第六章 §6.3 培优课 平面向量中的最值与范围问题 学案（含答案）

培优课　平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、参数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
一、向量线性运算中的最值与范围问题
例1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值．
跟踪训练1　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
二、向量数量积的最值与范围问题
例2　在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．[0,1]
反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围．
跟踪训练2　在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
三、向量模的最值问题
例3　向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________．
跟踪训练3　已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________．
四、向量夹角的最值问题
例4　已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为______．
反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围．
跟踪训练4　已知向量a，b满足a＝(t,2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　)
A. B. C. D.
培优课　平面向量中的最值与范围问题
例1　解　由题意得＝＋＝－，
所以＝m＋n
＝m＋n
＝＋n，
由P，B，C三点共线得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2
＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2，即 时取等号)，
则＋的最小值为.
跟踪训练1　(－1,0)
解析　由点D是圆O外一点，
可设＝λ(λ>1)，
则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ).
又因为C，O，D三点共线，
令＝－μ(μ>1)，
则＝－
＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
则m＋n＝－－
＝－∈(－1,0).
例2　C　[
将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，
设E(x,0)，0≤x≤1.
则M，C(1,1)，
所以＝，
＝(1－x,1)，
所以·＝(1－x,1)·
＝(1－x)2＋.
因为0≤x≤1，
所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范围是.]
跟踪训练2　
解析　根据题意，可知·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立.
例3　
解析　|a－b|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2
＝|b|2－|b|＋1
＝2＋≥，
所以|a－b|≥，
当|b|＝时取得最小值.
跟踪训练3　
解析　将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，
所以|a|＋|b|的最大值为.
例4　
解析　∵|a|＝1，
∴设a＝(1,0)，b＝(x，y)，
∴b－a＝(x－1，y)，
由2|b－a|＝b·a得，
2＝x，则x>0，
∴4(x－1)2＋4y2＝x2，
∴y2＝－x2＋2x－1，
∴cos θ＝＝
＝
＝
＝
＝，
∴当＝1即x＝1时，cos θ取最小值.
跟踪训练4　C　[因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos〈a，b〉＝＝＝＝
＝，
又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夹角的最小值为.]