本章复习
【基本目标】
进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.
【教学重点】
用勾股定理及逆定理解决问题.
【教学难点】
用勾股定理的逆命题证明几何问题.
一、知识框图，整体建构
二、知识梳理，快乐晋级
本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.
问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？
问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？
问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？
问题4：反证法的步骤是什么？
【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.
三、典例精析，升华旧知
例1（1）下列命题中正确的是（）
A.1.5, 2, 2.5是勾股数
B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°
C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形
D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6
（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.
（3）如图，长方形ABCD中，AB=15cm,点E在AD上，且AE=9cm,连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C=____cm.
【答案】（1）C
（2）45°提示：连结AC，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.
（3）8 由条件知△BA′C≌△CDE,∴A′C=DE，在Rt△CDE中，设A′C=x，∵A′E=AE，∴CE=9+x，∵CE2=CD2+DE2，∴（9+x）2=x2+152，解得x=8(cm).
例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？
解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A关于直线EF的对称点A′，则A′E=4cm,连结A′C交EF于P，则PA+PC最短，作GC⊥EN于G，在Rt△A′GC中，AP+PC==15(cm).
【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.
例3在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积.
【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.
例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.
例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.
解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，
所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)
【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.
例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.
(1)求证AB=BC;
(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.
解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.
【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.
课件15张PPT。本章复习第14章 勾股定理华东师大八年级上册由形到数实际问题
(直角三角形边长计算)勾股定理勾股定理的逆定理实际问题
(判定直角三角形)由数到形互逆 定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么勾股定理a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾 股 数1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。 132011242．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三
边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5DA4．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6
C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与
斜边的比为（ ）
A、60∶13 B、5∶12
C、12∶13 D、60∶169CD 6.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=
15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？设AE= x km，则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又DE=CE
∴AD2+AE2= BC2+BE2
即：152+x2=102+（25-x）2
∴x=10
答：E站应建在离A站10km处。x25-x 7.已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。 提示: 先运用勾股定理证明中线AD⊥BC,再利用等腰三角形的判定方法就可以说明了. 8.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。E过D点做DE⊥ABE∵ ∠1=∠2, ∠C=90°
∴ DE=CD=1.5
在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得
BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 ∴ BE=2
在Rt△ACD和 Rt△AED中,
∵CD=DE , AD=AD ∴ Rt△ACD Rt△AED
∴ AC=AE令AC=x,则AB=x+2
在 Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2
即:x2+42=(x+2)2 ∴ x=3x 本节课主要是应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题，在应用定理时，应注意：
1、没有图的要按题意画好图并标上字母；
2、不要用错定理。1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.必须记住我们学习的时间有限的。时间有限，不只由于人生短促，更由于人事纷繁。
—— 斯宾塞
