12.5 因式分解
第1课时 因式分解（1）
【基本目标】
1.理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系.
2.用提公因式法进行因式分解.
【教学重点】
用提公因式法分解因式.
【教学难点】
将多项式适当地变形并用提公因式法分解因式.
一、创设情景，导入新课
1.完成下列各题：
(1)m(a＋b＋c)＝ ；
(2)(a＋b)(a－b)＝ ；
(3)(a＋b)2＝ .
2.根据上面的计算，你会做下面的填空吗?
(1)ma＋mb＋mc＝（ ）（ ）；
(2)a2－b2＝（ ）（ ）；
(3)a2＋2ab＋b2＝（ ）2.
观察讨论以上两组题目有什么不同点?又有什么联系?
3.你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗?
像ma+mb+mc=m(a+b+c)
这种因式分解的方法叫（ ）法.其中m叫（ ）.
小组讨论总结公因式有什么特征.
二、师生互动，探究新知
1.判断下列各题是否为因式分解：
（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc；（2)a2-b2=(a+b)(a-b)；（3)a2-b2 +1=(a+b)(a-b)+1.
2.试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）
（1） 3a+3b的公因式是：；
（2）-24m2x+16n2x公因式是：；
（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是：；
(4) 4ab-2a2b2的公因式是：.
3. 把下列多项式分解因式.
（1）3a+3b；
（2）5x-5x+5x.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确性，注意符号、多项式的恒等变形.
四、典例精析，拓展新知
例将下列多项式因式分解.
（1）x5-16x;
（2）（a-1）+b2（1-a）;
（3）x2y2+xy3+y4；
（4）4x2-y2-z2+2yz.
【分析】（1）先提公因式x，再用平方差公式；
（2）先变形为（a-1）-b2（a-1），再提公因式（a-1），再用平方差公式；
（3）先提取y2后再用完全平方公式；
（4）先将后三项提出一个符号，是完全平方公式，再与前项构造平方差公式.
【答案】（1）x（x2+4）（x+2）（x-2）;
（2）（a-1）（1+b）（1-b）;
（3）y2（x+13y）2；
（4）（2x+y-z）（2x-y+z）.
【教学说明】1.因式分解时遵循“一提（公因式）”、“二套（公式）”、“三查（是否分解彻底）”
2.公因式符号不同时，先变号.
（a-b）2=（b-a）2,（a-b）3=-（b-a）3.
3.多项式有两项时，符号相反考虑平方差，有三项时，考虑完全平方公式，有四项时可考虑适当组合，再因式分解.
五、运用新知，深化理解
1.把下列多项式分解因式.
（1）2p3q2+p2q3；
（2）xn-xny；
（3）a(x-y)-b(x-y);
（4） 4a3b-2a2b2.
2.已知a+b=5,ab=3, 求a2b+ab2的值.
【答案】1.（1）p2q2(2p+q);（2）xn(1-y);(3)(x-y)(a-b);(4)2a2b(2a-b).
2.15.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课内容量较大，因式分解的概念，将多项式变形选择适当的方法进行因式分解是本节课的难点，教学过程中，要及时关注学生，在代数变形方向给予指导与提示，让他们知道为什么要这样变形，怎样灵活变形.
课件15张PPT。12.5 因式分解
第1课时 因式分解（1）第12章 整式的乘除八年级上册993－99能被100整除吗？解法二：993－99=99（992－1）
=99（99＋1）（99－1）
=100×99×98解法一：993－99=970299－99
=970200想一想哪种解法简单？新课导入a2-b2=(a+b)2=m(a+b)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b)=a2-b2=a2+2ab+b2 =am+bm整式的积多项式多项式整式的积a2+2ab+b2am+bm因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法的关系：=(a+b)(a-b)下面我们来研究因式分解的其中一种方法：提取公因式法探究多项式ma+mb+mc，它的各项有什么 特点？你能将它因式分解吗？m公共的因式多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的公因式。 am+bm+cm=m(a+b+c)思考：如何找公因式？进入新课8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？最大公约数相同字母公因式4a、ba、b2一看系数 观察方向二看字母三看指数最低指数 （1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．知识要点确定公因式的方法： ①ax+ay+a
②3mx-6nx2
③4a2b+10ab2
④x4y3+x3y3
⑤12x2yz-9x3y2指出下列各多项式中各项的公因式：a公因式3x2abx3y33x2y多项式趁热打铁：例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式． 解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)公因式： 4a2b3注意例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式． 解：2ac(b+2c) －(b+2c)
= (b+2c)(2ac-1) 公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．注意把下列多项式分解因式：
（1）3a2-9ab
解：原式 =3a(a-3b) （3） （4）（2）解：原式解：原式解：原式小试牛刀：例3 把－x3＋x2－x分解因式． 多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)． 解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1) 注意(2)2a(x-y)－3b(y－x)分解因式(1)－ 7ab－14abx+49aby首项为负，先提负补偿提高 1．分解因式？2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数3、提公因式法分解因式步骤(分三步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。4、用提公因式法分解因式应注意的问题：1、公因式提取要彻底，2、首项为负先提负，
3、提取公因式莫漏1．课堂小结1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业读万卷书，行万里路。——刘彝第2课时 因式分解（2）
【基本目标】
1.能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
2.能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
3.提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.
【教学重点】
掌握公式法进行因式分解.
【教学难点】
找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
一、创设情景，导入新课
1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.
2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢?
这些公式用语言可以怎样叙述？
3.用这种对多项式进行因式分解的方法叫（ ）.
二、师生互动，探究新知
下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.
(1)x2-4x+4；(2)1+16a2;
(3)4x2+4x-1；(4)x2+6x+9.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确性，注意符号、多项式的恒等变形.
四、典例精析，拓展新知
例1对下列多项式进行因式分解：
（1）25x2-16y2；（2）-z2+(x-y)2.
【分析】以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用（ ）公式进行因式分解.
【答案】（1）（5x-4y）(5x+4y) (2)(x-y-z)(x-y+z)
例2把多项式x2+4xy+4y2分解因式．
【分析】1.判断左边是否为完全平方式．
2.判断中间一项是哪两个数积的二倍．
3.看清中间一项的符号，写出因式分解结果.
【答案】（x+2y）2
五、运用新知，深化理解
1.把下列各式分解因式：
（1）-492+x2；
（2）4(x+m)2 -(x-m)2.
2.把下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
3.把下列各式分解因式.
(1) a3-14a2+49a；
(2) 3a3-27ab2；
(3) 2am+an+2bm+bn ；
(4) -20xy+25x2+4y2.
【答案】1.（1）(x-49)(x+49) (2)(3x+m)(x+3m)
2.(1)(x-6y)2 （2）(a-7b)2
(3)(4a2+3b2)2 （4）（7a-8b）2
3.（1）a(a-7)2 (2)3a(a-3b)(a+3b)
(3)（2m+n）(a+b) (4)(5x-2y)2
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担.
课件20张PPT。12.5 因式分解
第2课时 因式分解（2）第12章 整式的乘除八年级上册新课导入2、判断下列变形过程，哪些是因式分解？
(1) (x+2)(x-2)=x2- 4 （ ）
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x （ ）
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1) （ ）
(4) 4x2- 9 =(2x+3)(2x- 3 ) （ ）××√√1:什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)练习把下列各式分解因式① ② x4-16解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1)解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)1、分解因式学了哪些方法（有公因式，先提公因式）（因式分解要彻底）2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 推进新课你们能快速计算：
752－ 252 ＝？吗？752- 252 =(75+25)(75-25）a2- b2=(a + b)( a - b)观察这个等式，从左到右是分解因式吗？
这和我们以前学过的什么知识很相似?利用平方差公式的逆运算——分解因式.总结：数字变字母：平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式结构特点：等式左边是：两个数的和与这两个 数的差的积
等式右边是：这两个数的平方差做一做:根据平方差公式做下列练习 （a+3)(a-3)=
(2x+y)(2x-y)=a2 -9 (2x)2-y2=4x2-y2 试一试：
根据上面结果，你会做下面因式分解吗？a2 -9= （ ）( )4x2-y2= ( )( )a+3a-32x+y 2x-ya2- b2 =(a +b) (a - b)因式分解的平方差公式：a2 - b2 = (a+b) (a-b)两个因式的积的形式这两数(式)的和这两数(式)的差 公式中的a，b可以是单独的 、 ，也可以是 、 。数字字母单项式多项式两个数(式)的平方差，等于与的积。答：1. 多项式只有两项，两项符号相反
2.两部分都可写某个式子(或数)的平方运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
因式分解的平方差公式：a2 - b2 = (a+b) (a-b)具备什么特征的多项式是平方差式？例1：分解因式: (1) x5－x3解：(1)x5－x3 =x3(x2 –1)= x3 (x+1)(x－1)结论：1、若有公因式，要先提公因式，再考虑平方差公式.2、分解因式分解到不能分解为止.2x4-32y4
=2(x2+4y2)(x2-4y2)= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)=2(x4-16y4) 现在我们把乘法公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”.我们把以上两个式子叫做完全平方式.两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍.完全平方式的特点：1、必须是三项式；2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。判别下列各式是不是完全平方式.是是是是随堂演练是a表示2y2，
b表示1否否否是a表示2y，
b表示3x是a表示(a+b)，
b表示1填一填多项式是a表示x，
b表示4否否是a表示 ，
b表示3n填一填多项式是a表示x，
b表示1/2
课堂小结1:整式乘法的完全平方公式是：
2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
3:完全平方公式特点：含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业加紧学习，抓住中心，
宁精勿杂，宁专勿多。
——周恩来
