12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
【基本目标】
1.能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.
2.能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法.
3.通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想.
【教学重点】
掌握平方差公式的特点，牢记公式.
【教学难点】
具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.
一、创设情景，导入新课
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少？
【学生活动】（a+2）（a-2）=a2-4
二、师生互动，探究新知
【教师活动】你观察式子左边有什么特征？右边的结果又有什么特征？这种发现具有一般性吗？请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论？请用字母表示.
【教学说明】在学生发言基础上归纳：（a+b）（a-b）=a2-b2这就是说，两数之和与两数之差的积，等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合教材P31图形进行面积验证.
【教师活动】请同学们给出几个平方差的式子，并让同伴计算.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视及时点评.注意运用公式时应具有平方差公式的特征.
四、典例精析，拓展新知
例利用平方差公式计算：
（1）59.8×60.2;
（2）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+1/4
【分析】（1）可转化为（60-0.2）（60+0.2）;
（2）先将前面部分乘以（5-1）构造平方差公式，再除以4.
【答案】（1）3599.96（2）532/4
【教学说明】第（2）小题可能大多数同学不会做，教师抓住这困惑，是思维的起点，帮助分析如何构造平方差公式.（52+1）与谁构成平方差，同时注意代数式恒等的要求.
五、运用新知，深化理解
1.计算（y+x）（y-x）（x2+y2）（x4+y4）.
2.计算（1）20132-2012×2014；
（2）3×（4+1）（42+1）+1.
【答案】1.y8-x8;2.(1)1;(2)256.
【教学说明】如何转化构造平方差公式，教师巡视并对学习困难的学生给予指导.
六、师生互动，课堂小结
这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课重在应用平方差公式计算，而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征，在学生合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性，大大调动了学生的积极性与学习激情.在典例精析中第（2）小题学生思维受阻时，让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性表现！
课件17张PPT。12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差第12章 整式的乘除八年级上册新课导入整式乘法中多项式与多项式相乘:
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba.
2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？1.计算下列各式：
(1)(x+2)(x-2)
(2)(1+3a)(1-3a)
(3)(x+5y)(x-5y)
(4)(2y+z)(2y-z)
（5）(a+b)(a-b)
2.观察等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？获取新知【归纳结论】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.3.应用平方差公式的注意应注意些什么？
（1）注意平方差公式的适用范围
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式
（3）注意计算过程中的符号和括号4.如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. 图1 图2表示图1中阴影部分的面积.
②小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
③比较①，②的结果，你能验证平方差公式吗?
④叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式.
⑤试比较公式的两种表达式在应用上的差异.【归纳结论】(a+b)(a-b)=a2-b21.填空题
(x+6)(6-x)= ，
(-x+ )(-x- )= ，
(-2a2-5b)( )=4a2-25b2.答案：36-x2 x2- -2a2+5b随堂演练2.下列式中能用平方差公式计算的有( )①(x- y)(x+ y)，②(3a-bc)(-bc-3a)，
③(3-x+y)(3+x+y)，
④(100+1)(100-1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个D3.下列式中，运算正确的是( )
①(22a)2=4a2；
②(- x+1)(1+ x)=1- x2；
③(m-1)2(1-m)3=(m-1)5；
④2a×4b×8=2a+2b+3.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
C4.乘法等式中的字母a、b表示( )
A.只能是数
B.只能是单项式
C.只能是多项式
D.数、单项式、多项式都可以D5.计算(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1).
解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
=(a4-1)(a4+1)(a8+1)
=(a8-1)(a8+1)
=a16-16.计算：
（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；
解：原式=（4a2-b2）（4a2+b2）
=（4a2）2-（b2）2
=16a4-b4.（2）403×397
解：原式=（400+3）（400-3）
=4002-32=1599917.计算: 通过这节课的学习活动，你有什么收获？课堂小结1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。
—— 华罗庚2.两数和（差）的平方
【基本目标】
1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.
2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.
3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.
【教学重点】
掌握公式的特点，牢记公式.
【教学难点】
具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式.
一、创设情景，导入新课
王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？
【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得）
【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题：
1.计算（a+b）2= .
2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述.
3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2吗？
4.你会结合教材P33图形验证吗？
【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题.
【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的2倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式运用中错误及时纠正.
四、典例精析，拓展新知
例 已知x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2;
（3）x-y
【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy;
(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy；
(3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy.
【答案】（1）12； （2）34； （3）x-y=±.
【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y）2=（x-y）2+4xy.
五、运用新知，深化理解
1.已知：x2+y2=6,xy=5.求x+y;
2.已知a、b满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求a2+b2+ab的值.
【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7.
【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导.
六、师生互动、课堂小结
这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现（a+b）2=a2+b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心.
课件16张PPT。12.3 乘法公式
2.两数和（差）的平方第12章 整式的乘除八年级上册新课导入你会计算下列各题吗?
(x+3)2= ，
(x-3)2= .
这些式子的左边和右边有什么规律? :
(2m+3n)2= ，
(2m-3n)2= .x2+6x+9X2-6x+94m2+12mn+9n24m2-12mn+9n21.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？获取新知2.观察上面的计算结果，回答下列问题：
（1）原式的特点：
两数和的平方.
（2）结果的项数特点：
等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.
（3）三项系数的特点.（特别是符号的特点）
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系.【归纳结论】两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=？ 【归纳结论】两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2上面的两个公式称为完全平方公式.(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式:分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式.
结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.1.填空题随堂演练X2+6xy+9y2(y-1/2)23a - 4b24ab255(- x - y)2.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（ ）
A.（a+b）（a+c）
B.(x+y)（-y+x）
C.(ab-3x)(-3x+ab)
D.(-m+n)(m+n) C3.计算：4.利用完全平方公式计算：
(1)(-1-2x)2；
解：原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2
(2)(-2x+1)2
解：原式=(-2x)2+2× (-2x)×1+12=4x2-4x+15.（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2
解：a2+b2=（a+b）2-2ab.∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=32-2×2=5.
（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？
解：∵a+b=10，∴（a+b）2=102，a2+2ab+b2=100，∴2ab=100-（a2+b2）.又∵a2+b2=4，∴2ab=100-4，ab=48.6.观察下列各式的规律:
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2014行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的.
解：（1）（2014）2+（2014×2015）2+（2015）2=（2014×2015+1）2（2）n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2.
证明：∵n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=n2+n2（n+1）2+n2+2n+1
=n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1.
而［n（n+1）+1］2=［n（n+1）］2+2n（n+1）+1=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，所以n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2. 1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数，也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号.
2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.课堂小结1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业我认为人生最美好的主旨和人类生活最幸福的结果，无过于学习了。 —— 巴尔扎克
