本章复习
【基本目标】
1.理解命题与定理，逆命题与逆定理.
2.掌握全等三角形的判定方法.
3.掌握等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.
4.掌握五种基本作图.
5.理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理.
6.理解角平分线的性质定理及逆定理.
【教学重点】通过复习回顾掌握本章重要知识，能够用本章知识熟练解决相关问题.
【教学难点】
灵活用全等三角形证明几何问题.
一、知识框图，整体建构
二、知识梳理，快乐晋级
填空比赛
1.命题的结构包括_____和_____，将一个命题的_____与_____颠倒就转化成了它的逆命题，定理的逆命题也正确，二者互为_____.
2.判断全等三角形的方法有_____.直角三角形除了上述方法外还可用_____来判断.
3.全等三角形的性质是对应边_____，对应角_____.全等三角形常见的变换方式有_____、_____和_____三种.
4.线段垂直平分线上的点到线段两端的_____，到线段两端_____的点在线段的垂直平分线上；角平分线上的点到角两边的_____，在角的内部到角两边距离相等的点在角的_____.三角形的_____交点到三边距离相等，三角形_____交点到三个顶点的距离相等.
5.等腰三角形的两底角_____，顶角的_____，底边上的，底边上的_____互相重合；有_____的三角形是等腰三角形，等边三角形的三个角都_____，并且都为_____.三个角_____的三角形是等边三角形，有一个角_____是的等腰三角形是等边三角形.
【教学说明】以填空比赛的形式激发了学生的复习热情，提高了复习知识的效率.
三、典例精析，升华旧知
例1（1）下列命题中正确的有（）
①只有真命题才有逆命题；②假命题的逆命题是真命题；③有两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等；④一边一角分别相等的两个直角三角形全等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（2）等腰△ABC的两边长是4和8，则它的第三边的边长是_____.
（3）等腰△ABC的一个外角为150°，则它的顶角是_____.
（4）等边三角形两条中线所成锐角是_____.
答案：(1)A (2)8 (3)30°或120°(4)60°
【教学说明】（1）④中的角可能为直角；（2）分类讨论腰为4或8，但为4时不满足三边关系；（3）当外角为顶角的外角，则顶角为30°，当为底角的外角，则顶角为120°；（4）中由等腰三角形的三线合一得两中线即为两角平分线，故所夹锐角为60°.
例2 如图A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD,求证：△ACF≌△BDE.
证明：∵AC⊥CE,BD⊥DF,
∴∠ACE=∠BDF=90°，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，AE=BF,AC=BD,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(H.L.),∴∠A=∠B,∵AE=BF,
∴AF=BE,在△ACF与△BDE中，AF=BE,∠A=∠B,AC=BD,∴△ACF≌△BDE（S.A.S.）
【教学说明】本题的方法实际上是“两头凑”思想方法，一方面从问题（结论）入手，看还需什么条件，另一方面从条件入手，看可以得出什么结论，再对比“所需条件”与“所得结论”是否吻合或明显联系，从而找出解题思路.
例3如图,△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：EF∥BC.
证明：∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠1=∠2,又∵DE⊥AB,DF⊥AC.
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°，∴∠3=∠4，
∴AD⊥EF,∴EF∥BC.
【教学说明】在具有等腰三角形背景中既要联想两底角相等，又要想到三线合一定理，有角平分线与线段的垂直平分线时应联想其性质定理，不要总用全等.
例4如图,在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE于D,求证：∠2=∠1+∠C.
证明：延长AD交BC于F，在△ABD与△FBD中,∠ADB=∠FDB,BD=DB,∠ABD=∠FBD,∴△ABD≌△FBD（A.S.A.）.∴∠2=∠DFB,又∵∠DFB=∠C+∠1，∴∠2=∠C+∠1.
【教学说明】有角平分线时，可以从角平分线为轴翻折构造全等三角形.
例5如图,点D是△ABC边上的点，且CD=AB,
AB=BD,AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.
证明：延长AE至点F，使EF=EA,
连结DF,在△ABE与△FDE中,AE=EF,∠AEB=∠FED,BE=DE,
∴△ABE≌△FDE（S.A.S.）∴∠B=∠FDE,AB=DF,∠ADF=∠ADB+∠FDE,
∠ADC=∠DAB+∠B,又∵AB=BD,AB=CD,
∴CD=DF,∴∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF,
在△ADF与△ADC中，AD=AD,∠ADF=∠ADC,DF=DC,
∴△ADF≌△ADC（S.A.S.）,∴AC=AF,
∴AC=2AE.
【教学说明】要证明AC=2AE，关键先构造2AE，即AF.再证明AF=AC，进而转化为证明两个三角形全等，本题有中点条件,可考虑将三角形绕中点旋转180°，构造全等三角形.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有什么收获？有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在同学发言的基础上，教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
为建构知识网络，先由师生共同回顾本章知识，建立本章知识框架图.然后对基本知识以填空比赛形式抢答，旨在调动复习积极性，打牢基础知识.最后设置的四道典型例题旨在进一步帮助学生加深理解.由于本章知识是中考重点考查内容之一，故思维深度、知识的深度、能力的层次有所提高，例题复习时，应关键从思路的取得过程进行分析，帮助学生建立规律性，认知体系，大力提升其思维能力，同时对学习困难的学生给予帮助，重树学习信心.
课件56张PPT。章末复习八年级上册基本概念1、叙述什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？
2、命题的题设和结论？改写命题
3、命题的逆命题
4、定理的逆定理新课导入1、可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。2、在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项 3、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例” 推进新课4、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理 ,不用证明，也无法用推理进行证明5、数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 6、边角边公理：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）7、角边角公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。 8、角角边定理：如果两个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(A. A. S.)。9、边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。10、斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“H.L.”.注意：边边角不能判定三角形全等，如：边—边—角(S.S.A.)——三角形不一定全等边1边1边2边2角角另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角（简称S.S.A.）——不一定全等在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
其中,直尺是没有刻度的;
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 2、作一个角等于已知角3、平分已知角——作图原理是4、经过一已知点作已知直线的垂线5、画已知线段的垂直平分线——作图原理是1、作一条线段等于已知线段五种基本作图三角形全等线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和两点确定一条直线一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理 原命题：题设 + 结论逆命题：题设 + 结论逆定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）性质定理：
等腰三角形的底角相等 （简称：等边对等角）等腰三角形角平分线定理及逆定理 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 线段的垂直平分线定理及逆定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．注意：判断就是命题.命题可能正确,也可能错误.命题一般用陈述句叙述，疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。所有命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定正确；所有定理都是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命题是真命题才有逆定理。命题构成：1)在数学中，许多命题都是由（ ）（或条件） 和（ ）两部分组成.
（ ）是已知事项，（ ）是由已知事项推出的事项．2)命题常写成“如果······那么······”的形式. 其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．题设结论题设结论例1 把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论． 解 这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.请你试试看——命题的改写把下列命题改写成“如果……那么……”的形式
1、正方形的两条对角线相等如果一个四边形是正方形，那么这个正方形的两条对角线相等2、四个角相等的菱形是正方形 如果菱形的四个角相等，那么这个菱形是正方形3、全等的两个三角形，三条对应边相等如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等请你试试看——命题与逆命题，定理与逆定理写出下列命题的逆命题并判定真假
1、正方形的两条对角线相等两条对角线相等的四边形是正方形（ ）2、两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行（ ）3、全等的两个三角形，三条对应边相等三条对应边相等的两个三角形全等（ ）假命题真命题真命题练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.一个三角形是直角三角形.结论：逆命题：题设：它的两个锐角互余.如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.2、等边三角形的每个角都等于60°题设：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等.题设：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.题设：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.6、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 题设：直角三角形中，一个锐角等于30°结论：30°角所对的直角边等于斜边的一半逆命题：直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于30°7、直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方题设：直角三角形中结论：两直角边的平方和等于斜边的平方逆命题：三角形两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形基本作图在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
其中,直尺是没有刻度的;
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.
下面介绍几种基本作图:作法与示范：(1) 作射线A’C’ ；A’ C’(2) 以点A’为圆心，以AB的长为半径画弧， 交射线A’ C’于点B’， B’A’B’ 就是所求作的线段。已知： ∠AOB。求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。(2) 以点O为圆心，任意长为半径交OA于点C， (3) 以点O’为圆心，画弧， CD同样(OC)长为半径画弧， C’(4) 以点C’为圆心，CD长为半径画弧， D’(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’就是所求的角.（2）作一个角等于已知角思考：探究与合作
你会做一条线段等于所给线段的和或差吗？abACDaEb线段AE就是求做线段a+b,你能作出b-a吗？试试看3、平分已知角——角平分线已知： ∠AOB。
求作：射线OC，使 ∠ AOC= ∠ BOC。作法：
1、以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA、OB于点D、E。
2、分别以D、E为圆心、大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C。
3、作射线OC。
OC就是所求的射线。AOBCDE作角平分线的原理是：三角形全等步骤：
1、分别以点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧的交于点C、D。
2、连结CD。
则CD是线段AB的
垂直平分线．ABCD已知：线段AB。
求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,且AO=BO.4、画已知线段的垂直平分线线段的垂直平分线作图原理是：线段的垂直平分线的点到线段两端的距离相等和两点确定一条直线作法：
(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A 、B为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．①.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．5.过定点作已知直线的垂线DCABl作法：
(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)分别以点A. B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点D．
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？ABD 你能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗？ 用一用打台球时，球的反射角总是等于入射角.入射角反射角O1、已知： ∠AOB。利用尺规作： ∠A’O’B’
使∠A’O’B’=2∠AOB.独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。作法一:∠A’O’B’为所求.∠A’O’B’为所求.已知 ，求作∠ABC，
使∠ABC ＝ ＋尺规作图：独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。ABC作一点P，使点P到∠AOB的距离相等，到点E、F的距离也相等FE知识回顾对应边相等①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD 对应角④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 1、 什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？想一想：两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有1组 对应相等。分为：2、三角形全等的判定条件边①两边一角②两角一边③三条边②三个角两个三角形全等的条件是：应该具备三组对应的元素（边或角）；
如果只有一组或者两组对应的元素（边或角），这两个三角形不一定全等知识点三角形全等的证题思路：问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？例：如图AB=AC，AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？缺什么条件，题中能找到吗？公共角——∠A公共边——AD答：证法错误。 S.A.S.定理应用错误。（1）如图，∠ACB=90°，AC=CB，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。解：∵ ∠ BCE= ∠ACB -∠ ACD= 90°- ∠ ACD
∠ DAC ∠ ADC- ∠ ACD= 90°- ∠ ACD∴ ∠ BCE=∠ DAC 又 ∵AC=CB, ∠ ADC=∠CEB∴△CEB≌ADC (A.A.S.)∴AD=CE=2.5cm ∴ BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm（2）如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.
(1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由; 解：∵∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∵AO平分∠BAC
又DE⊥AB BC⊥AC
∴OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等 （2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，
并说明理由 3、如图， ∠B= ∠C=90度，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DABADCBME证明：过点M作ME⊥AD,
∵ ∠C=90度
∴ ME=MC（角平分线性质定理）又 ∵ ∠B=90度
MC=MB（ M是BC的中点）∴ME=MB（等量代换）∴ AM平分∠DAB（角平分线性质定理的逆定理） 1805年，拿破仑率领大军与德军在莱茵河畔激战，德俄联军在河的北岸设防，而法军则在南岸集结，中间隔一条很宽的莱茵河，法军要使炮弹准确落到对方阵地，就必须知道河有多宽，当时双方剑拔弩张，坐船测量河宽是根本不可能的。
拿破仑为解决这个难题在南岸观望，一时束手无策．忽然，他发现河水与北岸的边线，在视野里恰好擦着自己的帽舌边缘，于是他眉头一皱计上心来，他先一步一步向后退去，一直退到莱茵河与南岸的边线正好擦着他的帽舌时，便立定，叫人把这个地方到莱茵河南岸水边的距离测一下．他知道，量得的距离一定等于河的宽度，于是他命令部下根据量得的距离确定射击目标，向北岸的德俄联军发起炮击，果然炮弹像长了眼睛，每发都击中了目标．士兵们不仅仅是佩服拿破仑的知识，更重要的是拿破仑运用数学知识的能力．拿破仑测莱茵河河宽试一试
已知：A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。ECDCDCD已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，
试说明：BD=CD解：在△ABE和△ACE中
AB=AC，EB=EC，AE=AE∴ △ABE≌△ACE (S.S.S.)
∴∠BAE＝∠CAE在△ABD和△ACD中
∵AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD∴ △ABD≌ △ACD (S.A.S.)
∴ BD = CD1、如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。（1） ， （ ）
（2） ， （ ）
（3） ， （ ）
（4） ， （ ）
（5） ， （ ）
（6） ， （ ）
（7） ， （ ）S.A.S.AB=ADAE=ACAE=AC∠1= ∠2∠B= ∠CAB=ADA.S.A.12AB=ADA.A.S.∠B= ∠CAE=ACA.A.S.∠1= ∠2A.S.A.∠1= ∠2ED=CBA.A.S.∠B= ∠CED=CBA.A.S.随堂演练 2、如图，D为BC中点，DF⊥AC，且DE=DF，∠B与∠C相等吗？为什么？EFD无法证明∠B与∠C3、如图，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，△ABD≌△BCE吗？为什么？无法证明△ABD≌△BCE4、如图，AB=AD，AC=AE，∠EAB= ∠CAD，△ABC与△ADE全等吗？证明：∵∠EAB＝∠CAD（已知）
∴∠EAB＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC
即∠EAD＝∠CAB在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（S.A.S.）课堂小结 这节课你有哪些收获？你觉得还有哪些地方存在疑问，不妨与同伴交流。1.从教材复习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。
——高尔基
