　)
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若∥，则一定有直线AB∥CD
D．若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上
4．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有(　　)
A.＝
B.∥
C.与共线
D.＝
§6.1　平面向量的概念
问题1　面积、质量只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向.
知识梳理
1.(1)大小　方向　(2)大小　方向　
2.(1)方向　起点　方向　长度　||
(2)①长度　模　||
例1　解　根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段＝4，＝6，＝4，
则向量，和如图所示.
跟踪训练1　解　(1)∵＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点.
(2)∵＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点.
知识梳理
0　0　1个单位长度　
例2　BD
跟踪训练2　C　[零向量的模为0，故A不正确；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，不止一个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.]
问题2　大小相等，方向相同.
问题3　大小不等，方向相同.
知识梳理
相同或相反　平行　相等　相同　
例3　解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)模与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
跟踪训练3　(1)，　(2)6
解析　(1)在 ABCD和 ABDE中，
∵＝，＝，
∴＝.
(2)由(1)知，＝，
∴E，D，C三点共线，
||＝||＋||＝2||＝6.
随堂演练
1.BC　2.A　3.ABC　4.ABC