2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第一章 第5-7节）培优卷
一、选择题
1．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．（2022七下·济南期末）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
4．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
5．（2021·台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
6．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除 单元检测a卷）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
7．（2023七上·奉贤期中）若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则该长方形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2a(cm2) C．4a(cm2) D．(a2-1)cm2
9．（2019·资阳）4张长为a、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·河北）若 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题
11．（初中数学浙教版七下精彩练习第三章整式的乘除 质量评估试卷）已知 ，则 .
12．（2023·大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
13．（2022七下·宁波开学考）一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个长方形的长为3a，则宽为 ．
14．（2016八上·临海期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是 ．
15．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
16．（2023九上·福田开学考）若实数m满足（m-2023）2+（2024-m）2＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝ ．
三、解答题
17．（2022七下·驻马店月考）用乘法公式计算：
（1）40 ×39 ；
（2） .
18．（2023七下·深圳期中）先化简，再求值：， 其中，
19．（2022七下·皇姑期末）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝－2
20．（2023七下·曲阳期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2019七下·峄城月考）先化简，再求值：
，其中 ，
22．（2023八上·太和月考）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
23．（2023七下·凤翔期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
24．（2023七下·正定期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
25．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的面积为 .
（2）观察图2，三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系是 .
（3）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y的值．
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b），
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：A．
【分析】由于两个图形的面积相等，正好验证出平方差公式。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】 利用完全平方公式，由（a+b）2＝49，a2+b2＝25，可求出ab的值.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、4x2+1+2x，无法运用完全平方公式分解因式，故符合题意；
B、4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
C、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=（2x+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
故答案为：A
【分析】完全平方公式：.根据公式即可判断。
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式求得b的值是解题的关键．b的前面三项就是2022和2023的差的平方．
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：该长方形的面积=（a+1）2-（a-1）2=4acm2.
故答案为：C.
【分析】该长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，据此列式并化简即可.
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】先求出S1、S2的值，利用S1=2S2，可求出a、b的关系.
10．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原等式 变形得：
．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
11．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 解： ，
∴
∴.
故答案为：2.
【分析】先根据平方差公式进行因式分解，然后根据等式的性质把2m-3n表示出来，最后代值计算即可.
12．【答案】128
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；
（a+b）1，展开各项系数之和为1+1=21；
（a+b）2，展开各项系数之和为1+2+1=4=22；
（a+b）n，展开各项系数之和为2n；
∴（a+b）7，展开各项系数之和为27=128；
故答案为：128.
【分析】观察可知（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；（a+b）1，展开各项系数之和为21；（a+b）2，展开各项系数之和为22；根据此规律可知（a+b）n，展开各项系数之和为2n；然后求出（a+b）7，展开各项系数之和.
13．【答案】2a-3b+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵ 一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个长方形的长为3a
∴这个长方形的宽为：（6a2﹣9ab+3a）÷3a=2a-3b+1.
故答案为：2a-3b+1.
【分析】利用长方形的宽=面积÷长，先列式，再利用多项式除以多项式的法则进行计算.
14．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴a2+2+ =9，
∴a2+ =9﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
15．【答案】a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是： （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【分析】根据梯形面积公式和平方差公式，可得出结果。
16．【答案】-1012
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1，
所以2ab=-2024，
所以ab=-1012，
即(m-2023)(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，将a+b=1两边平方后，左边展开，再整体代入计算可得答案.
17．【答案】（1）解：40 ×39
＝（40+ ）×（40﹣ ）
＝1600﹣
＝1599 ；
（2）解：
＝
＝
＝2012
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）由于两个因式都接近整数40，故原式可变形为(40+ )×(40-)，然后根据平方差公式进行计算；
（2）分母中的减数中的两个因数都接近2012 ，故可将减数写成（2012+1）（2012-1），然后根据平方差公式进行计算.
18．【答案】解：原式=
=
=，
当，时，
原式==-6．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
19．【答案】解：原式=
=
=
=．
∵，，
∴原式=
=
=．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先根据完全平方和多项式与多项式相乘进行计算，再进行合并同类项，再算除法即可化简。最后代入x＝1，y＝－2即可求解。
20．【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式、完全平方公式及多项式除以单项式求解，代入数值即可求解
21．【答案】原式=[x2+4xy+4y2-（3x2-xy+3xy-y2）-5y2]÷2x
=[-2x2+2xy+5y2-5y2]÷2x
=-x+y
当x=-2，y=时
-x+y=-（-2）+=
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及多项式乘多项式，化简得到式子，代入x和y的值即可得到答案。
22．【答案】（1）
（2）解：第n个等式为，证明如下：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……，
以此类推，第n个等式为，
左边，
∴左边等于右边，
∴第n个等式为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解（1）：由题意得，第5个等式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据数字类的规律探索求解。规律：等式的左边是两个连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，据此求解。；
（2）根据完全平方公式求解。观察可以得到规律第n个式子右边为，右边为，把等式左边的式子利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，看是否和右边的式子相等即可得到结论．
23．【答案】（1）解：由题意得：型卡片的长：，宽为：
（2）解：所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；平方差公式及应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由图形可得：B型卡片的长为a+b，宽为a-b；
（2）由图形可得：所拼成的长方形的长为(2a+b)，宽为(2a-b)，则其面积为(2a+b)(2a-b)，利用平方差公式进行化简，然后将a、b的值代入进行计算.
24．【答案】（1）
（2）
（3）
；
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】 (1)、 ，
(2)、，
(3)、①，
，
∴，
，
，
，
．
【分析】 (1)、 根据长方形面积公式表示出即可.
(2)、 根据阴影面积相等列出等式即可.
(3)、 根据平方差公式变形求解即可.
25．【答案】（1）(m-n）2
（2）（m+n）2-4mn=(m-n）2
（3）解：∵x+y=-6，xy=2.75
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-6）2-4×2.75 =26；
（4）解：由图形的面积相等可得（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积为（m+n）2-4mn=(m-n）2；
故答案为：(m-n）2；
（2）由（1）得：（m+n）2-4mn=(m-n）2；
故答案为：（m+n）2-4mn=(m-n）2；
【分析】（1）图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-3个矩形的面积，据此解答即可；
（2）由（1）得（m+n）2-4mn=(m-n）2；
（3）利用（2）结论（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后值代入计算即可；
（4）根据图形的面积直接解答即可.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第一章 第5-7节）培优卷
一、选择题
1．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
2．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
3．（2022七下·济南期末）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b），
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：A．
【分析】由于两个图形的面积相等，正好验证出平方差公式。
4．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
5．（2021·台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】 利用完全平方公式，由（a+b）2＝49，a2+b2＝25，可求出ab的值.
6．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除 单元检测a卷）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、4x2+1+2x，无法运用完全平方公式分解因式，故符合题意；
B、4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
C、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=（2x+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
故答案为：A
【分析】完全平方公式：.根据公式即可判断。
7．（2023七上·奉贤期中）若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式求得b的值是解题的关键．b的前面三项就是2022和2023的差的平方．
8．如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则该长方形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2a(cm2) C．4a(cm2) D．(a2-1)cm2
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：该长方形的面积=（a+1）2-（a-1）2=4acm2.
故答案为：C.
【分析】该长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，据此列式并化简即可.
9．（2019·资阳）4张长为a、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】先求出S1、S2的值，利用S1=2S2，可求出a、b的关系.
10．（2020·河北）若 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原等式 变形得：
．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
二、填空题
11．（初中数学浙教版七下精彩练习第三章整式的乘除 质量评估试卷）已知 ，则 .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 解： ，
∴
∴.
故答案为：2.
【分析】先根据平方差公式进行因式分解，然后根据等式的性质把2m-3n表示出来，最后代值计算即可.
12．（2023·大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】128
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；
（a+b）1，展开各项系数之和为1+1=21；
（a+b）2，展开各项系数之和为1+2+1=4=22；
（a+b）n，展开各项系数之和为2n；
∴（a+b）7，展开各项系数之和为27=128；
故答案为：128.
【分析】观察可知（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；（a+b）1，展开各项系数之和为21；（a+b）2，展开各项系数之和为22；根据此规律可知（a+b）n，展开各项系数之和为2n；然后求出（a+b）7，展开各项系数之和.
13．（2022七下·宁波开学考）一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个长方形的长为3a，则宽为 ．
【答案】2a-3b+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵ 一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个长方形的长为3a
∴这个长方形的宽为：（6a2﹣9ab+3a）÷3a=2a-3b+1.
故答案为：2a-3b+1.
【分析】利用长方形的宽=面积÷长，先列式，再利用多项式除以多项式的法则进行计算.
14．（2016八上·临海期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是 ．
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴a2+2+ =9，
∴a2+ =9﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
15．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
【答案】a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是： （2a+2b） （a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
【分析】根据梯形面积公式和平方差公式，可得出结果。
16．（2023九上·福田开学考）若实数m满足（m-2023）2+（2024-m）2＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝ ．
【答案】-1012
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1，
所以2ab=-2024，
所以ab=-1012，
即(m-2023)(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，将a+b=1两边平方后，左边展开，再整体代入计算可得答案.
三、解答题
17．（2022七下·驻马店月考）用乘法公式计算：
（1）40 ×39 ；
（2） .
【答案】（1）解：40 ×39
＝（40+ ）×（40﹣ ）
＝1600﹣
＝1599 ；
（2）解：
＝
＝
＝2012
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）由于两个因式都接近整数40，故原式可变形为(40+ )×(40-)，然后根据平方差公式进行计算；
（2）分母中的减数中的两个因数都接近2012 ，故可将减数写成（2012+1）（2012-1），然后根据平方差公式进行计算.
18．（2023七下·深圳期中）先化简，再求值：， 其中，
【答案】解：原式=
=
=，
当，时，
原式==-6．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
19．（2022七下·皇姑期末）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝－2
【答案】解：原式=
=
=
=．
∵，，
∴原式=
=
=．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先根据完全平方和多项式与多项式相乘进行计算，再进行合并同类项，再算除法即可化简。最后代入x＝1，y＝－2即可求解。
20．（2023七下·曲阳期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式、完全平方公式及多项式除以单项式求解，代入数值即可求解
21．（2019七下·峄城月考）先化简，再求值：
，其中 ，
【答案】原式=[x2+4xy+4y2-（3x2-xy+3xy-y2）-5y2]÷2x
=[-2x2+2xy+5y2-5y2]÷2x
=-x+y
当x=-2，y=时
-x+y=-（-2）+=
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及多项式乘多项式，化简得到式子，代入x和y的值即可得到答案。
22．（2023八上·太和月考）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：第n个等式为，证明如下：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……，
以此类推，第n个等式为，
左边，
∴左边等于右边，
∴第n个等式为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解（1）：由题意得，第5个等式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据数字类的规律探索求解。规律：等式的左边是两个连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，据此求解。；
（2）根据完全平方公式求解。观察可以得到规律第n个式子右边为，右边为，把等式左边的式子利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，看是否和右边的式子相等即可得到结论．
23．（2023七下·凤翔期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】（1）解：由题意得：型卡片的长：，宽为：
（2）解：所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；平方差公式及应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由图形可得：B型卡片的长为a+b，宽为a-b；
（2）由图形可得：所拼成的长方形的长为(2a+b)，宽为(2a-b)，则其面积为(2a+b)(2a-b)，利用平方差公式进行化简，然后将a、b的值代入进行计算.
24．（2023七下·正定期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
；
，
，
，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】 (1)、 ，
(2)、，
(3)、①，
，
∴，
，
，
，
．
【分析】 (1)、 根据长方形面积公式表示出即可.
(2)、 根据阴影面积相等列出等式即可.
(3)、 根据平方差公式变形求解即可.
25．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的面积为 .
（2）观察图2，三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系是 .
（3）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y的值．
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【答案】（1）(m-n）2
（2）（m+n）2-4mn=(m-n）2
（3）解：∵x+y=-6，xy=2.75
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-6）2-4×2.75 =26；
（4）解：由图形的面积相等可得（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积为（m+n）2-4mn=(m-n）2；
故答案为：(m-n）2；
（2）由（1）得：（m+n）2-4mn=(m-n）2；
故答案为：（m+n）2-4mn=(m-n）2；
【分析】（1）图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-3个矩形的面积，据此解答即可；
（2）由（1）得（m+n）2-4mn=(m-n）2；
（3）利用（2）结论（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后值代入计算即可；
（4）根据图形的面积直接解答即可.
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