6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
[学习目标]
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
一、余弦定理的推导
问题1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
问题2 在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
知识梳理
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边________________减去这两边与它们夹角的余弦的______________.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
二、已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值.
反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边.
跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________.
三、已知三边解三角形
问题3 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？
知识梳理
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝____________，
cos B＝____________，
cos C＝____________.
例2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
四、利用余弦定理判断三角形形状
问题4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
例3 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
反思感悟 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
跟踪训练3 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)利用余弦定理判断三角形形状.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为( )
A.52 B.2 C.16 D.4
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为( )
A. B.
C.或 D.或
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是______________.
第1课时 余弦定理
问题1 如图，设＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b，①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
问题2 c2＝a2＋b2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例.
知识梳理
1.平方的和 积的两倍
2.b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
例1 解 (1)由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°
＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°，
即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2.
跟踪训练1 (1)2 (2)3
问题3 cos A＝，
cos B＝，
cos C＝.
知识梳理
例2 解 根据余弦定理的推论，
得cos A＝
＝
＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝
＝
＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
跟踪训练2 解 ∵a>c>b，
∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝
＝－.
又∵0°
∴最大角A为120°.
问题4 A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；
A为钝角 b2＋c2例3 解 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理的推论，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
跟踪训练3 D
随堂演练
1.B 2.B 3.A 4.直角三角形第2课时 正弦定理(一)
[学习目标] 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
一、正弦定理的推导
问题1 在Rt△ABC中，＝＝，在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？
问题2 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
知识梳理
正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即____＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
二、已知两角及任意一边解三角形
例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
反思感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
三、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
延伸探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
反思感悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于( )
A. B. C. D.
四、三角形解的个数的判断
例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
反思感悟 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a跟踪训练3 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)利用正弦定理解三角形.
(3)三角形解的个数的判断.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于( )
A.4 B.2 C. D.
3.已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
4.在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________.
第2课时 正弦定理(一)
问题1
在锐角三角形中，
如图1，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j，
则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C.
因为＋＝，
所以j·(＋)＝j·.
由分配律，得
j·＋j·＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos
＝|j|||cos，
也即asin C＝csin A，
所以＝.
同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得
＝.
因此＝＝.
在钝角三角形中，当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图2所示)，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C，
仿照上述方法，同样可得
＝＝.
问题2
如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，
所以在△AB′C中，＝＝c，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，
所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
知识梳理
正弦 ＝＝
例1 解 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)
＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，
得＝＝，
解得a＝＝4，
c＝＝2(＋).
跟踪训练1 解 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得，
c＝＝
＝＝4(＋1).
所以A＝45°，c＝4(＋1).
例2 解 ∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∵0°∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
延伸探究 解 ∵＝，
∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.
跟踪训练2 B
例3 解 (1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解.
(2)sin B＝sin 60°＝×
＝，而<<1.
所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°(3)sin B＝＝sin C>sin C＝.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
跟踪训练3 ABD [A中，∵＝，∴sin B＝＝1，
∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，
∴sin B＝＝，
又b随堂演练
1.A 2.B 3.C 4.60°或120°第3课时 正弦定理(二)
[学习目标]
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
一、利用正弦、余弦定理解三角形
问题 利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？
例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形.
反思感悟 若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A求出c；不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验.
跟踪训练1 已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sin B成立，求角C的大小.
二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
例2 (1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
反思感悟 判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
(2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
三、正弦、余弦定理的综合应用
例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
反思感悟 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
跟踪训练3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C
bsin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
1.知识清单：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形.
(2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度确定的
3.在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，则角C为( )
A. B. C.或 D.或
4.若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形.
第3课时 正弦定理(二)
问题 ①已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另外两角；
②已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角；
③已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求另外两边；
④已知两边和其中一边对角的问题：可先由余弦定理求第三边，此时需从边的角度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大角，小边对小角，内角和为180°，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边.
例1 解 方法一 由余弦定理
b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，
解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
当a＝6时，由正弦定理，
得sin A＝＝＝1，
∴A＝90°，C＝60°.
方法二 由正弦定理，
得＝，解得sin C＝，
又c>b，∴30°∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理，得a＝6；
当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
跟踪训练1 解 由正弦定理，得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C.
因为2R(sin2A－sin2C)
＝(a－b)sin B，
所以(2R)2(sin2A－sin2C)
＝2R(a－b)sin B，
所以a2－c2＝(a－b)b，
即a2＋b2－c2＝ab.
因为cos C＝，
所以cos C＝.
因为0°例2 (1)A
(2)解 根据正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，
sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
跟踪训练2 (1)D (2)C
例3 解 (1)∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
∴sin B＝cos B，
即得tan B＝，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，
∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
跟踪训练3 解 (1)由正弦定理，
得a2＋c2－ac＝b2，
即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理的推论，
得cos B＝＝.
又0°(2)sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
随堂演练
1.A 2.A 3.C 4.等腰或直角第5课时 余弦定理、正弦定理的应用
[学习目标]
1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.
一、三角形面积公式
问题 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
知识梳理
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝____________＝____________＝____________.
2.△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝________，
sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B cos A例1 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccos A＋
a＝b.
①求C的大小；
②求△ABC的面积.
反思感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
跟踪训练1 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.
二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
例2 在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.
(1)求∠CBD的大小；
(2)求AB的值.
反思感悟 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.
跟踪训练2 如图，在平面四边形ABCD中，D＝，CD＝，△ACD的面积为.
(1)求AC的长；
(2)若AB⊥AD，B＝.求BC的长.
三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
例3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos B＝acos C＋ccos A.
(1)求角B；
(2)若b＝，c≥b，求2c－a的取值范围.
反思感悟 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题.
跟踪训练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin的值.
1.知识清单：
(1)三角形的面积公式.
(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题.
(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为( )
A.2 B. C. D.
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，A＝60°，4sin B＝5sin C，S△ABC＝20，则其周长为________.
第5课时 余弦定理、正弦定理的应用
问题 边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C.
知识梳理
1. absin C bcsin A casin B
2.(1)180° sin C －cos C
例1 (1)
(2)解 ①由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
即sin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴cos C＝，
又C∈(0，π)，∴C＝.
②由余弦定理，
得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，
故ab＝6，
∴S△ABC＝absin C
＝×6×＝，
故△ABC的面积为.
跟踪训练1 解 (1)因为cos B＝，
所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
即＝，
所以sin A＝＝.
(2)因为S△ABC＝acsin B＝4，
所以×2×c×＝4，解得c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，
所以b＝，
综上，b＝，c＝5.
例2 解 (1)在△BCD中，
由余弦定理，得
BD＝
＝＝.
由BC＝1，CD＝2，
得BC2＋BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°.
(2)∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝105°－90°＝15°，
∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，
∴AB＝
＝＝.
跟踪训练2 解 (1)∵D＝，
CD＝，△ACD的面积为，
∴S△ACD＝AD·CD·sin D
＝×AD××＝，
∴AD＝，
∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18，
∴AC＝3.
(2)由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，D＝，
∴∠DAC＝，
∵AB⊥AD，∴∠BAC＝.
又∵B＝，AC＝3，
∴在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
即＝，∴BC＝3.
例3 解 (1)由bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理得，2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以cos B＝，所以B＝.
(2)因为b＝，B＝，由正弦定理可得＝＝
＝＝2，
所以a＝2sin A，c＝2sin C，
所以2c－a＝2×
＝2×
＝3sin C－cos C
＝2sin，
由c≥b且B＝，可得≤C<，所以≤C－<，
所以≤sin<1，
所以≤2c－a<2，
即2c－a的取值范围为.
跟踪训练3 解 (1)因为a＝3c，
b＝，cos B＝，
由余弦定理的推论
cos B＝，
得＝，
即c2＝.
所以c＝.
(2)因为＝，
由正弦定理＝，
得＝，
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，
即cos2B＝4(1－cos2B)，
故cos2B＝.
因为sin B>0，
所以cos B＝2sin B>0，
从而cos B＝.
因此sin＝cos B＝.
随堂演练
1.B 2.C 3.D 4.18＋2第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
[学习目标]
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
一、距离问题
例1 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点之间的距离.
反思感悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1 (1)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________ km.
(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m.
二、高度问题
例2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
反思感悟 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
跟踪训练2 如图，照片中的建筑是某校的新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为________米.
三、角度问题
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
反思感悟 测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
跟踪训练3 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点之间的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
4.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
例1 解 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，
BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，
∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°
＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B两点之间的距离为20 m.
跟踪训练1 (1)
(2)60
解析 tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，
故CD＝60.即河的宽度是60 m.
例2 D [在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，
∠DBC＝30°，
由正弦定理，
得＝，
故BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
故AB＝BC×tan 60°＝10(m).]
跟踪训练2 11
解析 在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
所以∠AMB＝30°，又AB＝33，
所以＝，
即＝，解得AM＝33；
在Rt△AMN中，因为∠MAN＝30°，AM＝33，
所以MN＝AM·tan 30°＝11，
即该宿舍楼的高度为11米.
例3 解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at(海里)，
AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3 解 如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.
由余弦定理，得
PB＝
＝
＝40(m).
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.
随堂演练
1.B 2.A 3.B 4.C