第六章 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 学案（含答案）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
[学习目标]　
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、平面向量数乘运算的坐标表示
问题1　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？
知识梳理　
已知a＝(x，y)，则λa＝________，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数________________________．
例1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
(2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
二、向量共线的判定
问题2　已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
知识梳理　
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________．
例2　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求证：∥.
反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练2　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1,1)，＝(2，－3)，＝
(－6,29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________.
(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A．－1或 B．1或－
C．－1 D.
(2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.
四、有向线段的定比分点坐标公式及应用
问题3　直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比．当λ＝1时，点P位于何位置？你能求出点P的坐标吗？
知识梳理　
若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)．
例4　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标．
反思感悟　用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．
跟踪训练4　已知点A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________．
1．知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示．
(2)两个向量共线的坐标表示．
(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错．
1．下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10,5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3,1)
2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
4．已知两点A(－2,2)，B(4,4)，则AB的中点坐标为________．
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
问题1　λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy).
知识梳理
(λx，λy)　乘原来向量的相应坐标
例1　解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－
＝.
跟踪训练1　(1)A　(2)D
问题2　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
知识梳理
x1y2－x2y1＝0
例2　证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2).
由题意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，
＝＝，
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，
(x2，y2)＝，
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，
∴∥.
跟踪训练2　解　因为＝－＝(2，－3)－(1,1)＝(1，－4)，
＝－＝(－6,29)－(1,1)＝(－7,28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，
所以∥.又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线.
例3　(1)－
解析　由题意3a－b＝(0，－10)，
a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
解得k＝－.
(2)－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由题意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)·(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合题意，舍去).
跟踪训练3　(1)D　(2)
问题3　当λ＝1时，点P为P1P2的中点，点P的坐标为.
例4　解　∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为，
∵＝2，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为.
跟踪训练4　(6，－9)
解析　设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知
即点P的坐标为(6，－9).
随堂演练
1.B　2.A　3.D　4.