第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
【基本目标】
1.体验勾股定理的探索.
2.会用勾股定理求直角三角形的边长.
【教学重点】
用勾股定理求直角三角形的边长.
【教学难点】
用拼图法证明勾股定理.
一、创设情景，导入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
二、师生互动，探究新知
1.勾股定理的证明.
【活动】
方法一：
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.
【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.
【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.求直角三角形的边长.
【活动】出示习题：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.
【答案】（1）13（2）15（3）10或2
【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，
三、随堂练习,巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.
四、典例精析，拓展新知
例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.
解：设BD=x，则DC=14-x,
由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,
即132-x2=152-(14-x)2,
解得x=5,
∴AD=132-52=12.
【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.
五、运用新知，深化理解
完成教材P112习题第1、2题.
【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.
课件15张PPT。14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系第14章 勾股定理八年级上册 相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，从朋友家的地砖铺成的地面上发现了直角三角形三边的某种数量关系．A、B、C的面积有什么关系？等腰直角三角形三边有
什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于
斜边的平方1234图2图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和
等于斜边的平方是不是一般的直角三角形的三边都满足这种关系呢?ABC由此，我们可猜想出：怎么证明呢？由此，我们可猜想出：大正方形面积:还可看作四个直角三角形和一个小正方形之和:即：经过证明被确认正确的命题叫做定理. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．cab勾股弦勾 股 世 界 在西方，因为是毕达哥拉斯最先发现这个定理的，所以西方人通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理” ．传说毕达哥拉斯证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，所以它又叫“百牛定理” ．在欧洲中世纪它又被戏称为“驴桥定理” ，因为那时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关 。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就曾提出， “勾三、股四、弦五”，所以勾股定理又叫“商高定理”(a+b)2=a2 + b2 + 2ab = c2+2ab可得: a2 + b2 = c2求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③x2=81+144y2=169-144z2=625-576x=15y=5z=7在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8，则c=＿＿解：∵∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，
a2+b2=c2（勾股定理）
又∵a=6，b=8
∴c2=62+82=36+64=100
∴c=10１、本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理。 ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.情况是在不断地变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。——毛泽东 2.直角三角形的判定
【基本目标】
1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.
2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.
【教学重点】
用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.
【教学难点】
勾股定理逆定理的证明.
一、创设情景，导入新课
【实验观察】
实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.
【显示投影片1】
二、师生互动，探究新知
【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm或8cm,15cm,17cm呢？
【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.
【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.
【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；
（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.
【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.
【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.
出示习题：（投影显示）
1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A.5,6,7 B.10,8,4
C.7,25,24 D.9,17,15
2.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）
【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.
四、典例精析，拓展新知
例 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？
解：由题意画出示意图，如图，
由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.
【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.
五、运用新知，深化理解
若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.
教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.
课件18张PPT。14.1 勾股定理
2.直角三角形的判定第14章 勾股定理八年级上册按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?2.5，6，6.5； 6，8，10.下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的
形式说出你的观点!命题2勾股定理的逆命题勾股定理互逆命题34古埃及人的做法：△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？全等我们作Rt△A′B′C′，
使A′C′=AC，B′C′=BC345ACB34在 Rt△A′B′C′中根据勾股定理有≌勾股定理的逆命题互逆命题逆定理定理勾股定理定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.1.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;2.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;是是不是 是∠A=900∠B=900∠C=900 像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.BA、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形拓广与应用 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行16海里, “海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?……美丽的勾股树通过这节课的学习，你有哪些收获？1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.学习专看文学书，也是不好的。先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来变成连常识也没有。 —— 鲁迅3.反证法
【基本目标】
1.理解反证法.
2.会用反证法证明较简单的题.
【教学重点】
用反证法证明几何命题.
【教学难点】
反证法中渗透“正难则反”的思想.
一、创设情景，导入新课
出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.
二、师生互动，探究新知
活动
1反证法的步骤.
教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？
学生讨论交流，选代表发言.
如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.
教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？
学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形.
【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.
活动2用反证法证明.
教材P116例5.
【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？
【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.
教材P116例6.
【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？
【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.
【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.
四、典例精析，拓展新知
例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？
要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.
【学生活动】讨论交流后独立完成.
五、运用新知，深化理解.
完成教材P117练习第1、2题.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.
教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.
课件15张PPT。14.1 勾股定理
3.反证法第14章 勾股定理八年级上册路
边
苦
李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？小故事: 如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？ 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知
道李子是苦的呢?
他运用了怎样的
推理方法? 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确． 这种证明方法叫做反证法 若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？ 若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形. 【归纳】
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确. 例1 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证： l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线香蕉只有一个交点. 例2 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证: △ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设结论不成立，即：
∠A＞60°, ∠B ＞ 60°,∠C ＞ 60°,
则∠A+∠B+∠C＞180 °.
这与三角形内角和为180°相矛盾.
所以假设不成立，所求证的结论成立.通过这节课的学习，你有哪些收获？1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.学习专看文学书，也是不好的。先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来变成连常识也没有。 —— 鲁迅
