第六章 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学案（含答案）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
[学习目标]　
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
一、平面向量数量积的坐标表示
问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值？
问题2　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识梳理　
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝_______.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________．
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A．10 B．－10 C．3 D．－3
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
反思感悟　进行向量数量积的坐标运算的注意点
(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题．
跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________.
二、平面向量的模
问题3　设a＝(x，y)，探究|a|的值．
知识梳理　
1．若a＝(x，y)，则|a|2＝__________，或|a|＝________.
2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
那么a＝________________，|a|＝.
例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B.
C. D.
反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B.
C．5 D．25
三、平面向量的夹角、垂直问题
知识梳理　
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1)cos θ＝＝____________________________________.
(2)a⊥b ________________.
例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
跟踪训练3　(1) 设P(－3，－2)，Q(x,2)，则与的夹角为钝角时，x的取值范围为________________．
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
1．知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夹角、垂直问题．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
4．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
问题1　i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0.
问题2　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j
＝x1x2＋y1y2.
知识梳理
x1x2＋y1y2　乘积的和
例1　(1)B　(2)C
跟踪训练1　
问题3　|a|2＝a2＝(xi＋yj)·(xi＋yj)＝x2i·i＋2xyi·j＋y2j·j＝x2＋y2，故|a|＝.
知识梳理
1.x2＋y2　
2.(x2－x1，y2－y1)
例2　A　跟踪训练2　C
知识梳理
(1)
(2)x1x2＋y1y2＝0
例3　解　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，
|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
解得λ＝.
跟踪训练3　(1)∪(3，＋∞)
解析　因为P(－3，－2)，Q(x,2)，
所以＝(－3，－2)，＝(x,2)，
当与的夹角为钝角时，
·＝－3x－4<0，
解得x>－，
当与反向共线时，(－3，－2)＝k(x,2)(k<0)，
解得k＝－1，x＝3，
所以x的取值范围为∪(3，＋∞).
(2)7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)
＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
随堂演练
1.A　2.A　3.C　4.7