南庄中学八年级数学下第二章 分解因式小结(广东省佛山市禅城区)

南庄中学八年级数学下第二章《分解因式》小结及综合题应用
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知识点总结归纳： （090309制）
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1、因式分解的对象是多项式；
2、因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3、分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4、公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5、结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6、题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7、因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面介绍本章所学的内容在一些题型中的应用吧！
一、 通过基本思路达到分解多项式的目的。运用公式法还有：
例1 把分解因式 （以上是立方和与立方差公式）
解：原式
例2 把分解因式。
分析：因为所以多项式应先提公因式再用公式分解。
解：
例3 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式 解二：原式=
添项
二、通过变形达到分解的目的（拆项或添项）
例4 分解因式
解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有
例5 把进行因式分解.
分析：从项数上看只有两项，没有公因式，又不符合公式，能否添加某些项使之能成为可以利用的公式形式呢，因为都是一个完全平方。只要中间加上的乘积的2倍，即就可以利用完全平方公式了，于是获得继续分解的可能性。
解： 请你想想为什么还要减去
同学们自己试一试如何分解因式，中间添一个什么项，怎样才能使原题不改变？
三、在证明题中的应用
例6 求证：四个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数。
证明：设四个连续自然数为，（是正整数）。根据题意得：
所以，四个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数。
例7 求证：多项式的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
设，则
四、因式分解中的转化思想
例8 分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。（简称为换元法）
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
五、中考题型点拨：
例9 已知：
求：的值。
解：
小结：此题要求的值，显然是从已知的等式中把、、的值分别求出来，刚好已知的等式的左边是三个非负值的代数和。注意、、的应用。
例10 已知：__________
解：
说明：利用等式化繁为易。
例11 将
解：
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
例12 在中，三边a、b、c满足
求证：
证明：
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例13 已知：、、为△ABC三边的长，且满足，
试判断△ABC的形状。
解：此三角形是等边三角形，理由为：
∴，即；
∴此三角形是等边三角形。
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