2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第一章）培优卷
一、选择题
1．（2023·日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．（2022·南通）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．-4
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵m2＋n2＝2＋mn，
∴（2m 3n）2＋（m＋2n）（m 2n）
＝4m2＋9n2 12mn＋m2 4n2
＝5m2＋5n2 12mn
＝5（mn＋2） 12mn
＝10 7mn，
∵m2＋n2＝2＋mn，
∴（m＋n）2＝2＋3mn≥0（当m＋n＝0时，取等号），
∴，
∴（m n）2＝2 mn≥0（当m n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴，
∴，
∴，
即（2m 3n）2＋（m＋2n）（m 2n）的最大值为，
故答案为：B.
【分析】将代数式利用平方差公式和完全平方公式先去括号，再合并同类项，结合已知可转化为10 7mn；将m2＋n2＝2＋mn进行配方，可得到关于mn的不等式，求出mn的取值范围为，利用不等式的性质可得到10 7mn的取值范围，即可求出已知代数式的最大值.
3．（2021·泸县）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出a+2b的值，再将代数式转化含a+2b的代数式；然后整体代入求值.
4．（2023八上·平潭月考）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 根据完全平方公式得到待求式等于，进而即可求解.
5．（2019八上·海口期中）若 中不含x的一次项，则m的值为（
A．8 B． C．0 D．8或
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据多项式的乘法计算法则可得：原式= ，根据不含一次项可得：8+m=0，解得：m=-8.
【分析】利用多项式与多项式相乘，将其展开后合并，根据结果不含一次项，可得一次项系数为0，据此求出m值即可.
6．若a=522，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a
【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： a=522=（52）11=2511，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
∵25＜64＜81，
∴2511＜6411＜ 8111，
即 a故答案为：A.
【分析】将各数化为同一指数，底数大的数就大.
7．（2023七上·浦东期中）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式=
=
=-.
故C正确，A，B，D错误.
故答案为：C.
【分析】按照有理数乘方法则和减法法则计算即可.
8．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)] [2a-(3b-1)].
故答案为：B.
【分析】平方差公式应满足：一项相同，另一项互为相反数，据此变形即可.
9．（2023七上·浦东期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分面积=，
图乙中平行四边形面积=（a+b）(a-b).
两个图形面积相等，
，
D正确，A，B，C错误.
故答案为：D.
【分析】先分别表示两个图形面积，再根据面积相等得到公式.
10．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
二、填空题
11．（2023八上·鸠江月考）若，则 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
【分析】根据完全平方公式变形求解。将已知方程变形为，然后利用完全平方公式展开求解即可．
12．（2023八上·吉林月考）已知2a=3，2b=5， 2c=15，那么a、b、c之间满足的等量关系是
【答案】a+b=c
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴a+b=c
故答案为：a+b=c
【分析】根据同底数幂的性质即可求出答案.
13．（2023七上·合江期中）若且，，则叫做以为底的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．则的值为 ．
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵26=64，
∴log264=6，
故答案为：6.
【分析】因为26=64，根据对数的定义可知：log264=6.
14．（2023七下·定边期末）已知，则的值是 ．
【答案】25
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴（a+b）（a-b）=5，
∴，
故答案为：25.
【分析】根据平方差公式及积的乘方可求.
15．（2023八上·衡阳月考）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：.
【分析】本题考查完全平方公式的逆运算，熟知公式，注意完全平方公式中间项有正负两个数值，即可解答.
16．（2023七下·泰兴期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 .
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：矩形的面积为
故答案为：.
【分析】根据剪拼后矩形的面积=大正方形的面积减去小正方形的面积列出式子，进而再根据完全平方公式去括号，最后合并同类项即可.
三、解答题
17．（2023七下·商河期末） 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简：.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂进行运算，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式、平方差公式进行运算，进而即可求解。
18．（2022七上·肇源期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再从左至右依次计算单项式的乘法和除法即可得出答案；
（2）先根据有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方；绝对值：化简绝对值前，要先判断绝对值内的数的正负，再根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值使其相反数，0的绝对值是0；零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1；负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，据此把每一项都化简，再按照有理数的混合运算：先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意灵活应用运算律进行简算 ，进行计算即可.
19．（2023七下·鄠邑期末）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：
，
当，
时，原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式先去小括号，再合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则进行化简；然后将x的值代入化简后的代数式计算，可求出结果.
20．（2023·凉山）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
21．（2023八上·永城期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形.
（1）图1，阴影面积是 ；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是 ；（写成多项式乘法的形式）.
（3）由上图可以得到乘法公式 ；
（4）运用得到的公式，计算：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：
.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影面积是，
故答案为：；
（2）根据梯形的面积公式可知面积为，
故答案为：；
（3）可以得到的乘法公式为，
故答案为：；
【分析】（1）直接用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）直接根据梯形的面积公式计算即可；
（3）根据图1中阴影部分的面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案；
（4）直接利用平方差公式计算即可.
22．（2023八上·越秀期中）两个边长分别为和的正方形如图1放置，其未叠合部分阴影面积为，在图个大正方形的右下角再摆放一个边长为的小正方形如图，记两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含、的代数式分别表示、；
（2）若，，求值；
（3）当时，求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：由图可知：，；
（2）解：∵，；
∴，
，，
；
（3）解：由图可知：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）由边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积=S1，列式即可；由两个边长为b的正方形的面积减去长为a，宽为b的矩形的面积=S2，列式即可；
（2）利用整式加法运算求出S1+S2，再利用配方法及完全平方公式变形后整体代入计算可得答案；
（3）根据S3=长为a的正方形的面积+长为b的正方形的面积-两直角为a的三角形的面积-两直角边分别为b及（a+b）的直角三角形的面积，列式计算，进而再结合（2）中结论，整体代入计算可得答案.
23．（2023七下·宝安期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方
解：
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数”
（1）【问题解决】
下列各数中，“完美数”有 ．（填序号）
①10 ②45 ③28 ④29
（2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为 ；
（3）【问题探究】
已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．
（4）【问题拓展】
已知实数x，y满足，求的最小值．
【答案】（1）①②④
（2）12
（3）解：∵
；
∵S为“完美数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴的最小值为。
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）∵
∴10，45，29都是“完美数”，
故答案为：①②④；
（2）∵＝-6x+9+4＝，
∴m＝3，n＝4，
∴mn＝12
故答案为：12；
（3）∵＝
∵S为“完美数”，
∴k-20＝0，
∴k＝20；
（4）∵，
∴，
∴，
∴的最小值为
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）将-x2+7x+y-10＝0变形为x+y＝x2-6x+10，然后再配方即可求解．
24．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第一章）培优卷
一、选择题
1．（2023·日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·南通）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．-4
3．（2021·泸县）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2023八上·平潭月考）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2019八上·海口期中）若 中不含x的一次项，则m的值为（
A．8 B． C．0 D．8或
6．若a=522，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a7．（2023七上·浦东期中）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
8．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
9．（2023七上·浦东期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2023八上·鸠江月考）若，则 ．
12．（2023八上·吉林月考）已知2a=3，2b=5， 2c=15，那么a、b、c之间满足的等量关系是
13．（2023七上·合江期中）若且，，则叫做以为底的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．则的值为 ．
14．（2023七下·定边期末）已知，则的值是 ．
15．（2023八上·衡阳月考）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ．
16．（2023七下·泰兴期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 .
三、解答题
17．（2023七下·商河期末） 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简：.
18．（2022七上·肇源期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2023七下·鄠邑期末）先化简，再求值：，其中，.
20．（2023·凉山）先化简，再求值：，其中，．
21．（2023八上·永城期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形.
（1）图1，阴影面积是 ；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是 ；（写成多项式乘法的形式）.
（3）由上图可以得到乘法公式 ；
（4）运用得到的公式，计算：.
22．（2023八上·越秀期中）两个边长分别为和的正方形如图1放置，其未叠合部分阴影面积为，在图个大正方形的右下角再摆放一个边长为的小正方形如图，记两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含、的代数式分别表示、；
（2）若，，求值；
（3）当时，求出图中阴影部分的面积．
23．（2023七下·宝安期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方
解：
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数”
（1）【问题解决】
下列各数中，“完美数”有 ．（填序号）
①10 ②45 ③28 ④29
（2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为 ；
（3）【问题探究】
已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．
（4）【问题拓展】
已知实数x，y满足，求的最小值．
24．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵m2＋n2＝2＋mn，
∴（2m 3n）2＋（m＋2n）（m 2n）
＝4m2＋9n2 12mn＋m2 4n2
＝5m2＋5n2 12mn
＝5（mn＋2） 12mn
＝10 7mn，
∵m2＋n2＝2＋mn，
∴（m＋n）2＝2＋3mn≥0（当m＋n＝0时，取等号），
∴，
∴（m n）2＝2 mn≥0（当m n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴，
∴，
∴，
即（2m 3n）2＋（m＋2n）（m 2n）的最大值为，
故答案为：B.
【分析】将代数式利用平方差公式和完全平方公式先去括号，再合并同类项，结合已知可转化为10 7mn；将m2＋n2＝2＋mn进行配方，可得到关于mn的不等式，求出mn的取值范围为，利用不等式的性质可得到10 7mn的取值范围，即可求出已知代数式的最大值.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解： ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出a+2b的值，再将代数式转化含a+2b的代数式；然后整体代入求值.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 根据完全平方公式得到待求式等于，进而即可求解.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据多项式的乘法计算法则可得：原式= ，根据不含一次项可得：8+m=0，解得：m=-8.
【分析】利用多项式与多项式相乘，将其展开后合并，根据结果不含一次项，可得一次项系数为0，据此求出m值即可.
6．【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： a=522=（52）11=2511，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
∵25＜64＜81，
∴2511＜6411＜ 8111，
即 a故答案为：A.
【分析】将各数化为同一指数，底数大的数就大.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式=
=
=-.
故C正确，A，B，D错误.
故答案为：C.
【分析】按照有理数乘方法则和减法法则计算即可.
8．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)] [2a-(3b-1)].
故答案为：B.
【分析】平方差公式应满足：一项相同，另一项互为相反数，据此变形即可.
9．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分面积=，
图乙中平行四边形面积=（a+b）(a-b).
两个图形面积相等，
，
D正确，A，B，C错误.
故答案为：D.
【分析】先分别表示两个图形面积，再根据面积相等得到公式.
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
11．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
【分析】根据完全平方公式变形求解。将已知方程变形为，然后利用完全平方公式展开求解即可．
12．【答案】a+b=c
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴a+b=c
故答案为：a+b=c
【分析】根据同底数幂的性质即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵26=64，
∴log264=6，
故答案为：6.
【分析】因为26=64，根据对数的定义可知：log264=6.
14．【答案】25
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴（a+b）（a-b）=5，
∴，
故答案为：25.
【分析】根据平方差公式及积的乘方可求.
15．【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：.
【分析】本题考查完全平方公式的逆运算，熟知公式，注意完全平方公式中间项有正负两个数值，即可解答.
16．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：矩形的面积为
故答案为：.
【分析】根据剪拼后矩形的面积=大正方形的面积减去小正方形的面积列出式子，进而再根据完全平方公式去括号，最后合并同类项即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂进行运算，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式、平方差公式进行运算，进而即可求解。
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再从左至右依次计算单项式的乘法和除法即可得出答案；
（2）先根据有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方；绝对值：化简绝对值前，要先判断绝对值内的数的正负，再根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值使其相反数，0的绝对值是0；零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1；负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，据此把每一项都化简，再按照有理数的混合运算：先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意灵活应用运算律进行简算 ，进行计算即可.
19．【答案】解：
，
当，
时，原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式先去小括号，再合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则进行化简；然后将x的值代入化简后的代数式计算，可求出结果.
20．【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
21．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：
.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影面积是，
故答案为：；
（2）根据梯形的面积公式可知面积为，
故答案为：；
（3）可以得到的乘法公式为，
故答案为：；
【分析】（1）直接用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）直接根据梯形的面积公式计算即可；
（3）根据图1中阴影部分的面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案；
（4）直接利用平方差公式计算即可.
22．【答案】（1）解：由图可知：，；
（2）解：∵，；
∴，
，，
；
（3）解：由图可知：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）由边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积=S1，列式即可；由两个边长为b的正方形的面积减去长为a，宽为b的矩形的面积=S2，列式即可；
（2）利用整式加法运算求出S1+S2，再利用配方法及完全平方公式变形后整体代入计算可得答案；
（3）根据S3=长为a的正方形的面积+长为b的正方形的面积-两直角为a的三角形的面积-两直角边分别为b及（a+b）的直角三角形的面积，列式计算，进而再结合（2）中结论，整体代入计算可得答案.
23．【答案】（1）①②④
（2）12
（3）解：∵
；
∵S为“完美数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴的最小值为。
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）∵
∴10，45，29都是“完美数”，
故答案为：①②④；
（2）∵＝-6x+9+4＝，
∴m＝3，n＝4，
∴mn＝12
故答案为：12；
（3）∵＝
∵S为“完美数”，
∴k-20＝0，
∴k＝20；
（4）∵，
∴，
∴，
∴的最小值为
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）将-x2+7x+y-10＝0变形为x+y＝x2-6x+10，然后再配方即可求解．
24．【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
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