2009年数学中考复习专题解析及测试（共10个专题）

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专题五《线段、角与三角形》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用 Ⅰ
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质 Ⅱ
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算 Ⅰ
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离 Ⅱ
5、三角形的有关概念，三角形中线的性质及运用 Ⅰ
6、全等三角形的概念、性质及判定 Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等边三角形的概念、性质及判定 Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解决简问题 Ⅰ
命题预测：从近两年全国课改实验区和非课改实验区的中考试题分析，直线型这部分内容是平面几何的起始内容，概念比较集中，中考对这部分内容的考查以概念为主，主要考查同学们对几何概念的认识和理解程度.这类中考题常以填空题和选择题的形式出现，解题时可采用概念辨析法来提高解题的速度与质量．
三角形的知识历年中考均有涉及，主要考查基本概念及简单应用，题型常以填空题、选择题、解答题等形式出现，分值一般在4％－6％之间．近年来有部分地区又出现了一些探索、开放型题目，意在考查学生的知识运用能力和创新能力，其中值得注意的网格中的三角形问题．
2007年中考，将继续考查线段的中点的概念及应用，对顶角、余角、补角的性质及应用．继续考查垂线、线段的垂直平分线的性质的应用，进一步突出平行线性质与判定方法的综合应用．三角形全等的性质和判定，等腰三角形、直角三角形的性质和判定．
●难点透视
例1下列说法中，正确的是（ ）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B．是直线外一点，，，分别是上的三点，已知，，，则点到的距离一定是1
C．相等的角是对顶角
D．钝角的补角一定是锐角
【考点要求】本题考查对线与角的基本概念的掌握。
【思路点拨】四个选择支分别给出了四个不同说法，需要用角平分线、点到直线的距离、对顶角和钝角、锐角、补角的有关概念做出判断．
一条射线把一个角分成两个角，这两个角不一定相等，A错；不一定是点到的距离，所以B错；相等的角也不一定是对顶角，故C也错．
【答案】选D．
【方法点拨】部分学生没有充分题解距离的意义，容易错误认地为B是正确答案。突破方法：结合图形进行判断，线段PA虽然是最短的，但不一定与直线垂直，因此不可称作距离。
解题关键：正确理解直线外一点到直线的距离是过这点所作直线的垂线段的长度。
例2如图5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本题考查通过相交线、垂线、角平分线的组合图形来检查同学们观察、分析图形的能力．
因为∠FOD与∠COE是对顶角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因为OG平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】选B。
本题的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度数，只要能求出∠AOE的度数即可。
例3如图5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度数是 度。
【考点要求】本题考查等腰三角形基本性质及等边三角形的判定等知识的运用。
【思路点拨】根据等边对等角及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等边三角形。
【答案】∠B的度数是60度。
【方法点拨】部分学生在第二次使用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求∠BDC时，容易出现错误求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一个外角是哪个三角形的外角。∠BDC是△ACD的外角，所以与其不相邻的两个内角分别等于20度、40度。
例4如图5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果、，那么）
（2）选择（1）中你写出的—个命题，说明它正确的理由．
【考点要求】本题考查的是全全等三角形的判定与性质的应用。
【思路点拨】这是一种开放性的问题，不拘于某种固定的答案，其特点是灵活性较强，能较好地考查学生的思维组织及对知识的灵活运用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根据角角边、角边角进行证明。
【答案】如果①，③，那么②；证明略。
【方法点拨】部分学生对三角形全等的判定方法掌握不够到位，会错写成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在证明三角形全等问题时，要尽量避开出现“边边角”条件的情况。
例5我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：图5-4中的图（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如图5-4中的图（2）；再将图5-4中的图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图5-4中的图（3）；如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（ ）
A．3 B． C． D．
【考点要求】本题是一道和三角形的周长有关的探索型问题．
【思路点拨】从图形我们可以观察到从第一个图形开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的倍，所以第二个图形的周长为；第三个图形的周长为；第四个图形的面积为；第五个图形的面积为．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生无法找出其中的变化规律，想通过逐个计算的方法求解，此方法较为繁杂从而导致计算错误。突破方法：从前一个三角形到后一个三角的每边长发生的变化进行分析，找出变化规律，而整个周长的变化也具有相同规律。
解题关键：本题作为规律探索题，可用公式表示结果，如第n个图形的周长应等于。
例6已知：如图5-6，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.
【考点要求】本题综合考查了三角形、四边形及圆的有关知识。
，，，，，，，。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生容易根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明CE=DE，CF=BF，但却不知怎么证明这四条边相等。突破方法：先要设法证明△ABC是等腰三角形。
解题关键：本题在等AC=BC时，除了用全等，也可根据圆中的垂径定理进行证明。
例7一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
【考点要求】本题考查勾股定理的应用．
【思路点拨】是的．
证明1：
在中，米．
米．
在中，米．
．即梯子底端也滑动了1米．
证明2：
在中， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 米．
米．
可证．
所以米．
．即梯子底端也滑动了1米．
梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】本题突破方法主要就是利用勾股定理进行证明，但要注意的是这一结论并不是对所有情形都成立，多数情况下梯子在竖直和水平方向上的滑动距离并不相等，关键要看相关的数据。
例8如图5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF=2CF．
【考点要求】本题考查线段的垂直平分线的有关知识。
【思路点拨】本题解题关键是辅助线的添加，连结EF可求解．
因为EF是AC的垂直平分线，所以AF=FC。
因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=BF，即BF=2AF．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生没有添加辅助线，因而无法将CF进行转化，证明不到BF与CF的关系。突破方法：在同一直线上的的线段倍数关系证明，应设法转化到同一个三角形中，根据特殊角的相关性质加以证明。
解题关键：利用垂直平分线的性质，作出辅助线AF，将CF转化为AF，再进行证明。
例9一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如5-8，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：．
【考点要求】本题考查勾股定理的证明，试题贴近生活，设计新颖，操作简单，有利于培养学生的动手能力．
【思路点拨】因为四边形为直角梯形，
所以
而Rt Rt，所以
所以
所以
，所以即．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生因未能将四边形的面积分割成恰当的图形，从而无从证明。突破方法：可将四边形分为三个三角形，分别计算面积，而四边形本身又是一个直角梯形，也可整体求出其面积，从而建立相等关系。
● 难点突破方法总结
在本部分试题中，出现较多容易混淆的概念和性质，如直线、射线、线段；对顶角、邻补角；平角与直线；平行线折判定与性质；垂线与垂线段的作图等。在应考时可利用“比较 ”的思想方法，弄清它们的联系与区别，以防作出错误推断。此外，还有以下几点需要注意。
1.掌握角平分线的性质和垂直平分线性质，能灵活运用它们解决实际问题。
2.掌握三角形有关的性质、判定与解题方法，如倍长中线法、构造全等三角形法，截长补短法等是应考的前提。
3.加强对探索题、动点问题、创新题的训练与研究，并不断归纳总结方法，逐步形成数学能力。
3.掌握三角形证明题的解题思路和方法，如分解图形法，构造图形法，分析法，综合法，以及数形结合法等。
4.注重知识的归纳总结，并逐步形成一个相对完整的体系，以便于求解综合题、创新题和开放题。
●拓展演练
一、填空题
1．同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是 ．
2．如图，已知相交于点，，，则 度．
3．如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=55°,∠γ=75°,则∠β为 ．
4．已知线段AB=2cm，延长AB到C，使BC=2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为______．
5.如图，AB//CD，若∠ABE=1200，∠DCE=350，则有∠BEC=__________度．
6．如图6所示,AB=AD, ∠1=∠2,添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,则需要添加的条件是_________________________________________________．
7．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ．
8．如图所示，在等腰三角形中，，，那么底边上的高 cm．
9．如图，△ABC中，∠B=90 ，∠C=30 ，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C′处，则CC′的长为 ．
10.如图所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________．
二、选择题
11．用一副三角板画角,不能画出的角的度数是（ ）
A．15° B．75° C．145° D．165°
12．如图，以下条件能判定的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．如图，已知AB∥CD，则（ ）
Ａ．∠1=∠2＋∠3 B．∠1=2∠2＋∠3
C．∠1=2∠2－∠3 D．∠1=180°－∠2－∠3
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
15．如图，与均为正三角形，且，则与之间的大小关系是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．大小关系不确定
16．下图是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0　　　　　Ｂ．1　　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
18．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
三、解答题
19．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长2.5米，顶端在上运动，量得滑杆下端距点的距离为1.5米，当端点向右移动0.5米时，求滑杆顶端下滑多少米？
20．如图，△是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，
（1）若，问△是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论．
●习题答案
一、填空题
1．1条或4条或6条（提示：分四点共线、三点共线、都不共线三种情形）
2．62（提示：根据余角和对顶角知识解答）
3．65°（提示：根据入射角等于反射角及三角形内角和知识解答）
4．5cm（提示：根据题意，画出图形，利用线段中点性质解答）
5.95（提示：作EF//AB，根据平行线同旁内角及内错角等知识解答）
6．∠B=∠D，或∠C=∠E，或AC=AE，答案不唯一（提示：可根据ASA、AAS、SAS等方法分析）
7．95°（提示：因为△OAD≌△OBC，所以∠D=∠C=20°，所以∠OAD=180°－（∠0＋∠D）=95°）
8．6（提示：根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半计算）
9．4（提示：将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C′处，则AC与AC′在同一直线上，且△AB′C′与△ABC全等，所以CC′=2AC=4）
10.（提示：本题是一道规律探索题，由已知图形可归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长为）
二、选择题
11．C（提示：用一副三角板可画出180度以内所有15度的整数倍的角，而145°不是15的整数倍）
12.C（提示：C根据内错角相等，两直线平行判定）
13．A（提示：因为AB∥CD，所以∠3=∠ABD，又∠1=∠2+∠ABD，所以∠1=∠2+∠3）
14．B（提示：因为AB=AC且BD=BC=AD，设∠A=x，所以∠A=∠ABD=x，∠BDC=∠BCD=∠ABC=2x，根据三角形内角和定理，∠A＋∠ABC＋∠BCD=180，即x＋2x＋2x=180，解得x=36）
15．A（提示：根据SAS，容易证明，所以）
16．C（提示：连结BP，则有，因为△ABC是等边三角形，根据等积法，可证得）
17．C（提示：根据勾股定理，，，）
18．C（提示：要求分成的四个图案面积和形状相同，所以各图案应全等，第二种设计不合要求）
三、解答题
19．解：设的长为米，依题意得．
，
∴．
，
∴在中，．
∴．即．
答：梯子下滑0.5米．
20．（1）△是等边三角形．证明如下：
△是等边三角形，
．
又，
．
△△△．
，即△是等边三角形．
（2）成立．证明如下：
如图，△是等边三角形，
．
．
又△是等边三角形，
．
．
．
同理．
△△△．
．
A
C
E
B
D
F
A
DE
BE
CE
EE
A
第18题图
第16题图
C
A
B
（第17题图）
第14题图
第13题图
第15题图
B
C
A
E
D
第12题图）
D
C
G
H
B
F
E
A
第10题图
第9题图
第8题图
Ｂ
4
3
2
1
C
E
B
D
F
C
D
A
第5题图
第7题图
第6题图
第3题图
Ｃ
第2题图
O
A
D
B
b
C
B
A
A
D
A
A
ab
E
图5-8
c
图5-7
图5-6
（1） （2） （3）
图5-4
图5-3
图5-2
图5-1
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专题九《图形与变换》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、轴对称图形的识别，轴对称的性质及其应用 Ⅰ
2、中心对称图形的识别，中心对称的性质及其应用 Ⅱ
3、图形的平移与旋转的性质及应用 Ⅱ
4、相似三角形的性质与判定的应用 Ⅱ
5、位似图形的识别，位似性质的简单应用 Ⅰ
命题预测：
本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。
对比近两年中考试题，预测2008年在这方面的考查将会弱化较为复杂的综合题和计算题，而相对强化图形与变换中的对称、平移、旋转以及相似和位似等方面的识别题、创新题、开放题，主要考查学生的动手能力，观察与实验能力，探索与实践能力，中考命题趋势是稳中求变，变中创新。
●难题透视
例1如图9-1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（ ）
【考点要求】本题考查学生轴对称知识的灵活应用。
【思路点拔】通过实物的演示或者操作以及空间想象，不难得到正确答案。
【方法点拨】在解答图形的折叠问题时，有时可借助实物进行操作、演示，帮助理解，从而弥补空间思维上出现的盲区。
例2如图9-2，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）
【考点要求】本题考查平面镜的轴对称变换。
【思路点拔】观察所给的“小狗照镜子”图，可以发现小狗的尾巴向左，并且正面向镜子，由于平面镜成像是轴对称变换，由性质可知，像的尾巴应向左且正面向前。
【答案】选A。
【错解剖析】部分学生未能抓住平面镜成像的轴对称变换特性而选择错误答案。
解题关键：先分析清问题是何种对称变换，然后利用性质解题。
例3如图9-3，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋转得出的。
【考点要求】本题考查平移、旋转的定义。
【思路点拔】图①中的鸽子是头向左，尾巴向右展翅飞翔，平移后的图形应与其方向保持一致，而如果经过旋转后则会发生方向上的改变。
【答案】③⑤是由①平移得出的，②④⑥⑦是由①平移且旋转得出的。
【错解剖析】本题需熟悉平移与旋转的性质，同时还需要一定的空间想象能力。
例4已知三个数1,2,,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.
【考点要求】本题考查比例式的概念。
【思路点拔】因为所添数字位置未作要求，因而有多种可能性，设所添数字为x，则有以下几种可能，，， 。
【答案】2或或。
【思路点拔】这是一道开放型试题，由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.
解题关键：以x为比例外项，则另一个比例外项可能是1、2或.
例5如图9-4,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上(点D不与A、C重合),若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______.
【考点要求】本题考查三角形相似的判定方法的运用。
【思路点拔】由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或即可.
【答案】∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,。
【错解剖析】部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角形顶点的对应。突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角。
例6如图9-6,AD是直角△ABC斜边上的高,DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.
求证:。
【考点要求】本题考查利用相似证明比例线段问题。
【思路点拔】∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.
∴∠B=∠DAC.
同理∠C=∠BAD.
又∵∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
又∵∠BED=∠BAD+∠ADE,∠AFD=∠C+∠CDF.
∴∠BED=∠AFD.
∴△BED∽△AFD.
∴。
【方法点拔】所证比例式中四条线段为△AFD与△BDE的边,只需证△AFD与△BDE相似即可.
解题关键：证明比例式或等积式的基本方法是证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两三角形相似.如果直接证明不容易,则可等线段转化或等比转化.
●难点突破方法总结
图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：
1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。
2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。
相似形内容难度与前几年相比，有所降低，主要解题方法可归纳如下：
1.准确掌握图形相似的概念、性质、判定和应用是应考的基本战略。
2.把握基本图形，实现对等转化是解决与相似三角形有关问题的重要方法，如通过平行线构造相似三角形；利用“A”型、“X”型找相似三角形；利用中间比实现转化等。
3.熟练掌握图形的相似各类应用问题，从中提炼出解题的基本方法，如类比法、设比值法、数形结合法等。
4.注重基础，不断创新，利用相似解决实际生活中的测量、设计等问题。
●拓展演练
一、选择题
1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（ ）
2．下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3． 如图,已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点,DE∥BC, 且四边形 =1:3，那么AD:AB等于( )
A. B. C. D.
4. 如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的 A端时,杠杆绕C点 转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须 向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1,则要使这块石头滚动,至 少要将杠杆的A端下压( ) A.100cm B.60cm C.50cm D.10cm
5.把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形平移的距离AA′是（ ）.
A.1 B. C. D.
6.如图13,已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、G,且EG:GH:HF=1:2:1,那么AD:BC等于( )
A.2:3 B.3:5 C.1:3 D.1:2
7.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）
A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到
C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到
8.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
9.点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截 得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
10. 如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°．边长为2， 将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到A′B′C′D′位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（ ）
A.8 B.4(－1) C.8(－1) D.4(＋1)
二、填空题
11.在你所学过的几何图形中，写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形名称：
12.若两个相似三角形的相似比是2:3, 则这两个三角形对应中线的比是__________.
13.由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑(如右图)。请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形。
14.如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 对 折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 .
15.如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE= AD·BC”成立,则这个条件可以是_________________.
16.如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G,则△BGC与四边形CGFD 的面积之比是________.
17.在△ABC和△A′B′C′中,有下列条件:①；②；③∠A=∠A′；④∠B=∠B′； ⑤∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的 共有_______组.
三、解答题
18．已知，点P是正方形ABCD 内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
29．实验与推理如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系 是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
20．图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；
探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.
●习题答案专题九《图形与变换》
1.【答案】C [点拨：能由旋转而构成的图形必须是旋转对称图形，C只是轴对称图形]
2.【答案】C [点拨：B即不是轴对称图形，也不是中心对称图形]
3.【答案】C [点拨：由四边形 =1:3，可知=1:4，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得AD:AB=1:2]
4.【答案】C [点拨：根据相似三角形的性质，可求得A端要向下压50cm，也可利用物理学中的杠杆定律解题]
5.【答案】D [点拨：因为AC=，所以正方形ABCD的面积等于1，所以阴影小正方形的面积等于，其边长等于，所以A′C=1，所以AA′=]
6.【答案】C [点拨：设，则，根据三角形中位线的性质可得，，所以AD:BC=1:3 ]
7.【答案】C [点拨：菱形ABCD中AB边的对应边为AE，所以旋转角为∠BAE=120°]
8.【答案】D [点拨：根据题目描述，画出图形，利用轴对称性质容易得到结果]
9.【答案】C [点拨：过点P可分别作AC、BC的平行线，由此可得相似三角形，另外还可作与AB相交的两条直线，构造相似三角形]
10.【答案】C [根据旋转性质，可以知道所得阴影部分图形的边长相等，再根据三角形全等和勾股定理可证得其长等于AB′=－1，从而求得周长]
11.【答案】菱形、圆 [点拨：比如矩形、正方形、菱形、圆等]
12.【答案】2:3 [根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可求得结果]
13.【答案】略 [点拨：本题没有固定答案，有多种答案可选择]
14.【答案】BC′=BC [点拨：因为∠ADC=45°，由轴对称性质可知DC′=DC，∠C′DC=90°.又BD=CD，由勾股定理可知，BC′= BC]
15.【答案】∠B=∠D [点拨：本题答案不唯一，要结论成立，只需△ABC∽△ADE]
16.【答案】4:5 [点拨：容易证明△AFG∽△CBG，因为F是AD中点，所以FG︰BG=1︰2，又△AFG与△ABG等高，所以=2︰1，所以△BGC与四边形CGFD 的面积之比是4:5]
17.【答案】6组 [点拨：根据三角形相似的判定，有三组对应边的比相等，两个对应角相等，两组对应边的比相等且夹角相等三种依据可判定两个三角形相似，所以有以下组合：①②、①④、②⑤、③④、④ ⑤、③⑤]
三、解答题
18.【答案】解：（1）①S阴影=
②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6；
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.
19.【答案】解：（1）①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF，∴ DE=EF，NE=BF
（2）在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF。
20【答案】解：（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD　∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°
∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ　　∴QT=QC=x　∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
∴y=×32 －(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)
（3）C′N·E′M的值不变 证明：∵∠ACC′=60°
∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=.
（C/）
（C/）
C/
图4
E′
D′
图3
图2
D′
E′
图2
图1
第16题
第15题
第14题
第13题
第10题
第7题图
第6题图
第5题图
T
S
D
C
B
A
D
C
B
A
图9-6
图9-4
图9-3
图9-2
图9-1
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专题一《数与式》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、平方根，算术平方根、立方根的概念及表示，乘方的意义 Ⅰ
2、无理数和实数的概念，近似数和有效数字 Ⅰ
3、二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则 Ⅱ
4、实数的大小比较，实数的混合运算 Ⅱ
5、单项式、多项式有整式概念 Ⅰ
6、整数指数幂的意义和基本性质，整式的加、减、乘、除运算，乘法公式 Ⅱ
7、提公因式法、公式法分解因式 Ⅱ
8、分式的概念，分式的基本性质，约分和通分 Ⅱ
9、简单的分式加、减、乘、除 Ⅱ
要求Ⅰ：理解掌握
要求Ⅱ：灵活运用
命题预测：实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具．因此在近年来各地的中考试题中一直占有重要的地位．这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的难度不大．多数来源于教材的习题或稍加变通．题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不大，没有繁杂的计算．近几年来，部分地区还设计了开放性探索题．预计今后的中考对实数的考察难度将依然控制在2006年的基础上．这部分的试题量一般占试题总量的2%——6%，分值占总分的3%——5%．
代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位，并且与实数部分一样，试题多数为题型小、难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、猜想题、规律探索题、阅读理解题等创新题型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手．这部分考题一般在6%左右，分值占7%左右．
综上所述，预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外，还会继续加强源于教材而又活于教材的题型，考察学生灵活应用知识的能力．促进课堂教学对创新能力的培养，从而全面提高素质教育．
●难题透视
例1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是
000 110 010 111 001 111
A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110
【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字0和1，要求能实现符号与数字的相互转化．
【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．
解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义．
例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含的代数式表示）．
【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．
【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第1个图形，黑色瓷砖4块；第2个图形，黑色瓷砖7块；第3个图形，黑色瓷砖10块……不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加3块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为1＋3，则第2个图形中的黑色瓷砖可表示为1＋3×2……所以第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．
【答案】黑色瓷砖10块，第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．
【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．
例3下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【考点要求】本题考查整式运算公式．
【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A项结果应等于，C项结果应等于，而D项无法运算．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式．
例4我国自行研制的“神舟6号飞船”载人飞船于2005年10月12日成功发射，并以每秒约7.820185公里的速度，在距地面343公里的轨道上绕地球一圈只需90分钟，飞行距离约42229000km．请将这一数字用科学记数法表示为________km．(要求保留两位有效数字)．
【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．
【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是10的指数，可归纳为指数n等于原数整数部分的位数减一．所以这一数字可表示为4.2×107．
【答案】4.2×107．
【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于10的指数容易弄错．突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法．
解题关键：科学记数法中，a是整数数位只有一位的数，10的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以简单的记作用原数的数位减去1所得到的数值．
例5分解因式：= ．
【考点要求】本题考查多项式的因式分解．
【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解．原式．
【答案】填
【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解．
解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换．
例6有一道题“先化简，再求值：，其中．”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力．
【思路点拨】把原式化简，可得．因为，所以无论是“”或“”，代入化简后的式子中，所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正确的．
【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累，熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题．
解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．
例7已知，化简的结果是（ ）
A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m
【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧．
【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m．
【答案】选D．
【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a、b的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是会用含m的式子表示a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含和的式子表示，再将已知条件代入即可．
解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．
例8如图1-2，时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是
【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．
【思路点拨】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5，8和9之间画直线．
【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．
【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标．突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．
例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．
【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．
【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）．所以问题（1）中，□表示的数为6，○表示的数为30；问题（2）中，△表示的式为，⊙表示的式为．
验证：，所以上述结论成立．
【答案】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．
【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．
解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息．
例10阅读下面的材料，回答问题：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-3，；当A、B两点都不在原点时：
（1）如图1-4，点A、B都在原点的右边，；
（2）如图1-5，点A、B都在原点的左边， ；
（3）如图1-6，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果，那么x= ．
【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A、B的距离公式，再引出相关问题，考查学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力．
【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为，结合各问题分别代入求解．（1）；（2）；因为，所以，所以或．所以或．
【答案】（1）3，3，4；（2）或．
【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题．
●难点突破方法总结
实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点：
1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．
2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．
3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．
整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：
1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．
2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或法则进行计算．
3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．
4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．
5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．
●拓展演练
一、填空题
1． （）2007·（－2）2008＝ ．
2． 如果数轴上不同的两点A、B所表示的数的绝对值相等，那么A、B两点所表示的数可以是
（只写出一组即可）．
3． 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则（a＋b）－cd＝ ．4．已知分式，当x＝ 时，分式的值为0．
5． 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
… …… …
根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： 　　　　　　 ．
6． 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形．如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位，则符合条件的C点共有 个．
7. 观察按下列顺序排列的等式:
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想:第n个等式(n为正整数)用n表示,可以表示成_________________________.
8. 若非零实数a，b满足，则= ．
9． 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a，再称其余的电线总质量为b，则这捆电线的总长度是 ．
10．已知二次三项式分解因式为，则b、c的值为 ．
二、选择题
11．按一定的规律排列的一列数依次为：┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 （ ）
A． B． C． D．
12．当x＜1时,化简的结果为( )
A. x－1 B. －x－1 C. 1－x D. x＋1
13．如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3 )是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第八个叠放 的图形中,小正方体木块总数应是 ( )
A. 66 B. 91 C. 120 D.153
14．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 （ ）
A． B． C． D．
15．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n次后折痕的条数是 （ ）
A．2n－1　 　B．2n＋1　 　C．2n－1　 　D．2n＋1
16．把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是 （ ）
A. B.
C. D.
17．计算的正确结果是 （ ）
A． B． C． D．
18．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是 （ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
三、解答题
19．观察下列各式及其验证过程:
验证: =.验证：= = = ；
验证: =．验证：== = ．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并 给出证明．
20．阅读下列题目的计算过程：
＝　　　　　　（A）
＝（x－3）－2（x－1）　　　　　　　　　 （B）
＝x－3－2x＋1　　　　　　　　　　　　　 （C）
＝－x－1　　　　　　　　　　　　　　　 （D）
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ．
（2）错误的原因 ．
（3）本题目正确的结论为 ．
●习题答案
专题一《数与式》
1、 填空题
1. 【答案】2（点拨：原式=．）
2. 【答案】（答案不唯一）
3. 【答案】－1（点拨：a，b互为相反数，所a＋b=0，c，d互为倒数，所cd=1．）
4. 【答案】－1（点拨：由题意且，所以x=－1．）
5. 【答案】、、、、、 （点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．）
6. 【答案】3个
7. 【答案】
8. 【答案】2（点拨：将原式改写为，所以，可求出b=2a．）
9. 【答案】（点拨：先取1米长的电线，称出它的质量为a，其余电线质量为b，则其余电线的长度为米，这捆电线的总长度为（）米．）
10. 【答案】－4，－6（点拨：将分解后的因式乘开，各项系数应与已知的二次三项式相等．）
二、选择题
11. 【答案】D（点拨：每个分数的分子均为1，分母为或（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为．）
12. 【答案】C（点拨：开方的结果必须为非负数．）
13. 【答案】C（点拨：每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加4，列出前面几组数据，第一层：1，第二层：1＋（1＋4） ，第三层：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2）＋…＋[1＋4(n－ 1)]=（n表示第几个叠放的图形），当n=8时，共有.）
14. 【答案】C（点拨：n=1，有3个正方形；n=2，有7个正方形；n=3，有11个正方形…，规律：n每增加1，就多出4个正方形．）
15. 【答案】C（点拨：除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．）
16. 【答案】A（点拨：．）
17. 【答案】B（点拨：将括号内的式子分别通分．）
18. 【答案】C（点拨：设地球仪赤道半径为r，则；设地球赤道半径为R，则，所以相等．）
三、解答题
19．【答案】(1)4=．
验证:4====
(2)由题设及(1)的验证结果,可猜想对任意自 然数n(n≥2)都有:
n=．
证明：∵n = ==，
∴n=．
20．【答案】（1）B ；
（2）去分母；
（3）；
．
（3）
（2）
（1）
……
图1-1
图1-2
O（A）
0
b
B
图1-3
O
0
b
B
图1-4
a
A
B
b
a
A
图1-5
O
0
B
b
a
A
图1-6
O
0
A
B
n=1
n=2
n=3
……
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专题四《统计与概率》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义 Ⅰ
2、总体、个体、样本，全面调查及抽样抽查，频数、频率等概念 Ⅰ
3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理 Ⅱ
4、理解概率的意义，会用列举法及频率求概率 Ⅱ
5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题 Ⅱ
命题预测：概率是新课程标准下新增的一部分内容，从2004、2005以及2006年课改实验区的中考试题来看，概率在试题中占有一定的比例，一般在10分左右，因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点．
在中考命题时，关于概率的考题，多设置为现实生活中的情境问题，要求学生能分清现实生活中的随机事件，并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率．因此学生在复习时要多接触现实生活，多作实验，留心身边的每一件事，把实际问题与理论知识结合到一块来考虑问题．预测2007年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释．
●难点透视
例1六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2、3、5、13、3、10，这六个数的中位数为（　　）
　　　A．3　　　　　B．4　　　　　C．5　　　　　D．6
【考点要求】本题考查统计的基本概念中位数的意义．
【思路点拔】中位数是把数据按一定顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均数，本题共6个数据，按从小到大顺序排列后，中间位置的两个数是第3、4个，分别是3和5，它们的平均数为4，所以中位数是4．
【答案】选B．
【错解剖析】不能正确理解中位数的意义，简单的理解成中间位置上的一个数或两个数的平均数．突破方法：判断中位数时，必须先按一定顺序排列．
解题关键：要看清一组数据是否按一定顺序排列．
例2如图4-1是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
【考点要求】本题考查扇形统计图的意义．
【思路点拔】因为扇形统计图中的数据只能反映各组数据所占的百分比的大小，题目中并没有提供支出的总费用，所以不能确定全年食品支出的具体大小．
【答案】选D．
【错解分析】部分学生简单地从所占百分比进行比较判断．突破方法：具体费用的多少，必须用总费用乘各项支出的百分比．
解题关键：扇形图中各项的百分比表示各组数据所占的比例大小，但不能表示具体的数值．
例3 “长三角”16个城市中浙江省有7个城市．图4-2中，图1、图2分别表示2004年这7个城市GDP（国民生产总值）的总量和增长速度．则下列对嘉兴经济的评价，错误的是
A．GDP总量列第五位 B．GDP总量超过平均值
C．经济增长速度列第二位 D．经济增长速度超过平均值
【考点要求】本题考查条形统计知识，要求能根据统计分析相关数据，得出信息．
【思路点拔】由条形图1可知，嘉兴GDP总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后，位列第5，而由条形图2可知GDP增长速度位于舟山之后，列第2；由图1，可算得GDP总量平均值为1301.6亿元，由条形图2可算得增长速度平均值为15.5%．
【答案】选B．
【方法点拨】本题以计算为主．突破方法：要做出正确选择，必须求出两个条形图中提供信息的平均值．
例4一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对9位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、23、20、24、23、24. 经销商最感兴趣的是这组数据中的（ ）
A．中位数　　　　B．众数　　 　　　C．平均数　　　　 D．方差
【考点要求】本题考查统计知识在生活中的应用．
【思路点拔】因为经销商所关心的是哪种号码的鞋最好销售，也就是各种号码中卖出最多的．
【答案】选B．
【规律总结】本题是一道联系生活实际的问题．突破方法：销售商最想知道的是哪种号码的鞋最好卖，能反应出这一点的是众数．
例5甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm，它们的方差依次为S2甲=0.162，S2乙=0.058，S2丙=0.149.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床.
【考点要求】本题考查方差的有关知识，方差越小，说明数据波动越小，比较稳定．
【思路点拔】因为S2乙＜S2丙＜S2甲，所以乙机床生产的螺丝质量比较稳定．
【答案】填乙．
【错解剖析】不能正确理解方差与波动之间的关系．突破方法：正确理解方差越大，波动越大，说明数据越不稳定．
例6以下说法合理的是（　　）
A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6
C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖．
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51．
【考点要求】本题考查对概率意义的理解．
【思路点拔】A项中实验次太少；B项应该是经过大量实验平均每6次有一次掷得6；C不一定，彩票数量很大，这100张中可能一张也不会中奖，也可能不止一张中奖；D项两组概率接近0.5，所以正确．
【答案】选D．
【错解剖析】容易错选B，主要是由于未能正确理解概率的意义，必须是在大量试验的前提下，平均每6次就有1次．
例7如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.
【考点要求】本题考查利用概率判断规则的公平性．
【思路点拔】两枚硬币抛掷的所有可能结果是：正正、正反、反正、反反，其中两个正面的概率是P（两个正面）=，所以甲的积分为：×1=，乙的积分为：×1=.因此甲获胜可能性更大．
【答案】填甲．
【错解剖析】部分学生易错误的认为其它他结果为一正一反即正反与反正，从而把甲得分概率错求为．突破方法：两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反．
解题关键：用列举法把各种结果全部表示出来．
例8用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，则应设 个白球， 个红球， 个黄球．
【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定．
【思路点拔】因为一共有6个球，需满足条件：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，则白球有6×=3个，红球有6×=2个，黄球有6×=1个．
【答案】填3，2，1．
【错解剖析】部分学生容易忽视总共是6个球，而只考虑三种颜色球之比为3：2：1.
例9在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小华记录了她预测时1分钟跳的次数分别为145，156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是
【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率．
【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有5种，其中达标的结果有2种，所以他达标的概率是.
【答案】
【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率．
例10我市部分学生参加了2005年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－119 120－140
人 数 0 37 68 95 56 32 12
请根据以上信息解答下列问题：
（1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
（2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
（3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
（4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题．
【思路点拔】（1）全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20－39之间，最高分在120－140之间
（2） 本次决赛共有195人获奖，获奖率为65％ .
（3） 决赛成绩的中位数落在60—79分数段内.
（4） 如“120分以上有12人；60至79分数段的人数最多；……”等.
【答案】（1）最低分在20－39之间，最高分在120－140之间；
（2）获奖率为65％；
（3）60至79分；
（4）120分以上有12人；60至79分数段的人数最多．
【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息．
例11市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢？
【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮助作出决策的实际应用问题．
【思路点拔】（1）
（2） 故甲稳定
（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65m而乙有3次低于1.65m；
也可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m．（答案不唯一，言之有据即可）
【答案】（1）；
（2）甲稳定；
（3）答案不唯一，言之有据即可
【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答．
例12如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题．
(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2)＝＝3（万元），＝＝3（万元）
＝[(-2)＋(-1)＋0＋1＋2]＝2，＝[0＋0＋(-1)＋1＋0]＝
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得　５－≤４ 解得x≥100 100-80＝20
【答案】（1）2005年；
（2）从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大；
（3）至少要提高20元．
【方法点拔】完成第（3）问时要先确定票价与游客人数的函数关系，然后根据题目要求列出不等式，求出相应的票价，再计算出票价提高多少．
例13小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图4-5），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．
（1）你认为游戏公平吗？为什么？
（2）游戏结束后，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”．请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积的方案，即用概率知识进行方案设计．
【思路点拔】（1）不公平
∵P(阴)=，即小红胜率为，小明胜率为
∴游戏对双方不公平
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
设计方案：① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来（如正方形，其面积为S）．如图4-6所示；
② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)．
③ 当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷图形内．
④ 设非规则图形的面积为S＇，用频率估计概率，即频率P＇（掷入非规则图形内）=概率P(掷入非规则图形内)=，
故
【答案】（1）不公平；
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
【方法点拔】本题第（2）问的解决是在第（1）问的逆向思维基础上进行，只有正确解决了第（1）问并能正逆理解才能有第（2）问的方案设计思路．
● 难点突破方法总结
统计与概率问题中，中考考查以基础题主为，难题一般为实际运用，解题时应注意以下几点．
1．提高运算技能，平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到，而运算的结果将会影响到统计的预测．
2．提高阅读理解和识别图表的能力，统计问题的试题中，许多问题都是以社会热点为背景，形式灵活多样，综合性较强，强调课内知识和课外活动相结合，调查分析和收集整理相结合；
3．注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用；
4．加强统计与概率之间的关系，同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习；
5．加强训练，能用规范的语言表述自己的观点．
●拓展演练
一、填空题
1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是__ __．
2． 一个口袋中有4个白球，1个红球，7个黄球．搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________．
3．2006年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数据的中位数是__________.
4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：
区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14
则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm）．
5．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是_____．
6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：
（1）学生会共抽取了______份调查报告；
（2）若等第A为优秀，则优秀率为_____________ ；
（3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E
7．有100张已编号的卡片（从1号到100号）从中任取1张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是7的倍数的概率是________．
8．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于3的概率是_________．
二、选择题
9．在样本方差的计算式S2=(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中，数字10与20分别表示样本的( )
A．容量、方差 B．平均数、容量 C．容量、平均数 D．标准差、平均数
10．宾馆客房的标价影响住宿百分率．下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据：
客房价(元) 160 140 120 100
住宿百分率 63.8％ 74.3％ 84.1％ 95％
在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选( )．
A．160元 B．140元 C．120元 D．100元
11．数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数或中位数 B．方差或极差 C．众数或频率 D．频数或众数
年人均收入 3500 3700 3800 3900 4500
村庄个数 0 1 3 3 1
12．国家实行一系列“三农”优惠政策后，农民收入大幅度增加．某乡所辖村庄去年年人均收入（单位：元）情况如右表，该乡去年年人均收入的中位数是( )
A．3700元 B．3800元 C．3850元 D．3900元
13．在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（ ）
A．0.85 B．0.085 C．0.1 D．850
14．一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得1分；乙学生抛出一正一反得1分．那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为（ ）
A．甲→25分，乙→25分 B．甲→25分，乙→50分
C．甲→50分，乙→25分 D．甲→50分，乙→50分
三、解答题
19．某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：
年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁
参赛人数 5 19 12 14
（1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数；
（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%. 你认为小明是哪个年龄组的选手 请说明理由.
20．小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程(千米) 46 39 36 50 54 91 34
请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米 (2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升3．45元．请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元
21．（连云港市2005）今年“五一黄金周”期间，花果山风景区共接待游客约22.5万人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查，请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：
档 次 第一档 第二档 第三档 第四档 第五档
分值a（分） a≥90 80≤a<90 70≤a<80 60≤a<70 a<60
人 数 73 147 122 86 22
根据表中提供的信息，回答下列问题：
（1）所有评分数据的中位数应在第几档内？
（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数．
22．在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：
（1）根据图①提供的信息补全图②；
（2）参加崂山景区登山活动的 12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字）
23．袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球，从袋中随意摸出1球．并且随意抛掷一个面上标有1，2，3，4，5，6各一数字的正方体均匀骰子．
（1）如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜；如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？
（2）如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜；如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
24．小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色．小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列(如图所示)，就算甲方赢，否则就算乙方赢．”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出主意，并说明理由．
专题四《统计与概率》
●习题答案
一、填空题
1． （提示：实验中，我们关注的结果的次数是11，所有等可能出现的结果的次数是14，故取到黄球的概率）
2．（提示：P（白球）=）
3．31（提示：将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35，则位于中间位置的一个数为31，即这组数据的中位数是31）
4．14，14（提示：14出现次数最多，平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10）
5．（提示：P（向上数字为3）=）
6．50，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；优秀率为8÷50=0.16；等第为E的报告有）
7．，（提示：1到100中奇数有50个，P（卡片是奇数）=；7的倍数有100÷714，所以P（卡片号是7的倍数）=）
8．（提示：点数不大于3的数字有1、2、3，所以P（点数不大于3）=）
二、选择题
9．C（提示：要熟悉样本方差计算公式的意义）
10．B（提示：应综合考虑客房价与住宿百分率两方面因素，要使两者乘积最大）
11．B（提示：反映数据稳定性的量是数据的方差或极差）
12．C（提示：表中共有8个数据，位于中间位置的两个的数分别为3800、3900，故本组数据的中位数为（3800+3900）÷2=3850）
13．A（提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名学生吃早餐的概率）
14．D（提示：P（摸出的是黑球）=，所以P（摸出的不是黑球）=1－=）
15．C（提示：共有10000张奖券，其中一等奖10个，购物100元，可得一张奖券，故P（中一等奖）=
16．B（提示：P（A指奇数）=，P（B指奇数）=，所以P（A、B同时指奇数）=×=）
17．D（提示：P（两支红色水笔））
18．B（提示：抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以P（甲抛出两个正面）=，P（乙抛出一正一反）=，各抛100次后，甲得分100×=25（分），乙得分100×=50（分））
三、解答题
19．解：（1）众数是14岁，中位数是15岁；
（2）（5+19+12+14）×28%=14（人）
所以小明是16岁年龄组的选手．
20．解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米)．
∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米)．
答：小谢家小轿车每月要行驶1500千米．
(2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元．
21．解:（1）所有评分数据的中位数应在第三档内.
（2）根据题意，样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342，
所以，22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为（万）.
22．解：（1）略 （2）60－69岁
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想合理即可．
23．解：①公平 因为获胜概率相同都等于；
②不公平；因为甲获胜概率为，乙获胜概率为．
24．解：小华当乙方．理由：设A1表示第一个黑球，A2表示第二个黑球，B1表示第一个白球，B2表示第二个白球．有24种可能结果(可以利用树状图或表格解释)，黑白相间排列的有8种．因此，甲方赢的概率为，乙方赢的概率为，故小华当乙方．
A B
第6题图
图4-6
图4-5
图4-4
A
B
万人
6
5
4
3
2
1
2002 2003 2004 2005 2006 年
图2
图4-2
图1
图4-1
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专题六《四边形》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、四边形和多边形的有关概念，四边形及多边形的内角和、外角和定理 Ⅰ
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，运用相关知识进行证明及计算 Ⅱ
3、中心对称和中心对称图形的概念、性质及判定 Ⅱ
4、梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形的性质和判定，运用相关知识进行证明和计算； Ⅱ
5、三角形、梯形中位线定理及其运用 Ⅱ
6、割补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积 Ⅰ
命题预测：四边形知识是中考的重点内容，纵观近几年的中考试题，四边形以其独特的魅力占据了一席之地，试题从拼图剪切分割、到阅读理解、科学探究发现应有尽有，题型涉及填空、选择、解答题等各种形式，尤其值得重视的是与四边形相关的开放探索性问题，以及与相似形、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。在2004-2006年的中考中，四边形知识的题量大约占全卷试题总量的14%-16%，平均分值一般占到12%左右，有些地区比例更高。
估计2007年有关四边形试题将保持综合性，加大开放性，增强探索性，体现应用性。
●难点透视
例1若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.
【考点要求】本题考查多边形内角公式与外角知识。
【思路点拨】设此凸多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于360°”的推论，列方程，得,解得n=4.
【答案】填4.
【方法点拨】部分学生因未能记住多边形内角和公式，导致无法求解。突破方法：利用图形推导，理解记忆多边形内角和公式计算公式为：。
例2（2005年荆门）下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【考点要求】本题考查轴对称与中心对称知识。
【思路点拨】一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形。
【答案】选A。
【方法点拨】部分学生未正确理解中心对称的意义，容易错远C。突破方法：理解中心对称的意义，要求图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合。
解题关键：判断中心对称的简单方法就是将图形正着看与倒过来看效果是完全一样的。
例3如图6-1，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【考点要求】本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识。
【思路点拨】观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于120°，所以=60°。
【答案】选A。
【方法点拨】部分学生对于本题不易找到解题思路，不能完整解答，通常是进行猜测。突破方法：牢牢抓住图中是六块全等的等腰梯形，因而各对应底角相等。
解题关键：以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析，三个相等的底角和为360度，所以每个上底角等于120度，下底角为60度。
例4已知：如图6-2，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
【考点要求】本题考查菱形的有关性质及相似三角形的判定及应用。
【思路点拨】菱形ABCD中，AD=CD=6，因为OE∥DC，所以△BEO∽△BCD，所以BO︰BD=OE︰CD，又因为O是BD中点，所以。
【答案】选C。
【方法点拨】解题关键：线段OE的一个端点O为对角线的中点，要求OE长，只需证明OE是中位线。
例5如图，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4 cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点要求】本题考查平行四边形及垂直平分线性质的应用。
【思路点拨】由题意知，AD+CD=8cm。□ABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA。因此，△DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。
【答案】选C。
【方法点拨】少数学学生未能意识到OE是AC的垂直平分线而无法选择。突破方法：平行四边形对角线互相平分，所以O为AC中点，OE⊥AC，因此OE是AC的垂直平分线。
解题关键：将△DCE的周长转化为AD与CD的和。
例6如图6-5，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=a，CD=b（a>b）．若EF//AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：.
试运用类比的方法，推想下述问题的结果.
在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别是S1、S2, EF//AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是（ ）
A．S0 = B．S0 =
C． = D． =
【考点要求】本题考查梯形中位线性质的应用。
【思路点拨】题目中给出的是梯形中位线定理的推广公式，
由DC//EF//AB，得 = ， =
∴a = ，b =
代入题目所给公式，化简得 = 。
【答案】选C。
【方法点拨】解题关键：观察四个选项，容易看出各选项结构与题目条件所给公式相同，但都不含字母a和b。根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，分别求出a、b，然后代入题目中所提供的公式，整理后可得出结果。
例7如图6-7，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【考点要求】本题考查菱形的判定及简单的三角函数知识。
【思路点拨】（1）证明：方法1：，∴．
在和中，
∴，∴，
又，∴四边形是平行四边形．
，∴四边形是菱形．
方法2：证同方法1，
∴，，∴四边形是平行四边形．，
∴是的垂直平分线，，
∴四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，∴．
在中，，∴，
∴．
∴．
【答案】（2）
【误区警示】少数学生未能掌握菱形的判定方法，证明（1）时遇到困难。突破方法：因为菱形是特殊的平行四边形，结合本题所给条件，应先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直或一组邻边相等证明其为菱形。
例8如图6-10中图1，矩形纸片的边长分别为．将纸片任意翻折（如图2），折痕为（在上），使顶点落在四边形内一点，的延长线交直线于，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线PM上一点，且所在直线与所在直线重合（如图3）折痕为．
（1）猜想两折痕之间的位置关系，并加以证明．
（2）若的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕间的距离有何变化？请说明理由．
（3）若的角度在每次翻折的过程中都为 （如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形，及四边形的周长与有何关系，为什么？
【考点要求】本题考查学生对探索题型的思维能力水平，解题时关键要正确理解题意。
【思路点拨】（1）．因为四边形是矩形，所以，且M在直线上，则有，
∴，由翻折可得：，，
∴，故．
（2）两折痕间的距离不变。
过作，则，因为的角度不变，所以的角度也不变，则所有的都是平行的．
又因为，所以所有的PM都是相等的，又因为，故PH的长不变．
（3）当时，四边形是正方形，四边形是矩形．因为，，所以矩形的周长为2a。
同理可得矩形的周长为2a，所以两个四边形的周长都为2a，与无关．
【答案】（1）；（2）两折痕间的距离不变；（3）矩形的周长为2a，矩形的周长为2a。
【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程，所以难以理解题意，即使猜想出结论，也无法加以证明。突破方法：耐心研读题目条件，理解透彻。（1）问证明时，紧紧抓住翻折问题中存在的轴对称或者全等关系加以证明；（2）利用三角函数，将角的不变量转化为边的不变量；（3）将矩形的面积用已知条件表示出来，再作判断。
● 难点突破方法总结
分析近年数学中考试题可以发现，四边形在中考试题中占有很重要的地位，是中考的重点内容之一。本部分试题形式，题型丰富，考查面广。因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化。
1.准确掌握多边形的内角和公式，正多边形的性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定，平面镶嵌的条件和镶嵌设计等，这些都是应考的重要前提。
2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题。
3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法，解答开放性、综合合性的阅读理解、归纳探索等试题。
4.运用理论联系实际的方法，动手操作，实践探究，解决操作题、开放题、创新题。
●拓展演练
一、填空题
1．□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。
2．如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝60°，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。
3．如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。
4．已知：如图，在ABCD中，∠1=∠B=50°，则∠2=_________。
5．已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果ΔAOB的面积是3，那么ABCD的面积等于_______。
6．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．
7．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形面积为__ ____。
8．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 。
9．若梯形的面积为6㎝2，高为2㎝，则此梯形地中位线长为 ㎝。
10．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称、又是中心对称的图形是 。
二、选择题
11．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AD＝BC＇　　B．∠EBD＝∠EDB　　C．△ABE∽△CBD　　D．
12．已知：如图1，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
13．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
14．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
15．如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
16．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．AE=CF B．DE= BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
17．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）
A．3︰4 B．5︰8 C．9︰16 D．1︰2
18．下列图形中对称轴最多的图形是（ ）
三、解答题
19．已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。
22．已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。
21．已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，求证：CD=AN。
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O分别交AD、BC于点E、F。求证：OE=OF。
●习题答案
一、填空题
1．9（提示：根据对角线的性质，△OAB与△OBC有两边是相等的，则△OAB的周长比△OBC的周长大3，其实就是AB比BC大3，又知AB+BC=15，可求得AB=9，BC=6）
2．（提示：根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得AD=4，再利用对角线性质，可求得△BOC周长为12）
3．cm2（提示：连结AC，根据等积法知BC×AE=CD×AF，因为AE∶AF＝2∶3，所以BC∶CD=3∶2，因为□ABCD的周长为30，所以BC=9，CD=6，再根据勾股定理，可求得ABCD的面积为cm2）
4．80°（提示：由平行四边形性质可知：∠B+∠1+∠2=180°，又∵ ∠1=∠B=50°，∴∠2=180°－50°－50°=80°）
5．12（提示：利用等底等高，SABCD=4SΔAOB＝4×3=12）
6．16（提示：由题意可知ΔAEB与ΔAFD全等，所以四边形AECF的面积等于四边形ABCD的面积）
7．90cm（提示：由题意，菱形边长为10cm，根据勾股定理可得菱形两对角线分别为12和16，故菱形面积为90cm）
8．矩形、等腰梯形（拼时只要将相等的边靠在一起）
9．（提示：根据梯形面积=（上底＋下底）×高，其中，（上底＋下底）=中位线，所以梯形面积=中位线×高，所以此梯形中位线长为3㎝）
10．矩形、菱形、正方形（提示：平行四边形是中心对称，但不是轴对称，等腰梯形是轴对称，但不是中心对称）
二、选择题
11．C（提示：C项中，如果△ABE∽△CBD，则∠ABE＝∠DBC＝∠EBD=30度，但题目中不具备这一条件）
12．B（提示：连结EG，因为E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，容易证明，S，所以阴影部分面积等于矩形ABCD面积的一半）
13．A（提示：根据三角形中位线性质可知所得到的四边形对边平行且相等，所以是平行四边形）
14．C（提示：因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，即，则AB=10，又AB=CD，所以CD=10）
15．B（提示：根据三角形中位线知识，BC－AD=2（FO－EO）=6）
16．（提示：AE=CF，可用对角线互相平分证明；∠ADE=∠CBF可能过证明全等得到DE与BF平行且相等；∠AED=∠CFB也可利用全等证明BE与DF平行且相等）
17．B（通过割补法或数格子，可得阴影部分共占10格，与正方形面积比为10︰16=5︰8）
18．C（提示：A有4条对称轴；B有4条对称轴；C有无数条对称轴；D没有对称轴）
三、解答题
19．证明：连结BF、DE
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
又∵AF＝CE
∴FD∥BE，FD＝BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO＝DO，即点O是BD的中点。
20．证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC
， ，
则有△AOE≌△COF，故OE=OF。
21．证明：因为AB∥CN，所以，
在和中
则 ≌
是平行四边形 。
22．证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC，ME⊥BC
在△BEM和△AMC中，
ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE＝450
∵AM∥NE
∴∠BPM＝∠BNE ＝450
第22题图
第20题图
F
E
O
D
C
B
A
第21题图
第19题图
A． B． C． D．
第15题图
O
第17题图
D
C
B
A
第16题图
O
F
D
B
E
A
C
第14题图
A
B
C
D如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为
A． EQ \F(16,3) B．8 C．10 D．16
E
F如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为
A． EQ \F(16,3) B．8 C．10 D．16
第11题图
第12题图
H
D
G
C
F
B
E
A
第8题图
第6题图
A
B
C
D
O
E
题图
2
第
第4题图
第5题图
B
A
D
C
E
F
第3题图
图6-10
图6-7
图6-5
O
F
E
D
C
B
A
图6-3
图6-2
图6-1
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专题八《锐角三角函数与解直角三角形》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、特殊角的三角函数值 Ⅰ
2、利用计算器求锐角的三角函数值，并能根据已知的三角函数值求对应的锐角 Ⅱ
3、综合运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 Ⅱ
命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．
预测2007年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形两边的比，并且要熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
●难点透视
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是
　　　A、　　　B、　　　C、　　　D、
【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。
【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断是∠B的正切值。
【答案】选C。
【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。
例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米．
【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。
【思路点拨】坡度即坡角的正切值为，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿着山路前进200米，则升高200×=10（米）。
【答案】填10。
【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。
例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。
【思路点拨】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝，设CD＝3k，∴AD＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝＝4k＝8
∴AB＝
∴sinB=
【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=。
【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．
例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：≈0.8,≈0.6)
【考点要求】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．
【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，
B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．
在Rt中，∵，，
∴ AC=≈=1.8（m）．
∴ ≈（m）．　
∴ ≈（m）．
【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为m．
【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD的长。
解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。
例5如图8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险
【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．
【思路点拨】在Rt△ABD中，（海里），
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=，　∴(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=，
∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。
【答案】有触礁危险，不能继续航行。
【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险。
解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。
例6某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414， ≈1.732）
【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用．
【思路点拨】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝ ∴AB＝AC·tanC＝9×≈5.2（米）
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图2）
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）
【答案】树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米。
【方法点拨】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难。突破方法：以A为圆心，AB为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长。
解题关键：如何用直观的方式将树倾倒过程体现出来，这是解决该题的关键所在。
例7初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图1A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60o方向，C点在B点北偏东45o方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长．（，结果精确到0.01米）
【考点要求】本题考查解直角三角形在实际生活当中的综合运用．要求学生能根据问题实际快速确定正确解决问题的方法．
【思路点拨】过点B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分别为E，F，如图2
由题意知，AD⊥CD
∴四边形BFDE为矩形
∴BF=ED
在Rt△ABE中，AE=AB·cos∠EAB
在Rt△BCF中，BF=BC·cos∠FBC
∴AD=AE+BF=20·cos60o+40·cos45o
==
=10+20×1.414
=38.28（米）
【答案】38.28米。
【方法点拨】部分学生知道需要利用解直角三角形来解题，但却又不知从何处入手。突破方法：在无法直接求出AD长的情况下，可考虑分段计算，也就是构造多个直角三角形，化整为零，各个突破，再积零为整，求得结果。
●难点突破方法总结
锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几点应加以注意。
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
●拓展练习
一、填空题
1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)
2．用计算器计算： ．（精确到0.01）
3．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度．
4．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）．
5．求值：sin260°+cos260°= ．
6．在直角三角形ABC中，∠A=，BC=13，AB=12，那么 ．
7．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）
8．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为　　　　　米（结果用含α的三角比表示）．
二、选择题
9．在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
12．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）A． B．1 C． D．
三、解答题
13．已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长．
14．如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．
15．如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：】
●习题答案
专题七《锐角三角函数与解直角三角形》
一、填空题
1．（点拨：连结PP＇，过点B作BD⊥PP＇，因为∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP＇）
2．2.35
3．48（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）
4．(0，)（点拨：过点B作BC⊥AO，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC与OC的长）
5．1（点拨：根据公式sin2+cos2=1）
6．（点拨：先根据勾股定理求得AC=5，再根据求出结果）
7．4.86（点拨：利用正切函数分别求了BD，BC的长）
8．（点拨：根据，求得）
二、选择题
9． C
10．D
11．C（点拨：利用勾股定理先求出AB的长，再求出的长）
12．A（点拨：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，易证得△ACB与△DEB全等，所以∠A=∠BDE，BC=BE。又因为cot∠BCD＝3，所CE=3DE，所tanA=tan∠BDE=）
三、解答题
13．解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形．
∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB
∴AC＝DB，BD＝DE
∴△DBE为等腰三角形
BE＝BC＋AD＝18cm
分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F
∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600
∴BF＝BE＝9cm，AG＝DF＝cm
在Rt△ABG中，sin∠ABG＝
∴AB＝（cm）
答：AB的长是 cm．
14．在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．
在Rt△ABC中， ∵∠ACB=30°， ∴BC=AB．
设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=x
． 即铁塔AB的高为米．
15．在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5= 4.1955≈4.20.
在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20,
∴ DE== =≈7.96
答：BC的长度约为4.20,钢缆ED的长度约7.96.
（若BC=4.1955暂不扣分，但是ED的长度未保留三个有效数字扣1分）
第13题图
第15题图
第16题图
第12题图
第11题图
第6题图
43°¤
B
第5题图
D
C
52m
40°
A
B
y
图8-5-1
东
北
D
图8-5-2
B
第3题图
乙
北
甲
北
第1题图
图8-6-2
图8-6-1
C
A
E
第4题图
A
O
x
图8-4
图8-3-2
图8-3-1
3m
0.5m
图8-1
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专题二《方程与不等式》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 Ⅰ
2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 Ⅱ
3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 Ⅱ
4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 Ⅱ
5、一元二次方程根的判别式及应用 Ⅰ
6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 Ⅰ
7、不等式的基本性质 Ⅱ
8、一元一次不等式（组）的解法及应用 Ⅱ
命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2005－2006年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．
不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．
由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题．
●难点透视
例1解方程： ．
【考点要求】本题考查了分式方程的解法．
【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．
原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这个方程得．经检验，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是．
【答案】．
【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．
例2
【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组．
【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．
由方程①可得，
∴.它们与方程②分别组成两个方程组：
解方程组可知，此方程组无解；
解方程组得
所以原方程组的解是
【答案】
【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．
解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．
例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式．
【思路点拨】根据，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根．
C选项中＜0，方程无实数根．
【答案】选C．
【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项．
解题关键：根据可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．
例4用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．
【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．
把代入原方程得，，即，故答案应填写．
【答案】．
【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．
例5若不等式组的正整数解只有2，求的整数值．
【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．
要求的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于的不等式组，进而求出的值．
，解得．
又∵原不等式组只有正整数解2．
由右图，应有．
∴∴
【答案】
【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有2”这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，再转化为关于a的不等式组，求出a的值．
例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O．
车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．
【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
【思路点拨】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图．
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点，
∴EF是弓形高 ∴AE=2，EF=2．
设半径为R米，则OE=(R－2)米．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=．解得R =4．
∵sin∠AOE=， ∴ ∠AOE=60°，
∴∠AOB=120°． ∴弧AB的长为=．
∴帆布的面积为×60=160（平方米）．
【答案】160（平方米）．
【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．
解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
例7已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）
A．m≥－ B．m≥ C．m≥1 D．－≤m≤1
【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把看作已知数，用它来表示其余未知数．
【思路点拨】由题意，可求出，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得，得，解得m≥－．
【答案】选A．
【方法点拨】本题一般做法是把m看作是已知系数，用含m的代数式表示x、y，解出方程组的解，然后再把所求的x、y的值入题目中的不等式，从而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解．
例8根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合起来,求出整数解.
【思路点拨】设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，
则 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由②得y=9.2－0.9x ④
把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8
由③得8＜x＜10 ∵x是整数 ∴x=9
将x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1
【答案】饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元．
【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解．
解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析．
例9某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用．
【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.
（1）(Ⅰ)设甲种电视机台,乙种电视机台.
则,解得
(Ⅱ)设甲种电视机台,丙种电视机台.
则,解得
（Ⅲ)设乙种电视机台,丙种电视机台.
则,解得 (舍去)
(2)设甲种电视机台,乙种电视机台,丙种电视机台.
由题意得
解得: ∴
∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台；
②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；
商场的利润为①（元）
②（元）
∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；
【答案】（1）方案一：甲种电视机25台，乙种电视机25台，方案二：甲种电视机35台，乙种电视机15台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．
【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.
例10某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品，共50件．已知生产一件种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．
（1） 据现有条件安排、两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．
（2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低．
【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力．
【思路点拨】（1）设生产种产品件，种产品件．按这样生产需甲种的原料，∴即：．∵为整数，∴∴有三种生产方案．
第一种方案：生产种产品30件，种产品20件；
第二种方案：生产种产品31件，种产品19件；
第三种方案：生产种产品32件，种产品18件．
（2）第一种方案的成本：（元）．
第二种方案的成本：（元）．
第三种方案的成本：（元）．
∴第三种方案成本最低．
【答案】（1）第一种方案：生产种产品30件，种产品20件；
第二种方案：生产种产品31件，种产品19件；
第三种方案：生产种产品32件，种产品18件．
（2）第三种方案成本最低．
【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产种产品和种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本．
●难点突破方法总结
方程（组）及方程（组）的应用问题是中考命题的重点，主要考查学生的应用能力，题型内容贴近生活实际，考查学生的分析问题和解决问题的能力，在解题时应注意以下问题：
1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念，性质，结论和方法，这是解决有关方程与方程组问题的前提．
2.用化归思想求解二元一次方程组，可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程．
3.熟练掌握用换元法解方程及方程组．
4.关注社会，积累生活经验，通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关的社会热点问题．
●拓展演练
一、填空题
1．“某数与 6 的和的一半等于 12”，设某数为 x，则可列方程_________．
2．方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为_________．
3．当 x＝______时，代数式 3x＋2 与 6－5x 的值相等．0
4．方程组的解是_________．
5. 已知方程组的一组解是，则其另外一组解是　　　　　　　．
6. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名同学一共需要______比赛．
7．不等式的解集是__________________．
8．当x_________时，代数代的值是正数．
9．不等式组的解集是__________________．
10．不等式的正整数解是_______________________．
11．的最小值是a，的最大值是b，则
12．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________．
二、选择题
13．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 （ ）
A. 1 B. －l C. 1 或－1　 　 D. 　
14. 使分式 的值等于零的x是( )
A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
15. 若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )
A.11 B.15 C.-15 D.±15
16. 若方程组的解、 的值相等，则a 的值为 ( ）
A. －4 B. 4 C . 2 D. 1
17. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)==-5
18. 若是方程的两个实数根，则的值 （ ）
A．2007 B．2005 C．－2007 D．4010
19．某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
20.一元一次不等式组的解集是 （ ）
A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3 D．x＜2
21．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ）
　　
A． B． 　C．x+1≥-1 D．-2x＞4
22．关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( )
A．a＞3 B．a≤3 C．a＜3 D．a≥3
三、解答题
23．已知关于x、y的方程组．
（1）求这个方程组的解；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1．
24．已知方程组的解为负数，求k的取值范围．
25．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？
　　②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：
月份 用电量（度） 交电费总数（元）
3月 80 25
4月 45 10
　　根据上表数据，求电厂规定A度为多少？
26．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元
27．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？
●习题答案
专题二《方程与不等式》
一、填空题
1.
2.（提示：将原方程化为，x从1取起，求出相应的y的值，要求均为正）
3.（提示：列方程）
4.（提示：用代入消元或加减消元法）
5. （将代入原方程然后所得解方程即可）
6. 3，10（提示：设x名学生参加比赛，每人需参赛（x－1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为
7. x≤5（利用不等式的基本性质）
8. x＜（提示：由题意，2－3 x＞0，解得x＜）
9.－2≤x＜1（提示：求两不等式解集的公共部分）
10.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为x≤，再取其中的正整数）
11.－4（提示：x≥2最小值a=2，x≤－6，最大值b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4）
12.85%a＜b＜92% a（提示：由题意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a）
二 、选择题
13.B（提示：把x=0代入原方程，解得a=±1，考虑到一元二次方程二次项系数不能为0，所以a=－1）
14.A（提示：分式值为0，即分子为0且分母不为0，所以，∴x=6.
15.D（提示：设较小数为x，则较大数(x+1),x(x+1)=56，解得，故两数为7、8或－7、－8）
16.C（提示：因为x，y值相等地，则原方程组可化为，解之得）
17．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B项中＜0，所以B项方程无实数根）
18．B（提示：因为是方程的两个实数根，则，把它代入原式得，再利用根与系数的关系得，所以原式=2005）
19．D（提示：第一季度1000万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加）
20．C（提示：不等式①的解集为x＜2，不等式②的解集为x＜－3，共公部分为x＜－3）
21. C（提示：解四个不等式，得解集分别为x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，数轴上表示的范围是x≥－2）
22. D（提示：解关于x的方程得，因为解非负，所以≥0，解得a≥3）
三、解答题
23. 解（1）
(2)由题意得即，解得1＜x≤5.
24. 解方程组，得，因为方程组的解是负数，所以即，解得k＜－8)
25．解：①10＋(90－A)　　②由表中数据可得25＝10＋(80－A)　　解得：A＝50
26．解：(1)设该工艺品每件的进价为元，则标价为.
由题意得: 解得
（2）工艺品应降价元.
则时,获得的利润最大为.
27．解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y 天．
根据题意得
解这个方程组得x=30,y=120 .
经检验x=30,y=120是方程组的解．
（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元，
根据题意，得
解这个方程组得m=135,n=60 .
① ② ③
阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）
小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱．
一盒饼干的标价可是整数元哦！
A
B
O
F
E
·
60米
4米
2米
B
A
图甲
图乙
·
A
B
O
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专题三《函数》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 Ⅰ
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 Ⅰ
3、一次函数的概念和图像 Ⅰ
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 Ⅱ
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 Ⅱ
6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 Ⅱ
命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2007年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．
●难点透视
例1反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是 ．
【考点要求】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标．
【思路点拨】因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n，所以n=10．
【答案】填10.
【方法点拨】由反比例函数解析式经过变形，可以得到，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．
例2如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为
A. (0，0) B. C. D.
【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．
当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，
【答案】选B．
【误区警示】部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。
解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。
例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册） 5000 8000 10000 15000 …
成绩y（元） 28500 36000 41000 53500 …
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）；
（2）如果出版社投入成绩48000元，那么能印读物多少册？
【考点要求】本题考查一次函数解析式的确定及其应用．
【思路点拨】（1）设所求一次函数解析式为，则，解得,所以所求函数的关系式为.
（2）因为，所以x=12800
【答案】能印该读物12800册．
【方法点拨】关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。
例4若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（　）
A、＞＞　　B、＞＞　　C、＞＞　D、＞＞　
【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．
【思路点拨】反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，结合图象可知，＞＞，
【答案】选B．
【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。
解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。
例5一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象是
A B C D
【考点要求】本题考查一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象的判定．
【思路点拨】可假定一次函数图象正确，逐一判断出k的取值范围，再结合反比例函数及一次函数的图象看是否会出现矛盾，若出现矛盾则该选项错误，
【答案】选A．
【方法点拨】少数学生因未能掌握这类问题的解法以致举棋不定，无从下手。突破方法：所有这类判断图象可能性的问题的解法相近，关键就是以每一个选项中的某个图象所反映的字母系数符号判断出来，然后再看与另一个图象是否相符。
例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0，则x的取值范围是
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3
【考点要求】本题考查利用二次函数图象解不等式．
【思路点拨】抛物线的图象上，当y=0时，对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分，对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3 ，
【答案】选B．
【方法点拨】本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3，其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。
例7在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.
【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。
【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式
（1），
，，
。
。
（2），
.
【答案】（1）；（2）。
【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。
例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)，存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？
（2）根据（1）的图象，求出y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和．
【考点要求】本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．
【思路点拨】（1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元
（2）设y与x的关系式为：y=100 n%x+100
把（1，102.25）代入上式，得n=2.25
∴y=2.25x+100
当x=2时，y=2.25×2+100=104.5(元)
【答案】（1）图乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）两年后的和是104.5元。
【方法点拨】在选择图象时，应抓住起始钱数为100元，然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。
例9一次函数y=x+b与反比例函数 图像的交点为A(m，n)，且m，n(m是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数．
（1）求k的值；
（2）求A的坐标与一次函数解析式．
【考点要求】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根．
【思路点拨】（1）由方程有两个不相等的实数根，得：
△== ∴
又∵k为非负整数 ∴k=0，1
当k=0时，方程kx2+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾
∴k=1
（2）当k=1时，方程x2-5x+4=0 ∴
∵m把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3
∴所求函数解析式为y=x+3
【答案】（1）k=1；（2）A（1，4），函数解析式为y=x+3。
【方法点拨】因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题，部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求k的值，与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出k的取值范围，再结合其它条件求出k的值。
例10阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图3-4中，图①.
观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图3-4中，图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3-4中，图③．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系中，如图3-5，用作图象的方法求出方程组的解；
（2）用阴影表示，所围成的区域．
【考点要求】本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力．
【思路点拨】（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，
这两条直线的交点是P（－2，6）．
则是方程组的解．
（2）如阴影所示．
【答案】（1）；（2）如图3-5所示。
【方法点拨】本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用。突破方法：结合图形反复研读，理解不等式与它所对应的直线的关系，并能在图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时，也就是要找出各不等式所表示的阴影的公共部分。
例11如图3-6，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标
为（2,0）．
（1） 求点B的坐标；
（2） 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3） 在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点要求】本题考查求二次函数解析式，并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题，解决问题的综合能力．
【思路点拨】（1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=，BD=，∴ 点B的坐标为() ．
（2） 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得
解方程组，有 a=，b=，c=0.
∴ 所求二次函数解析式是 y=x2+x.
（3） 设存在点C（x , x2+x）（其中0∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则
S△OBC= S△OCF +S△BCF==，
而 |CF|==，
∴ S△OBC= .
∴ 当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.
此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.
【答案】（1）B；（2）y=x2+x；（3）存在点C坐标为()，此时四边形ABCO的面积最大为。
【方法点拨】（1）解题方法较为灵活，容易解决。（2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点B坐标求解。（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成，其中△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。
●难点突破方法总结
函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。
1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。
2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。
3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。
4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适当的数学思想及解题技巧。
●拓展演练
一、填空题
1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4），则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．
2. 抛物线的顶点坐标是　　　　　　，对称轴是　　　　　．
3．二次函数与轴有　　　　　个交点，交点坐标是 ．
4．已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则m= .
5．直线y =与两坐标轴围成的三角形面积是 .
6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 .
7. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为 ．
8. 双曲线和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________．
9. 已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 ．（写出满足条件的一个k的值即可）
10.在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为 ．
二、选择题
11. 直线y=kx+1一定经过点（ ）
A．（1，0） B．（1，k） C．（0，k） D．（0，1）
12. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是（ ）
A．y=5x B．y=x C．y=x D．y=x
13. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线　（　　
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
14. 如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（ ）
15．点P（a，b）在第二象限，则点Q(a-１，b+1)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是( )
A．中, 取全体实数 B．中, 取的实数
C．中, 取的实数 D．中, 取的实数
17．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（　　）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．二次函数
18．若二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为（ ）
A．a+c B．a－c C．－c D．c
19．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
20．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
三、解答题
21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：
（元） 15 20 25 30 …
（件） 25 20 15 10 …
（1）在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立与的恰当函数模型．
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3．
（1） 求出点E的坐标；
（2）求直线EC的函数解析式.
23．某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年 度 2001 2002 2003 2004
投入技改资金z(万元) 2.5 3 4 4.5
产品成本(万元／件) 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元
② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）
24．已知函数
（1）求函数的最小值；
（2）给定坐标系中，画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求的值．
25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
26．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
（1）设矩形的一边为（m），面积为(m2)，求关
于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
●习题答案
一、填空题
1． （提示：设正比例函数与反比例函数分别为，把点（-2，4）代入）
2.（－2，5），x=－2（提示：根据顶点式，顶点为，对称轴为）
3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得）
4．－3（提示：由题意，一次函数图象过一、三、四象限，所以，解得）
5．（提示：直线与x轴交点坐标为（－2，0），与y轴交点坐标为（0，－），所以围成的三角形面积为）
6．（提示：答案不唯一，只需满足k＜0）
7.－2（提示：由可得，把点（2，－1）代入即可）
8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2）
9. 1（提示：答案不唯一，只需满足＜0即可）
10.（提示：设，把（2，3）代入，求得k=6）
二、选择题
11.D（提示：把各选项的坐标分别代入）
12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC，所以即，所以）
13. B（提示：根据顶点式，对称轴为）
14. C（提示：由题意，y的变化规律为先由小变大，再由大变小，且抛物线的开口均向上）
15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-１＜0，b+1＞0，因此点Q(a-１，b+1)在第二象限）
16．D（提示：D项中分母不能为0，所以应取的x＞－3实数）
17．A（提示：由题意，当s一定时，速度v是时间t的反比例函数）
18．D（提示：二次函数对称轴为y轴，当x取时函数值相等，所以关于对称轴对称，所以，把x=0代入解析式得y=c）
19．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为x=－3，则另一点与之关于x=－1对称，为x=1，所以另一点为（1，0））
20．B（提示：由图象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因为点（1，2）在抛物线上，把（1，2）代入解析式可得；由图象可知，当x=－1时，对应的y在x轴下方，所以＜0；而抛物线与x轴有两个交点，故＞0）
三、解答题
21．解：（1） 经观察发现各点分布在一条直线上，∴设 （k≠0）
用待定系数法求得
（2）设日销售利润为z ，则=
当x=25时，z最大为225，
所以当每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元．
22．解：（1） ∵S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3， ∴S△FAE∶S△FOC＝1∶4，
∵四边形AOCB是正方形， ∴AB∥OC， ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，
∵OA＝OC＝6， ∴AE＝3， ∴点E的坐标是(3,6)
（2） 设直线EC的解析式是y＝kx＋b，
∵直线y＝kx＋b过E(3,6)和C(6，0)
∴，解得：
∴直线EC的解析式是y＝－2x＋12
23．解：（1）设其为一次函数，解析式为
当时，； 当=3时，6．
解得， ∴一次函数解析式为
把时，代人此函数解析式，左边≠右边． ∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为． 当时，，
可得 解得 ∴反比例函数是．
验证：当=3时，，符合反比例函数．
同理可验证4时，，时，成立．
可用反比例函数表示其变化规律．
（2）解：①当5万元时，，． （万元），
∴生产成本每件比2004年降低0．4万元．
②当时，． ∴
∴（万元）
∴还约需投入0.63万元．
24．解：（1）∵，
∴当x=2时，.
（2）如图，图象是一条开口向上的抛物线．
对称轴为x=2,顶点为（2，-3）．
（3）由题意，x1，x2，是方程x2-4x+1=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=1.
∴
25．解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐标为（0.6，0.6），
代入y=ax2，得a=， ∴抛物线的解析式为y=x2.
（2）点D1，D2的横坐标分别为0.2，0.4，
代入y=x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：y1=×0.22≈0.07，y2=×0.42≈0.27，
∴立柱C1D1=0.6－0.07=0.53，C2D2=0.6－0.27=0.33，
由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：
2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.
26．解：（1） 由已知，矩形的另一边长为
则= =，自变量的取值范围是0＜＜18.
（2）∵ ==
∴ 当=9时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81
又解: ∵ =－1＜0，有最大值，
∴ 当 =时（0＜9＜18)， （）
y=－2x+2
图3-5
O
y
x
图3-4
y=2x+1
l
图③
y
x
O
x=1
l
图②
y
x
O
y=2x+1
x=1
l
图①
3
y
x
O
P(1,3)
图3-3
图3-2
F
－1
O
1
x
y
图3-1
x=－2
P
l
图3-6
第10题图
第12题图
第12题图
A
B
C
D
y
O
x
-1
-2
1
2
-3
3
-1
1
2
-2
第19题图
第20题图
第22题图
第23题图
第25题图
第26题图
第24题
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专题七《圆》
●中考点击
考点分析：
内容 要求
1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ
2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系 Ⅱ
3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算 Ⅱ
4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ
5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用 Ⅱ
命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．
从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．
●难题透视
例1如图7-1，在中，弦平行于弦，若，则____度．
【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．
【思路点拔】∵∠B=∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴∠B =40°
【答案】填：40
【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB转化为∠ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．
解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．
例2如图8-2，AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）
A．1000 B．1100 C．1200 D．1350
【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．
【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径
∴度数是1800
∵BC=CD=DA
∴==
∵∠BCD==1200
【答案】选填C
【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．
例3已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD间的距离是 ．
【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．
【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．
【答案】填：7㎝或1㎝
【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．
例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．
【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．
（2）过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，
∵OC⊥AB ， ∴BD＝AB＝×16＝8cm．
由题意可知，CD＝4cm．
设半径为x cm，则OD＝（x－4）cm．
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2．
∴x＝10．
【答案】这个圆形截面的半径为10cm．
【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．
解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．
例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．
【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点．
方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD了，则点D就是HT的中点．
方法三：如图③，（原理同方法二）
【答案】见图．
【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法： 充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．
例6如图7-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系 为什么
（2）按角的大小分类， 请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．
【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD是△ABC的中位线，
∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC
（方法2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，
∵BD＝CD，∴AB＝AC
（方法3）连接DO∵OD是△ABC的中位线，∴OD=AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC
（2） 连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C为锐角
∵AC和⊙O交于点F，连接BF，
∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC为锐角三角形
【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC为锐角三角形
【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．
解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．
例7如图7-13，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH ·AB=AC2；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明)．
【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．
【思路点拔】（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴， 即AH·AB=AC2 ．
（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB，
∴ AE·AF=AH·AB，
∴ AE·AF=AC2 ．
(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)
（3）结论AP·AQ=AC2成立．
【答案】 （3）结论AP·AQ=AC2成立．
【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB=AC2时，可将其先转化为，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH∽△BAC，从而使得解题变得有的放矢．
解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．
●难点突破方法总结
在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：
1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．
2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．
3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．
●拓展演练
一、选择题
1．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm，点A与⊙O的位置关系时（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定
2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3．下列语句中正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知圆的半径为6．5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C ．相离 D．相交或相离
5．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC．BC．OC，那么下列结论中：①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP．正确的有（ ）
A ．0个 B．1个 C ．2个 D．3个
6．AB是⊙O的直径，点D．E是半圆的三等分点，AE．BD 的 延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π－ B．π
C．π－ D．π
二、填空题
7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半 径等于 ．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是
9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方 案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成 （圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．
10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则 m（不取近似值）．
11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为
12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为 ．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．
14．已知: 如图， AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点 D， DE切⊙O于点D， 交BC于点E． (1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4， CE=3， 求⊙O的半径．
15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．
16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．?
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
　　　　　　　　　
17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是 三角形；?
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个作答：
问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．
我选择问题 ，结论： ．

●习题答案专题七《圆》
1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]
2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]
3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]
4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm，大于圆的半径6.5cm，所以直线与圆相离]
5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA∽△PBC．△OCD∽△OPC，所以，，，又由于OA=OC，从而可推得三个结论全部正确]
6.【答案】A [点拨：∵，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC是等边三角形，又 AB是⊙O的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB， ∴S阴=S扇形OBE －S▲ABE=π－]
7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半]
8.【答案】 [由已知已知AB是⊙O的直径，得∠ACB=90O，AB垂直平分CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC，∴sin∠ABD=sin∠ABC=]
9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大]
10.【答案】 [点拨：根据垂径定理计算]
11.【答案】216o [（cm），C=2πr=12π，∴n=]
12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD平分弦AB，所以，设⊙O的半径为R，连结OA，在Rt△AOE中，，所以，解之，得R=13，所以CD=2R=26]
13.【答案】解：由题意，BC==6， 过O分别作OD⊥AB，OE⊥OE，则D．E分别是AB．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE，OD=OE，，，∴，∴EP=OE，设OE=x，则BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x，OB=BP-OP=， ∴(8-x)2+x2=2(6-x)2 ，∴x=1，∴⊙O的半径为1
14.【答案】解：（1）连结OD．∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD， ∴∠ODE=900 ，又∵AD=DC， AO=OB ，∴OD//BC，∴∠DEC=∠ODE=900，∴DE⊥BC
（2）连结BD．∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=900 ，∴BD⊥AC， ∴∠BDC=900 ，又∵DE⊥BC， △RtCDB∽△RtCED ，∴， ∴BC=又∵OD=BC，∴OD=， 即⊙O的半径为．
15.【答案】解：设PC=xcm，BC=ycm， 连结BC，则∠BCP=90o ，AC2=AP·AB， ∴AC=6，又∠ACP=∠CBP，∴△ACP∽△ABC， ①，即②， 由①、②得，x=2，y=2( x=-2，y=-2（舍去），∴PC=2cm
16.【答案】解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
（2）方法一：连接CB．OC，∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO，∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线
方法二：可证明△OCF≌△OBF
（3）解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，可证得：FA＝FG，且AB＝BG，由切割线定理得：[2＋FG]2＝BG×AG=2BG2 ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　②
由①、②得：FG2－4FG－12=0，解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝，∴⊙O半径为2
图7-13
图7-9
图7-8
图7-7
图7-6
图7-5
图7-3
图7-2
图7-1
O
B
C
D
A
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专题十 中考数学各种题型的突破方法
一、阅读理解题型解题方法
1．联系教材法
例1我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形_______________________．
解析：通过对材料的阅读，能称为相似图形的条件是边长，对角线等元素对应成比例．因为圆的周长等于，所以两的圆的周长比等于半径比，因此两个圆是相似图形；两个菱形的各边长可以对应成比例，但其角度不一定对应相等，从而导致对角线不一定能与边长对应成比例，所以两个菱形不一定是相似图形；两个长方形的边长与对角线也不一定对应成比例；正六边形的边长全部相等，并且其对角线等于边长的2倍，所以两个正六边形的边长与对角线对应成比例，即两个正六边形是相似图形．
答案：①、④
方法点拨：有的阅读理解题所提供的材料也可从书本知识上找到相关原形，因此在解决这类问题时，也可采用教材中的相关概念或性质等．相似图形根据定义要求各边对应成比例，各角对应相等，由此可推出各对角线也与各边对应成比例．所以判断时，也可判断各角是否对应相等．
2．靠船下篙法
例2阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？观察下面三个特殊的等式
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）　　　　　
（2）　　　　　　　　
（3）　　　　　　　
（只需写出结果，不必写中间的过程）
答案：（1）或343400；（2）；（3）
方法点拨：当有的阅读理解材料中，无法找到明显的书本知识进行解题时，一定要紧紧抓住试题中所提供的材料与信息，靠船下篙，从题目本身去发现解题方法．就本题而言，要有一定的数字感知能力，能从三个特殊的等式得到的式子中发去发现式子的特征，从而找出规律，写出最终结果．
例3姚明是我国著名的篮球运动员，他在2005－2006赛季NBA常规赛中表现非常优异．下面是他在这个赛季中，分期与“超音速队”和“快船队”各四场比赛中的技术统计．
场次 对阵超音速 对阵快船
得分 篮板 失误 得分 篮板 失误
第一场 22 10 2 25 17 2
第二场 29 10 2 29 15 0
第三场 24 14 2 17 12 4
第四场 26 10 5 22 7 2
（1）请分别计算姚明在对阵“超音速”和“快船”两队的各四场比赛中，平均每场得多少分
（2）请你从得分的角度分析，姚明在与“超音速”和“快船”的比赛中，对阵哪一个队的发挥更稳定
（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分×l＋平均每场篮板×1．5十平均每场失误×(－1．5)，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，来比较姚明在分别与“超音速”和“快船”的各四场比赛中，对阵哪一个队表现更好
解析：（1）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中，平均每场得分为＝25．25
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中，平均每场得分为＝23．25
（2）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中得分的方差为＝6．6875
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中得分的方差为＝19．1875
（3）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中的综合得分为
＝25．25+11×1．5＋×（－1．5）＝37．625
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中的综合得分为
＝23．25+×1．5＋2×（－1．5）＝39．375
∵，∴姚明在对阵“快船”队的比赛中表现更好．
答案：（1）对阵“超音速”队平均每场得分25．25分，对阵“快船”队平均每场得分23．25分；（2）对阵“超音速”队方差为6．6875，对阵“快船”队方差为19．1875；（3）对阵“超音速”队综合得分为37．625分，对阵“快船”队综合得分为39．375分．
方法点拨：本题要根据题目中的问题，利用统计知识分析表格中的数据，计算出相关的量，从而做出正确的决断．
例4我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等
(1)阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
(请你将下列证明过程补充完整．)
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1 D1⊥C1 A1于D1．
则∠BDC=∠B1D1C1=900，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1．
(2)归纳与叙述：
由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
解析：（1）由题目条件可知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形只有当它们是属于同一种三角形时，两个三角形才能全等，因为对于直角三角形，这一条件容易直接证明全等，而对于锐角三角形，则需要通过证明，使其具备一般三角形全等的判定条件，顺其思路，可转化为用AAS证明全等．
（2）由（1）中的已知条件及证明过程不难理解，用两边及其中一边的对角分别对应相等来判定两个三角形全等时，应具备前提条件两个三角形是同一种三角形．
答案：（1）又∵AB＝，∠ADB＝∠＝90°
∴△ADB≌△， ∴∠A＝∠
又∵∠C＝∠，BC＝
∴△ABC≌△
（2）若△ABC、△均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB＝，BC＝，∠C＝∠，则△ABC≌△
方法点拨：本题所提到“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形”，在一般情况下是不可以直接判定为全等的，只有当特殊情况，如两个直角三角形时，可直接判定全等，如果是两个锐角或钝角三角形时，需要证明．如果不是同一种三角形则不能全等．
二、归纳猜想题型解题方法
1．循序渐进法
例1如图10-3，是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形．照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）
A B C D
解析：观察上面三个正方形，可以看出每个五角星中有三个深色的三角形，其中一个单独的与另两个相邻的三角形相对，闪烁一次，三个深色三角形作为一个整体，可看作是顺时针旋转144度（也就是与原来的隔一角）．按此规律，容易找出下一次闪烁后呈现出来的图形．
答案：A
方法点拨：归纳猜想题最忌讳毫无章法，胡乱猜测，归纳猜想题往往是有章可循的，只要你循序渐进，仔细观察和分析，一定可以从题目的条件中发现重要信息，从而实现轻松解题．本题要求从现有的三个图形中，找出规律，然后分析出再一次闪烁后出现的图形．
2．数形结合法
例2探索规律：根据图10-4中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（　　）
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A B C D
图10-4
解析：仔细观察分析，本题是通过图形的方式反映数字重复出现的规律，通过观察，可以看出，每隔4个数是一个循环，从图形上体现出相同的规律，并且4既是终了位置同时又是下一个新的循环的起始位置．要找出2004至2005再到2006的箭头方向，计算，说明第2004个数刚好是完成第501个循环，同时又将开始下一个循环．
答案：A
方法点拨：在许多数学试题中，数形结合思想至关重要，在归纳猜想题里也不例外．有时单从数字中很难看出什么眉目，但如果能有意识的从“形”的角度联系起来进行分析，往往会收到出奇制胜的效果．本题是数形结合反映规律，重复出现的图形反映出数字所具有的规律，要求解数字问题，关键还在于找出图形体现出的规律．
例3如图10-5，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，
则有：，即，
解方程，得．
经检验，可知 HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.DSMT4 符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的．
（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，
由矩形，可得，因此有或
即　　　①，或　　②．
解①，得；解②，得
经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似
答案：（1）经过1秒或2秒后；（2），经过秒或秒时．
方法点拨：通过动点问题考查一元二次方程（二次函数）是数学建模的一种常见形式．这也是一种数形结合问题，几何图形中的点的运动情形可以通过代数式来体现，从形的角度无法解决的问题，从“数”的角度求解却显得很容易．（1）本题中矩形面积已知，故解题关键在于找出的底与高，通过设定经过的时间为未知数，把面积用含未知数的式子表示出来，然后解方程即可．（2）利用相似得到比例式，从而得到相关方程并求解．
3．举一反三法
例4如图10-6，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D． cm2
解析：通过观察，不难发现，每两个连续的这样摆放的正方形中互相重叠的部分的面积刚好是一个正方形面积的四分之一，而三个连续这样摆放的正方形有两个这样的重叠的部分．所以n个这样的正方形重叠部分的面积和为 cm2
答案：选择C
方法点拨：归纳猜想题中，有许多试题是通过局部反映整体的．这时，要求能通过观察，发现这种特点，然后只需分析或者解决其中部分问题，再通过举一反三，达到通盘解决问题的目标．利用旋转或三角形全等知识可证明每两个相邻正方形重叠部分的面积等于一个正方形面积的四分之一，再通过观察，发现后面全部具有相同的规律，容易求出结果．
三、方案设计题型解题方法
1.实践操作法
例1印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：如图10-8，先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码． 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．
图10-8
解析：本题单凭想象完成有一定困难，但其实际操作较为简单，通过实际操作容易得到答案．
答案：
8 9 16 1
5 12 13 4
方法点拨：在考试时，完成这道题单凭想象完成比较困难，但却操作简单易行，建议考试时遇这类问题时，可进行实际操作．
2.直观作图法
例1操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕； ( http: / / www.1230.org )
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？
解析：（1）∵∠ECB＝90°－∠DCE，∠B＝90°－∠A，又由对称性知，∠A＝∠DCE，∴∠ECB＝∠B，∴△BCE是等腰三角形．
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图1 图2
图10-13
（2）如图10-13中的图1所示（共有三种折法，折痕画对均可）
（3）如图10-13中的图2所示（答案不唯一，只要体现出一条边与该边上的高相等即可）
（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．
答案：略（见解析）
方法点拨：本题要求首先要能正确理解题中所介绍的“组合矩形”的概念，同时能熟练运用从特殊到一般的学习方法，由题目的已知图示，完成一般情形下的相关操作．
解题关键：要能拼合（即无缝无重叠），根据（1）问的证明，第一次折叠时必须沿其中一条中位线，然后再沿着与这条中位线平行的边的垂直方向进行折叠即可．
3.图表分析法
例1某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利45元，做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利50元。若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元。（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
解析：虽然题目看起来与前面的调运问题联系不大，但这道题中同样也出现了较多量及数据，因而同样可利用图表来整理数据，而且也方便易行。对于第一个问题的函数关系，根据题中已设好的未知数及相关条件易得“”，化简即“”。这道题的难点在于确定自变量x的取值范围，对于这个问题，可用两种方法进行分析。
分析方法一：列表法
每套时装用料 （80-x）套M型时装 x套N型时装 总用料量
A种布料（共70m） 0.6 1.1 0.6（80-x）+1.1x
B种布料（共52m） 0.9 0.4 0.9（80-x）+0.4x
上表格形式简单，内容清晰，完成表格并不困难，重要的是让学生理解求x范围的关键在于两种型号的时装每种布料用量和不能超过所提供的布料，由此得出两个不等式“0.6（80-x）+1.1x≤70，0.9（80-x）+0.4x≤52”。解两个不等式即可求出x的取值范围为“40≤x≤44”。其实到这里问题也就基本解决了，因为第二个问题可由刚才的结论直接求得。
分析方法二：画图法
和例1相比，这个示意图在结构上更为简洁，每种型号的时装都用到两种布料，图中箭头指向是该布料的使用情况，如：由A种布料引出的两根箭头表示A种布料分别用于M型时装每套0.6m，用于N型时装每套1.1m，而M型时装共生产（80-x）套，这样A种布料一共使用了[0.6（80-x）+1.1x]m，同理可得，B种布料一共用了[]m。通过这个示意图也很容易求出x的取值范围。具体解题过程如下：
答案：（1）由题意得
化简可得
又
解之得 40≤x≤44
（2）当x=44时，y=5×44+3600=3820
∴当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元。
方法点拨：通过图表将题目中的各数据间的关系更为简洁的体现出来，使得题意更加明朗，各个量之间的关系也变得国家更加清晰，从而降低了解题的难度。再结合问题，设出未知数后，利用图表所反映出来的关系，可以把各个相关量全部表示出来，最后根据相等关系，不难列出方程，完成解题。
●拓展演练
1．我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定，“五一”长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资300％支付加班工资，后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动本人日工资或小时工资的200％支付加班工资．小朱由于工作需要，今年5月2日、3日、4日共加班三天，已知小朱的日工资标准为47元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于______________元．
2． 1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
3．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高___________；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
4．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C=900，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的
小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
答：
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三 ( http: / / www.1230.org )角形的面积为SN．
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2②当n>1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）
5．下图是B、C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息：
小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等；
小王：A、B两市的路程(B--D--A)为240千米，A、c两市的路程(C--E--A)为290千米，
小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米／时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米／时；
小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是lOO千米／时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米／时；
小明汽车从B市到A市不超过5时；小王：汽车扶C市到A市也不超过5时．
若设高速公路AD的路程为x千米．
(1)根据以上信息填表：
路程(单位千米) 行驶速度 (单位；千米／时) 所需时间 (单位时)
高速公路AD
普通公路BD
I普通公路AE
l高建公路CE
(2)试确定高速公路AD的路程范围．
6．100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 ___________个．
7．如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆________根火柴棒．
8．有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，－8，…
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第100个数是多少？
（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
9．[尝试]如图，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A′BCD，如示意图(1)．(以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明)
（1）猜一猜：四边形A′BCD一定是__________；
（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图(1)不同的四边形，并在图(2)中画出示意图．
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[探究]在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．
（1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是________________；(写出两种)
（2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图．
[拓广]在等腰直角△ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．
（1）变一变：你确定的裁剪线是________________，(写出一种)拼得的特殊四边形是______；
（2）拼一拼：请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图．
10．如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
11．在图1至图3中，已知△ABC的面积为a ．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示）；
（3）在图12—2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．
发现
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用
要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4）已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积；
（2）种蓝花的区域的面积．
12．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点Ａ、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON＝60°、OF＝10时，求AE的长．
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13．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．
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●习题答案
1． 376
2． D
3．解：（1）．
（2）设，把，代入得：
解得即．
（3）由，得，
即至少放入个小球时有水溢出．
4．（1） 正确画出分割线CD
（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的
分割线，若画成直线不扣分）
理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD ∽△ACB
（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为
∴ S =
当 n =5时 ，S = ≈ 9．77
当 n = 6 时 ， S = ≈ 2．44
当 n=7 时 S= ≈ 0．61
∴当 n= 6时， 2 ＜S ＜ 3
S = S × S
5． （1）
路程(单位千米) 行驶速度(单位；千米／时) 所需时间(单位时)
高速公路AD x 90
普通公路BD 240－x 30
I普通公路AE x 40
l高建公路CE 290－x 100
（2）
6．201
7．6039063
8．解：（1）它的每一项可用式子（n是正整数）来表示．
（2）它的第100个数是－100．
（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数．（或正数全是奇数）
9．解：[尝试]①平行四边形；
②如图(1)所示．
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[探究]①平行四边形、矩形或者等腰梯形,(答其中两个即可)
②如图(2)、(3)、(4)、(5)所示．(画其中两个即可)
[拓广]①直角梯形,将斜边上的呣绕斜边中点旋转任意角度所得的直线；或者将平行于BC边(直角边)的中位线平移与AC交于点D,使AD：DC=：1的直线；或者将平行于AB边(斜边)的中位线平移与AC交于点D,使AD：DC=：1的直线．
10．解：⑴①DE=EF；②NE=BF．
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）
此时，DE=EF
11．探索（1）a ；（2）2a ；（3）6a ；
理由：∵CD=BC，AE=CA，BF=AB
∴由（2）得 S△ECD=2a，S△FAE=2a，S△DBF=2a，
∴S3=6a
发现 7．
应用 （1）（72－7）×10=420（平方米）； （2）（73－72）×10=2940（平方米）．
12．解：（1）（方法一）∵∠AOF＝∠OCB， 又∵∠BOA＝2∠OCB，
∴∠AOF＝∠BOF…3分∴OP为∠BOA的角平分线
（方法二）∵∠AOF＝∠OCB，∴PO∥BC ，∴∠POB＝∠OBC， 又∵OB=OC，
∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOF＝∠POB，∴OE为∠BOD的角平分线
（2）（方法一）
∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO，
∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝∠MON＝30°，
∴AF＝OF＝5，由勾股定理得：AO＝5．
∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB，
在Rt△AOF中，S⊿AOF＝AO×AF＝FO×AE，即：5×5＝10×AE，
∴AE＝
（方法二）∵∠MON＝60°，∴⊿AOB为正三角形，∵OP平分∠MON，
∴AE＝BE＝AB， ， ∵OP平分∠BOD，∴∠BOF＝30°，又∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO 在Rt⊿AOF中，AO＝5， ∴AB＝AO＝5，∴AE＝
13．解：（1）略
（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形
∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF=900 ∴∠BEF=900 ，
∵四边形ABCD是矩形 ，∴∠B=∠C =900
∴∠BEF=∠B=∠C =900,∴四边形EBCF是矩形
【方法1】设
∴ HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3
∴矩形EBCF是黄金矩形．
【方法2】设,
∴ ∴矩形EBCF是黄金矩形
（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形(关键词：①另外一个四边形是矩形 ，②是黄金矩形)．
图①
F
C
D
E
E
C
D
B
B
C
B
A
A
A
图10-12
图10-6
A4
A3
A2
A1
）
图10-5
图10-3
图10-2
图②
图③
图④
供52m
B种布料
0.6m/套
供70m
A种布料
M型
（80-x）套
N型
x套
0.9m/套
0.4m/套
1.1m/套
49cm
30cm
36cm
3个球
有水溢出
（第22题）
B
C
A
图甲
图2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图1
A
B
C
D
A
B
C
D
E
图2
D
E
A
B
C
F
图3
图4
紫
A
B
C
紫
紫
紫
红
黄
黄
黄
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