13.5逆命题与逆定理
1.互逆命题与互逆定理
【基本目标】
1.理解逆命题的概念，并会判断一个命题、逆命题的真假.
2.理解逆定理与互逆定理的概念.
【教学重点】
逆命题与逆定理的概念.
【教学难点】
判断逆命题的真假.
一、创设情景，导入新课
观察下列两个命题：（1）“两直线平行，内错角相等”；（2）“内错角相等，两直线平行”.你能分别说出它们的条件与结论吗？两者的条件与结论位置上有什么关系？从而导入新课.
二、师生互动，探究新知
1.原命题、逆命题、互逆命题
教师讲解并板书：在两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论，又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
教师启发如何构造一个命题的逆命题，并与同排同学做一个游戏：一个出示命题，一个构造它的逆命题.
学生活动、交流，教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的，而不能说×××命题是逆命题.
2.互逆命题与逆定理
教师选取交流代表中的例子，分析互逆命题的真假.
板书：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.教师强调：不能说×××定理是逆定理.
【教师提问】你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗？
学生交流、讨论、回答，教师点评.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
四、典例精析，拓展新知
例下列命题的逆命题是真命题的是（）
A.对顶角相等
B.若a=b，则｜a｜=｜b｜
C.两直线平行，同位角相等
D.全等三角形的对应角相等
【答案】C
【教学说明】先写出命题的逆命题，再判断真假，而不是判断原命题的真假.教师强调：假命题的逆命题可能是真命题，真命题的逆命题很有可能是假命题.
五、运用新知，深化理解
完成教材P93第1、2题，教师及时点评.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
这节课内容较少，学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键，判断逆命题的真假是本节的难点，应在教学中让学生多构造互逆命题，并判断其真假，让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系.
课件16张PPT。13.5 逆命题与互逆命题
1.互逆命题与互逆定理八年级上册1、命题的概念：可以判断正确或错误的
句子叫做命题。2、命题都有两部分：题设和结论例如：两直线平行,内错角相等；内错角相等,两直线平行；都是命题。注意：问句和几何作法不是命题！新课导入观察上面三组命题,你发现了什么?1、两直线平行,内错角相等；3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2、内错角相等,两直线平行；5、平行四边形的对角线互相平分；
6、对角线互相平分的四边形是平行四边形；说出下列命题的题设和结论：推进新课一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题。上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
题设为两直线平行；
结论为内错角相等．
内错角相等，两直线平行.命题“两直线平行，内错角相等”的因此它的逆命题为练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.题设：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.（简单说成：两锐角互余的三角形是直角三角形。）2、等边三角形的每个角都等于60°题设：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等.题设：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.简单说成：三个角都等于60°的三角形是等边三角形。简单说成：三个角对应相等的两三角形全等。4.如果a=b,那么a3 =b3题设： a=b结论： a3 =b3 逆命题：如果a3 =b3
，那么 a=b。1、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.题设：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.2、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.补充题：注意：1.写出一个命题的逆命题，并不是单一的交换题设和结论，还要重新组织语言，使语言通顺，条理清晰。2.每一个命题都有逆命题.但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题． 练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60°= 60°，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：不是所有的定理都有逆定理其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习3：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.例如：1、同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题.1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。(1)如果x=y,那么x2 =y2；(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外
两个角是锐角；解：逆命题：如果x2 =y2,那么x=y ；假命题解：逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角,那么它的第三个角是钝角；
假命题随堂演练这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.课堂小结1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。
——高尔基 2.线段垂直平分线
【基本目标】
理解线段的垂直平分线的性质定理与逆定理.
【教学重点】
线段垂直平分线的性质定理与逆定理.
【教学难点】
线段垂直平分线的性质定理与逆定理的运用.
一、创设情景，导入新课
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
如图，l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l上，CA与CB有什么关系？写出你的证明过程.
二、师生互动，探究新知
在学生交流发言基础上，教师板书：线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
巩固练习教材P96第1、2题.
教师提问：你能写出这个性质定理的逆命题吗？它是不是真命题?
学生完成并回答.
下面我们一起来证明它，见教材P95.
教师提问：这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系？
学生回答，教师板书.线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，并提醒每一步推理的依据是用的性质定理还是判定定理.
四、典例精析,拓展新知
见书本P95的“试一试”.
【教学说明】任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点，在后面将学习这一点是三角形的外心，锐角三角形的各边垂直平分线的交点在三角形内，直角三角形各边垂直平分线的交点在斜边的中点，钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外；要证明某直线是某线段的垂直平分线，可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等.
五、运用新知，深化理解
完成教材P99第2、3题.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课在教学过程中，首先提出问题，让学生回答，通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理，接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理，并在习题中运用这两个定理，得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论.
在教学过程中，应注意让学生搞清两个定理的条件与结论，并充分调动学生的积极性，体会成功解决问题的乐趣.
课件18张PPT。2.线段垂直平分线八年级上册运用尺规作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上任意找一点，连结该点与线段的两个端点，最后沿垂直平分线对折。你发现了什么？新课导入线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推进新课直线MN?AB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.已知：PA=PB求证：证明:∵MN?AB（已知）∴?PCA=?PCB(垂直的定义)在?PCA和?PCB中,∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)逆命题一直线是一线段的垂直平分线该直线上的点到线段两端的距离相等点到线段两端的距离相等该点在线段的垂直平分线上BP已知:线段AB,且PA=PB求证:点P在线段AB的垂直平分线MN上. 过点P作PC?AB垂足为C.∵ PA=PB(已知)
∴ ?PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)∴AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)∴PC是线段AB的垂直平分线.
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.证明:A到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.逆定理例 已知:如图?ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
证明: ∵ 点A在线段AB的垂直平分线上(已知)同理 PB=PC∴ PA=PB=PC.填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
2.已知: 等腰?ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE EC.(填>、<或=号)1题图2题图等腰=随堂演练3.已知:如图,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则? 1= , ? 2= .30o1275o30o60o45o2填空：
4.已知:如图,在?ABC中,DE是AC的垂直平分线,
AE=3cm, ?ABD的周长为13cm,则?ABC 的周长
为 cmABDCE3cm1913cm5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即:BF=CF=DFACEBFD??小结:1.线段的垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.2.到一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.互
逆命
题课堂小结 这节课你有哪些收获？你觉得还有哪些地方存在疑问，不妨与同伴交流。1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。
——高尔基 3.角平分线
【基本目标】
掌握角平分线的性质定理与逆定理.
【教学重点】
角平分线的性质定理与逆定理.
【教学难点】
角平分线的性质定理与逆定理的运用.
一、创设情景，导入新课
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点，且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，将∠AOB沿OC对折你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
二、师生互动,探究新知
在学生交流发言的基础上，教师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等.几何推理为：∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，∴PD=PE.教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.
巩固练习教材P98第1题.
教师提问：你能写出这个性质定理的逆命题吗？它是不是真命题？
学生完成并回答.
下面我们一起来证明这个定理，见教材P97.
教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言.在学生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上.
巩固练习教材P98第2题.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时点评，并提醒每一步推理的依据是用的性质定理还是判定定理.
四、典例精析，拓展新知
见教材P98的“试一试”.
【教学说明】任意三角形三个角平分线都交于同一点，在后面将学习这一点叫做三角形的内心，设△ABC的内心为I,则∠BIC=90°+12∠A;如图，三条直线l1、l2、l3相交于A、B、C三点，到三条直线距离都相等的点应有4个，即两对角平分线的交点，以及相邻外角平分线的交点.
五、运用新知，深化理解
完成教材P99第4、5题.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课的教学类比线段垂直平分线的教学，本课时的教学应突出学生的主体性原则，指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证，相互交流或课堂展示，让学生分享学习的收获，从而激发学生参与的热情，体验成功的快乐.
课件19张PPT。3.角平分线八年级上册 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？新课导入 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）推进新课探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900
∵ OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE(3)验证猜想符号语言题设：∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB结论：∴PD=PE(4)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC
( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×如图，在Rt△ABC 中，角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。ABCBD是角平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC 相等吗？答：DE=DC。∵ BD是∠ABC的平分线 且DE⊥BA，∴ DE=DC。为什么？DC⊥BC，已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt △PDO 与Rt △PEO中∴∠PDO= ∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌ Rt △PEO(H.L.)∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
题设∵PD=PE PD⊥OA， PE⊥OB
结论 ∴ OC平分 ∠AOBACBEDPMHK例题:如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与
顶点 C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．
证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。
∵BD平分∠CBM
PM⊥AB、PK⊥BC
∴PK＝PM
同理PK＝PH
∴PK＝PM＝PH
即点P到三边AB、BC、AC的距离相等若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l 于P就是所求的点随堂演练练习： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. P利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。P1P2P3P4l1l2l3 3、如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC 分析：S△ABC = S △BCO+ S △ABO+ S △ACO
=BC.OD+AB.OD+AC.OD
=（BC+AB+AC）OD
这节课我们学到了什么？①掌握了角平分线的性质定理及其逆定理.
②利用角平分线性质定理证明两条线段相等.课堂小结1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。
——高尔基
