2023-2024学年第一学期期末调研试卷
（华师大版）八年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间100分钟；
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 16
2. 下列各组数是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，4，7 C. 2.5，4，4.5 D. 5，12，13
3. 某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理．其中排序正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ②①④③ C. ②①③④ D. ①④②③
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
6. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点的周长为13，则的周长是（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
9. 综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．
小欣：如图②，先过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，再过点D作的垂线，交的延长线于点E，则量出的长即为A，B的距离．
小彤：如图③，过点B作的垂线，在上取一点D，连接，然后在的延长线上取一点C，连接，使．这时只要量出的长即为A，B的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是（ ）
A. 小华和小欣 B. 小欣和小彤
C. 小华和小彤 D. 三个人的方案都可以
10. 某次考试中，某班级数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A. 得分在70～80分之间的人数最多
B. 及格（不低于60分）的人数为26
C. 得分在90～100分之间的人数占总人数的5%
D. 该班的总人数为40
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个大于1小于3的无理数______．
12. 等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
13. ______．
14. 如图，中，两直角边和长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，是的两个外角的角平分线，且下列结论中正确的个数有______个．
①； ②； ③；④ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分）
16 （1）因式分解
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理．
18. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为30海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离．
19. 已知实数x，y满足．
（1）求x，y值；
（2）求的平方根．
20. 某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
收集数据：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他 ADCCA DBBAC DBDAC ACCCC DCADB BCAAC BBCAC BCCBC ACCAC ACAAC ACCCB BDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15
B．英雄人物 正正
C．科学家 正正正正 24
D．其他 9
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空______；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
21. 学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形．如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为．点E在线段上，连接，将沿折叠，点B落在上的点H处，连接，，沿和裁剪得到，则即为等边三角形，请给予证明．
22. 如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺（无刻度）和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作的平分线，交与点D．
（2）作_________的垂直平分线（选择正确选项并完成作图）．
A. 线段 B. 线段 C. 线段
（3）根据以上信息请判断：
点D在直线上吗？_______（填“在”或“不在”）
理由：_______________________________．
23. 问题初探
（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在中，高，交于点F，且，试说明，有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他方法：根据已知条件，易证，从而得出．
小明证明的依据可能是__________（填序号）．
① ② ③ ④
引导发现
（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上．
填空：______°；
判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
（3）中，，，如图③，点D在线段上，于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．2023-2024学年第一学期期末调研试卷
（华师大版）八年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间100分钟；
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是算术平方根．
【详解】4的平方根是±2，
所以4的算术平方根是2．
故答案为：A
【点睛】考点：算术平方根的意义．
2. 下列各组数是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，4，7 C. 2.5，4，4.5 D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意；
B、，不能构成直角三角形，不合题意；
C、，4，，不是正整数，不符合题意；
D、，是勾股数，符合题意．
故选：D．
3. 某数学小组想了解本校1800余名学生对数学喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理．其中排序正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ②①④③ C. ②①③④ D. ①④②③
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键．根据统计调查的一般过程得出答案．
【详解】解：几个步骤进行排序为：
②设计对数学喜爱情况的调查问卷；
①从每班随机抽取10人进行调查；
④对得到结果进行记录整理；
③利用样本估计总体得出调查结论；
∴排序②①④③，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，及积的乘方计算法则分别计算并判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，故不符合题意；
B、，故原计算正确，故符合题意；
C、，故原计算错误，故不符合题意；
D、，故原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法计算，正确掌握幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，及积的乘方计算法则是解题的关键．
5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出各个命题逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意；
B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意；
C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意；
D、逆命题是：相等的两个角都是45°，错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假．
6. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x米，则，，
在中，由勾股定理得即
解得：
∴旗杆的高度为17米．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
7. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点的周长为13，则的周长是（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本作图和线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据作图痕迹可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=3即AC=6，
∵的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC=13，
∴的周长＝AB+BC+AC＝13+6=19，
故选：D．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、线段垂直平分线的性质，判断出直线MN为线段AC的垂直平分线是解答的关键．
9. 综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．
小欣：如图②，先过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，再过点D作的垂线，交的延长线于点E，则量出的长即为A，B的距离．
小彤：如图③，过点B作的垂线，在上取一点D，连接，然后在的延长线上取一点C，连接，使．这时只要量出的长即为A，B的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是（ ）
A. 小华和小欣 B. 小欣和小彤
C. 小华和小彤 D. 三个人的方案都可以
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】解：在和中，
，
，
，故小华的方案可行；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故小欣的方案可行；
，
，
在和中，
，
，
，故小彤的方案可行；
综上可知，三人方案都可行，
故选：D．
10. 某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A. 得分在70～80分之间的人数最多
B. 及格（不低于60分）的人数为26
C. 得分在90～100分之间的人数占总人数的5%
D. 该班的总人数为40
【答案】B
【解析】
【分析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可．
【详解】A．得分在70～80分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意，
B．及格（不低于60分）的人数为12＋14＋8＋2＝36（人），故此选项错误，符合题意，
C．∵总人数为4＋12＋14＋8＋2＝40（人），得分在90～100分之间的人数为2人，
∴得分在90～100分之间的人数占总人数的百分比为×100%＝5%，故此选项正确，不符合题意；
D．该班的总人数为40，故此选项正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个大于1小于3的无理数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【详解】解：∵1=，3=，
∴写出一个大于1且小于3的无理数是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质．
12. 等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
【答案】30°或75°或120°
【解析】
【分析】本题要分两种情况讨论：（1）当∠A=30°为顶角；（2）当∠A=30°为底角时，则∠B为底角时或顶角．然后求出∠B．
【详解】分两种情况讨论：
（1）当∠A=30°为顶角时，∠B==75°；
（2）当∠A=30°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=30°；∠B为顶角时∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-30°=120°．
故填30°或75°或120°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论问题.
13. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】25
【解析】
【分析】证明，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形和的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵ 四边形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故答案为：25．
【点睛】本题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明是解本题的关键．
15. 如图，是两个外角的角平分线，且下列结论中正确的个数有______个．
①； ②； ③；④ ．
【答案】3
【解析】
【分析】过O作于E，根据角平分线的性质得出求出，求出，根据全等三角形的判定得出，，再逐个判断即可．
【详解】过O作于E
∵的角平分线交于点O，
∴O在的角平分线上，即平分，故①正确；
在和中
（HL）
同理
，故④正确；
∵平分平分
，
即，故②正确；
由④已知
如果③成立，将③代入④得：
解得：，显然不成立，故③不成立；
即正确的有：①②④，共3个，
故答案为：3
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等时解此题个关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分）
16. （1）因式分解
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先提公因式，然后用完全平方公式进行分解因式即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
把代入得：原式．
17. 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
【详解】解：在△ACD和△ACB中，
AD=AB，CD=CB ，AC＝AC．
∴△ACD≌△ACB．
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的平分线.
【点睛】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
18. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为30海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离．
【答案】海里
【解析】
【分析】根据题意得出：海里，，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：海里，，
∴（海里），
∴海里，
∴此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为海里．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，正确应用勾股定理是解题关键．
19. 已知实数x，y满足．
（1）求x，y的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值，
（2）根据（1）求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解．
【小问1详解】
由题意得：，，
解得：，
【小问2详解】
由（1）得：，，
∴，
∴的平方根
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质．解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值．
20. 某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
收集数据：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他 ADCCA DBBAC DBDAC ACCCC DCADB BCAAC BBCAC BCCBC ACCAC ACAAC ACCCB BDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15
B．英雄人物 正正
C．科学家 正正正正 24
D．其他 9
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空______；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
【答案】（1）72 （2）960，详见解析 （3）详见解析
【解析】
【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用乘B所占百分比可得n的值；
（2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
（3）要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议．
【小问1详解】
由题意得，样本容量为：，
故B的人数为：，
补全统计表和条形统计图如下：
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正 12 20%
C．科学家 正正正正 24
40%
D．其他 9 15%
，故，
故答案为：72；
【小问2详解】
，
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
【小问3详解】
由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
21. 学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形．如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为．点E在线段上，连接，将沿折叠，点B落在上的点H处，连接，，沿和裁剪得到，则即为等边三角形，请给予证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，垂线平分线的性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法．根据折叠得出垂直平分，根据垂直平分线性质得出，根据折叠，结合正方形性质得出，即可证明结论．
【详解】解：根据折叠可知，垂直平分，
∴，
根据折叠可知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
22. 如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺（无刻度）和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作的平分线，交与点D．
（2）作_________的垂直平分线（选择正确选项并完成作图）．
A. 线段 B. 线段 C. 线段
（3）根据以上信息请判断：
点D在直线上吗？_______（填“在”或“不在”）
理由：_______________________________．
【答案】（1）见解析 （2）作图见解析；A
（3）在；理由：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴点D在直线上
【解析】
【分析】（1）用尺规作的平分线即可；
（2）用尺规作线段的垂直平分线即可；
（3）先证明，得出，再根据线段垂直平分线的判定进行判断即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的的平分线；
【小问2详解】
解：如图，作线段的垂直平分线．
故答案为：A；
【小问3详解】
解：在；理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点D在直线上．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23. 问题初探
（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在中，高，交于点F，且，试说明，有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．
小明证明的依据可能是__________（填序号）．
① ② ③ ④
引导发现
（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上．
填空：______°；
判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
（3）中，，，如图③，点D在线段上，于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）②；（2）22.5，，过程见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，则，从而即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由余角的性质得，结合角平分线的定义可求出；根据证明得，根据证明得，进而可求出；
（3）先证明，，然后根据证明得，根据证明得，进而可证．
【详解】（1）∵，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
故答案为：②；
（2），理由为：
延长交延长线于F，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：22.5；
（3）；理由如下：
如图，作于点H，交延长线交于点G ，
， ，
等腰直角三角形，
．
，即 ，
，
．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
在 和 中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，余角的性质，其中根据全等三角形的判定方法构造全等是解决本题的关键．
