第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
1.命题
【基本目标】
1.了解命题的概念，理解命题的结构.
2.会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题.
【教学重点】
命题的结构，真命题与假命题识别.
【教学难点】
识别命题的真假.
一、创设情景，导入新课
我们已经学习了哪些图形的特性？看哪个小组回答得最多？根据学生的回答，选取一个导入新课.如“对顶角相等”这个句子，表示判断一件事情的语句就是今天学习的内容.板书课题：命题.
二、师生互动，探究新知
1.命题的定义与结构
【教师讲解】以上所举例子都是判断某一件事情的语句.表示判断的语句叫做命题.
辨一辨下面的语句是命题的是：①你很美.
②你的奶奶身体好吗？
③直角都互补；
④平行于同一直线的两直线平行.
【教学说明】命题的形式是陈述句，且作了判断.
将你所列举的命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件与结论.
【教学说明】“如果……”的部分是条件，“那么……”部分是结论，寻找命题的条件与结论即将命题写成“如果……那么”的形式，注意改写后语句应通顺.
2.真命题与假命题.
【教学说明】条件成立、结论也成立的命题叫做真命题，条件成立，不能保证结论是正确的命题叫做假命题，让学生一对一给出命题，并辨别真假.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时评价.
四、典例精析，拓展能力
例指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例.
（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）两个无理数之和仍是无理数.
【答案】（1）真命题，条件是经过一点画已知直线的垂线，结论：有且是只有一条.
（2）假命题，条件是：两个数都是无理数，结论是：它们的和是无理数.如2与-2都是无理数，但和为0，是有理数.
【教学说明】找命题条件与结论时，关键将命题改写成“如果……那么……”的形式，说明假命题举出一个反例即可，辨别命题的真假应思维全面.
五、运用新知，深化理解
命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是 ，结论是 ，它是一个 ，反例为 .
【教学说明】使学生掌握寻找命题条件与结论的方法，说明一个命题为假命题，应举出一个反例.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节内容，较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析.命题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握.针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导.
课件18张PPT。第13章 全等三角形 3.1 命题、定理与证明 1.命题1正确理解命题的含义
2会区分命题的条件和结论，并能把一个命题写成“如果……,那么……”的形式
3能根据已有的知识去判断一个命题的真假问题1 请同学读出下列语句
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行；
（2）三角形的内角和等于180°；
（3）连接A、B两点．
（4）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（5）直角都相等。
（6） 你多大了？命题的概念你能说出这些句子中那些是具有判断功能的吗？什么是命题？表示判断的语句，叫做命题.例如： “三角形的内角和等于180°”是判断一件事情的语句是命题。
“连接A、B两点”不是判断一件事的语句就不是命题。 问题2 判断下列语句是不是命题？
（1）你饭吃了吗？（ ）
（2）两点之间，线段最短。（ ）
（3）请画出两条互相平行的直线。 （ ）
（4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ）
（5）如果两个角的和是90o，那么这两个角互余。（ ）
（6）对顶角不相等。（ ）
（7）两直线平行，同位角相等。（ ） √ √ √ √1熊猫没有翅膀。
2大象是红色的。 3同位角相等。5从3数到10。句子 （能判断一件事情） 是命题句子 （不能判断一件事情） 不是命题 4请你吃饭。想一想12345问题3 请同学们观察一组命题，并思考命题是由
几部分组成的？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，
同旁内角互补；
（3）如果两个角的和是90o，
那么这两个角互余；
（4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式．
（5）两点之间，线段最短．命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。如果两个角的和是90o，那么这两个角互余。
条件结论 数学中的命题常可以写成“如果…，那么…”的形式．
“如果”开始的部分是条件，
“那么”开始的部分是结论．问题4下列命题中的条件是什么？结论是什么？2 如果a＞b，b＞c，那么a=c .条件是： 1如果两个角是邻补角，那么这两个角互补结论是：条件是：结论是：两个角是邻补角这两个角互补a＞b，b＞ca=c问题4： 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式，并分别指出该命题的条件和结论。如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.条件是：1对顶角相等．结论是：条件是：结论是：2同位角相等.如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
两个角是对顶角这两个角相等两个角是同位角这两个角相等问题5 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改
写成“如果……，那么……”的形式.并指出条件和结论。
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）同角的补角相等.如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．下列题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等． √ √ √问题6：命题的真假真命题：如果条件成立，那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题． 假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确， 也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．5）若A=B，则2A = 2B（ ）9）同旁内角互补（ ）4）两点可以确定一条直线（ ）1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）2）一个角的补角大于这个角（ ）问题7判断下列命题的真假。真的用“√”，
假的用“× 表示。7）两点之间线段最短（ ）3）相等的两个角是对顶角（ ）×√8）同角的余角相等（ ）6）锐角和钝角互为补角（ ）×√√×√√×问题8请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．
命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．命题2：一个锐角与一个钝角的和等于一个平角。命题1是真命题（可进行推理证明），命题2是假命题（举反例如60°的角与170°的角)。1、命题：判断一件事情的语句叫命题。2、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。（1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
（2）命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。课后作业完成练习册本课时对应习题在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。 —— 华罗庚2.定理与证明
【基本目标】
1.理解已学的5个基本事实；理解定理的概念.
2.理解证明概念，体会证明的必要性.
【教学重点】
证明的过程与步骤.
【教学难点】
证明的必要性.
一、复习旧知，导入新课
1.什么是命题？命题的结构是什么？
2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法.
二、师生互动，探究新知
（一）基本事实
教师讲解，并板书：
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行.
上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
（二）定理与证明
教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.
1.教师讲解：请大家看下面的例子：
当n=1时，（n2-5n+5）2=1；
当n=2时，（n2-5n+5）2=1；
当n=3时，（n2-5n+5）2=1.
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5）2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5）2=25.
2.教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题.
【答案】上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3＞-5，但32＜（-5）2.
【教师总结】在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.
【教师讲解】数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
（三）定理的证明
直角三角形两锐角互余.
【教师引导】将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上每步的依据.
【教师讲解】此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视、及时点评.
四、典例精析，拓展新知
例试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直.
【教学说明】教师引导文字命题证明步骤，先画图写出已知求证，再分析找出思路，最后写出证明过程，注意步步有据.
五、运用新知，深化理解
如图，AD∥BC,∠A=∠C,求证：AB∥CD.
【教学说明】教师启发由AD∥BC，得到了什么？要证明AB∥CD，需要证明什么？与AD∥BC相关的信息是什么？如何书写使条理清晰，层次分明.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课从同学们已学的五个性质入手，讲解了基本事实的概念作用与地位，从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性，从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求.本节课有很多理性认识，学生不可能一蹴而就，而是在学习中及时完善与提升.
对证明的条理问题应提出更高的要求，以培养学生更严谨的逻辑思维能力.
课件23张PPT。2.定理与证明 在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。1.定义：命 题2.构成：1)每个命题都是由题设、结论两部分组成.判断一件事情的语句.2)命题常写成“如果······那么······”的形式.3.分类：2)假命题：错误的命题.1)真命题：正确的命题； 判断下列命题的真假：
1.过两点有且只有一条直线；
2.如果两个角是同位角，那么这两个
角相等；
3.两条直线被第三条直线所截，如果
同旁内角互补，那么这两条直线平
行；
4.如果两个角互补，那么它们是邻补
角；
5.垂直于同一条直线的两直线平行.√√√××1.公理: 人们在长期实践中总结出来的，
并作为判定其他命题真假的根据.2.定理:用推理的方法得到的真命题.3.证明: 除公理外，一个命题的正确性
需要经过推理，才能作出判断，这
个推理的过程叫做证明.举例：1. 公理：过两点有且只有一条直线.2) 线段公理：两点之间，线段最短.4) 平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.5) 平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.1) 直线公理：3) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条
直线与已知直线平行.举例： 2. 定理：同角或等角的补角相等.2) 余角的性质：同角或等角的余角相等.4) 垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5) 平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.1) 补角的性质：3) 对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.举例：2. 定理：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.6) 平行线的判定定理：7) 平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.3. 证明：例1.已知：如图，a∥b, c是截线 .
求证：∠1=∠2123abc12证明：∵a∥b ( )∴∠3=∠2
( )∵ ∠3=∠1 ( )∴∠1=∠2 ( )已知两直线平行，同位角相等对顶角相等等量代换3abc命题证明的步骤：
1.根据题意，画出图形；
2.根据题设、结论，结合图形，写出
已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程. 根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等；
4)两条平行线的一对内错角的平分线互相
平行.1)垂直于同一直线的两直线平行； 已知：直线b⊥a , c⊥aabc 求证：b∥c2)内错角相等，两直线平行； 已知：如图，直线a、b被直线 c所截,
且∠1=∠2 求证：a∥babc213)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等；已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ,
EG⊥OB于G
求证：EF=EG4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.证明：∵OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC∵ ∠AOB+∠BOC=180°已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
OE平分∠AOB， OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF又∠AOB、∠BOC互为邻补角∴ OE⊥OF∴∠1= ∠AOB， ∠2= ∠BOC∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°如何判断一个命题是假命题？ 只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.判断下列命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：1)相等的角是对顶角；
2)同位角相等；
3)邻补角是互补的角；
4)互补的角是邻补角；
5)如果一个数能被2整除，那么这个数
也能被4整除；判断下列命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：6)不等式的两边都乘以同一个数，不
等号的方向不变；
7)在平面内，经过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直；
8)两个锐角的和是锐角.定 理 与 证 明1.命题证明的
一般步骤2.命题的证明3.判断假命题的方法：(1)画图；
(2)写已知、求证；
(3)写推理过程.举反例完成练习册本课时对应习题学习要注意到细处，不是粗枝大叶的，这样可以逐步学习摸索，找到客观规律。 —— 徐特立
