黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(无答案)

德强高中2023-2024学年度上学期期末考试
高三学年 数学试题
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，，若 ，则 （ ）.
A． B． C． D．2
3．若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
4．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（ ）.
A．4 B． C． D．2
5．已知贵州某果园中刺梨单果的质量 （单位：）服从正态分布 ，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在 的单果的个数的期望为（ ）
A．20 B．60 C．40 D．80
6．等比数列 的前 项和为，，则“”是“对，”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．如图，正三棱柱 中，，是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，在 处取极值，则下列说法中正确的是 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在 处取极小值 D．的最大值为4
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．数列 为等差数列，为其前 项和，已知 ，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若 ，，，则 D．若 ，，，则
11．对数的发明是数学史上的重大事件，我们知道，任何一个正实数 可以表示成的形式，两边取常用对数，则有 ，现给出部分常用对数值（下表），下列结论正确的是（ ）
真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
真数 11 12 13 14 15 16 17 18 19
（近似值） 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279
A．在区间 内
B．是15位数
C．若 ，则
D．若 是一个35位正整数，则
12．如图，有一组圆 都内切于点 ，圆 ，设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的圆心都在直线 上
B．圆 的方程为
C．若圆 与 轴有交点，则
D．设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数 （其中 是虚数单位），则
14．中，，，则 的面积为 .
15．在 的展开式中，的系数为 .
16．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 .
四、解答题（本大题共6道小题，共70分）
17．（本小题10分）已知 的三个内角 ，，所对的边分别为 ，，，且 ，.
（1）求 的值；
（2）若 的面积 ，求 的值.
18．（本小题12分）已知 为数列 的前 项和，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记，求数列 的前 项和 .
19．（本小题12分）如图，在三棱锥 中，,底面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，，是 的中点，求 与平面 所成角的正切值.
20．（本小题12分）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件 表示“球取自第号箱”，事件 表示“取得黑球”.
（1）求 的值；
（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.
21．（本小题12分）设动圆 与圆 外切，与圆 内切.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 且不与 轴垂直的直线 交轨迹 于 ，两点，点 关于 轴的对称点为 ，为 的外心，试探究 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
22．（本小题12分）已知函数 ，.
（1）证明： 有唯一的极值点；
（2）若 ，求 的取值范围.